發展數學思維 提升解題能力
——以“多元變量最值與范圍問題”教學為例

趙 亮 李令軍

(江蘇省揚州大學附屬中學，225002)

一、引言

《普通高中數學課程標準(2017)版》指出，高中數學課程應注意提高學生的數學思維能力,這是數學教育的基本目標之一[1]. 在最新高考評價體系中,作為學科素養指導體系,強調了“知識整合”,根據應對問題情境的需要合理地組織、調動各方面相關知識和能力;強調“創新思維”,組織相關知識與能力，注重發散性,提出新視角、新方法[2]. 眾所周知,解題是學生提高數學思維能力的重要途徑之一.在數學解題教學中,我們首先要幫助學生知道如何解題,做到心中有“路”;其次，還要注重提高學生發散性思維和創新性思維,引導學生進行有效的反思總結、內化方法.本文以多元變量最值與范圍問題的解題教學為例,探討如何培養學生的數學思維和解決問題能力,以期拋磚引玉.

二、發展思維，提升能力

1.真題教學,啟迪思維

例1(2020年全國高考題)在?ABC中,已知sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.

(1)求A;

(2)若BC=3,求?ABC周長的最大值.

思考1邊化角,用消元法化二元為一元,利用函數研究最值.

思考2由b2+c2+bc=9聯想x2+y2=R2模型,用三角換元化二元為一元,利用函數研究最值.

思考3由b2+c2+bc=9聯想基本不等式模型,利用和、積形式轉化構建不等關系求解.

思考4記b+c=t,換元轉化為方程組有解問題.

思考5數形結合,記b+c=t,轉化為軌跡有交點問題.

解法5令b+c=t,則問題可看作動點P(b,c)在曲線b2+c2+bc=9 上移動,且直線b+c=t與曲線b2+c2+bc=9 有交點.如圖1,當直線與曲線相切時t取得最值.

綜合解法1-4我們可以看到,轉換問題視角,即分別從函數、方程、不等式……