巧用梅涅勞斯定理求解直線過定點問題

陳沙沙 胡廷佳 屈大海

(貴州省遵義市第五十四中學,563102)

圓錐曲線問題是高中數學的重要內容,解題時容易陷入計算復雜的瓶頸.如何避免用解析幾何常規方法求解的復雜計算? 經研究,筆者驚奇地發現圓錐曲線過定點的問題可用梅涅勞斯定理來解決,并且可以完美避開復雜的計算.現整理成文,供大家分享.

一、背景知識

證明如圖2,設P,Q,R三點中有P,R兩點在?ABC的邊上,另一點Q在AC邊的延長線上.

評注梅涅勞斯定理和及其逆定理有非常廣泛的應用,它們是證明平面上三點共線的有力工具.

二、應用舉例

(1)求E的方程;

(2)證明:直線CD過定點.

當t≠0時,設直線CD的方程為x=my+n(-3

解法2設點P(6,t),C(x1,y1),D(x2,y2),直線CD與x軸交于點H(x0,0),顯然-3

(1)求橢圓C的方程;

(2)設橢圓C的左、右頂點分別為A,B,點P是直線x=1上的動點,直線PA與橢圓交于另一個點M,直線PB與橢圓交于另一個點N,求證:直線MN經過一定點.

因為AB=4,GA=GB+AB,所以3GB=GB+4,得GB=2.故直線MN過定點G(4,0).

(1)求橢圓C的方程;

(3)若點B關于x軸的對稱點是E,證明:直線AE與x軸相交于定點.

(3)如圖5,設直線BE,AE與x軸的交點分別為R,Q.由B,E關于x軸對稱,得RE=RB.設點E(x2,-y2),Q(x,0),R(x2,0).

所以直線AE與x軸相交于定點Q(1,0).