函數圖象的對稱性質及其應用
2022-08-08 09:36:52尤小松
高中數學教與學
2022年13期
尤小松
(江蘇省蘇州市南京師范大學蘇州實驗學校，215133)
一、函數圖象自對稱的探究
根據教材有關函數知識的學習,我們已經知道函數y=f(x)的圖象關于原點對稱等價于y=f(x)是奇函數,函數y=f(x)的圖象關于y軸對稱等價于y=f(x)為偶函數.人教A版在推廣探索題中提出了相應的拓展問題,下面對此做推廣探究.
不妨設h(x)=f(x+a)-b(a>0,b>0),若h(x)為奇函數,則其圖象以原點(0,0)為對稱中心.由函數圖象平移的有關知識,可知將y=h(x)的圖象沿y軸正方向平移b個單位,得g(x)=f(x+a)的圖象,此時g(x)圖象的對稱中心為(0,b);再將g(x)的圖象沿x軸正方向平移a個單位,得函數y=f(x)的圖象,顯然此時f(x)圖象對稱中心為(a,b).反之亦然.
若將上述通過圖象平移的方法得到的結論,改用從解析式的角度來闡述,則有h(x)為奇函數等價于h(-x)+h(x)=0,即有[f(-x+a)-b]+[f(x+a)-b]=0,整理得
結論1函數y=f(x)的圖象關于點P(a,b)成中心對稱的充要條件是
f(x+a)+f(a-x)=2b.
①
在① 式中令x+a=t,可得到f(t)+f(2a-t)=2b.再用x替換t,得
推論1函數y=f(x)的圖象關于點P(a,b)成中心對稱等價于
f(x)+f(2a-x)=2b.
②
f(m+x)+f(n-x)=c.
③
通過前文對中心對稱函數性質的推導,類比推理不難發現
結論2函數y=f(x)的圖象關于直線x=a成軸對稱的充要條件是
f(x+a)=f(a-x).
④
推論1函數y=f(x)的圖象關于直線x=a成軸對稱等價于
f(x)=f(2a-x).
⑤
f(m+x)=f(n-x).
⑥
結論3若函數y=f(x)的圖象同時關于點A(a,0)和B(b,0)成中心對稱(a≠b),則函數y=f(x)是周期函數,且周期T=2(b-a).
證明因為y=f(x)的圖象同時關于點A(a,0)和B(b,0)成中心對稱,所以f(x)=-f(2a-x)=f[2b-(2a-x)]=f[x+2(b-a)],即f(x)=f[x+2(b-a)].
結論4若函數y=f(x)的圖象關于點A(a,0)成中心對稱,同時又關于直線x=b成軸對稱,則函數y=f(x)是周期函數,且周期T=4(b-a).
證明因為函數y=f(x)關于點A(a,0)成中心對稱,同時又關于直線x=b成軸對稱,所以f(x)=-f(2a-x)=-f[2b-(2a-x)]=-f[x+2(b-a)].令t=2(b-a),則有f(x+t)=-f(x),進而f(x+2t)=f[(x+t)+t]=-f(x+t)=f(x),故y=f(x)有周期T=2t=4(b-a).
