小學數學運算教學中高階思維培養淺談

曾 煥，王少平

（廣東省深圳市鹽田區云海學校，廣東 深圳 518083）

運算能力作為小學數學學習中的關鍵能力，其主要特征包括“正確運算、理解算理、方法合理”三個方面。從曹培英教授關于運算能力的“四面體結構模型”可以看出（如圖1）：基本口算是基礎，算理和算法是運算能力的一體兩翼，不可有偏頗。

圖1 四面體結構模型

但在小學階段的實際教學中，“運算教學”時常被片面地認為是一種純粹的“技能訓練”，這顯然是錯誤的。從學生發展的角度看，僅靠大量機械訓練形成的計算技能，只是一種短暫認知，不利于學生的長遠發展。而實際運算教學中大量的分析比較、抽象與概括的內容是幫助學生建立知識間的聯系形成整體知識結構、發展辯證思維和創新思維等高階思維的典型學材。

本文結合算理的理解和算法的歸納談談小學數學運算教學中如何運用知識間蘊藏的規律性建立知識聯系，形成整體和辯證性思維；如何在算理理解與算法歸納中發展分析、概括和創新思維。筆者做了如下嘗試，以期與同行商榷。

一、在算理理解中培養整體思維與辯證思維

整體性思維可幫助學生整體把握事物間的相互關系并建立統一聯系進而發現規律，辯證思維可幫助學生運用事物間的關系進行合理歸納和演繹。運算教學中將二者結合，利于學生對運算步驟做出分析和推理，從而幫助學生理解算理，繼而再從整體上對學習內容做出判斷，有益于形成穩定的、有聯系的知識體系。

以“口算”教學為例。在口算教學中，可以通過數感的培養、數學思想的滲透、歸納與演繹等推理能力的培養等多種方式，將整體思維和辯證思維具體化，從而促進學生從本質看待問題、分析問題，促進結構化知識的形成。

（一）口算中將數感培養與滲透數學思想相結合

在基本的口算教學中，如“10 以內加減”“20 以內加減”“整十（整百）數乘一位數”……這些看似簡單的口算，其背后都包含著豐富的內容：不僅有數感的培養、數學運算的方法技巧，更有數學的理性思考和數學思想蘊含其中。以“10 以內的加減”教學為例，不少孩子還沒有進入小學，就已經能計算10 以內加減了。那么，一年級學習這部分知識時，還可以教什么、怎么教呢？有位一年級數學教師從“認識數字5”開始，便結合數的分與合，讓學生們整理“（）＋（）＝5”，結果發現孩子們的整理有兩種類型，一種是全部整理了出來，但無序；一種是全部整理了出來，但是有序（如圖2、圖3）。

圖2

圖3

圖2 呈現出的思維是無序的點狀狀態，而圖3 呈現出的思維是有序的，表現出初步的結構性思維。教師有意識地引導學生對比兩種結果，感悟其中的排列規律，學生在觀察、比較與感悟中發展了數感。接下來教學“6——10 的分與合”時，教師都有意識地引導學生整理，學生不僅掌握了數字中“分與合”的知識，而且讓學生從整體上感悟到了“10 以內的口算”中蘊含的遞增、遞減的規律，并且體悟到“加數”與“和”之間的相互依存關系。其間，既體現了思維的整體性、辯證性，也有“有序性”數學思想的滲透。這樣的教學，其價值遠遠大于純粹的口算練習。

（二）在算理理解中融入歸納、概括等演繹思維

為幫助學生理解算理并掌握算法，離不開歸納概括和演繹推理。以“整十（整百）數乘一位數口算”為例，當教師出示一道算式“20×3”時，好多孩子不假思索地就說出結果“等于60”。問學生“是怎樣算的？”學生的解釋是“2 乘3 得6，在后面添個0 就行了”。可見，學生雖然會計算，但對其中的算理仍處于懵懂的狀態。一位教師在教學這節課時，進行了如下設計：首先出示一組算式“2×3＝，20×3＝，200×3＝ ”，學生報出每一題的結果分別是“6、60、600”。教師提出問題：“對比這幾題的計算過程，有什么相同之處，又有什么不同之處？”學生們對比交流后答：“相同之處是這幾題都用到了一句相同的乘法口訣‘二三得六’；不同的是第一題是2 個一乘3，得6 個一，結果是6；第二題是2 個十乘3，得6 個十，結果是60；第三題是2 個百乘3，得6 個百，結果是600。所以，在第二題的后面要添一個0，第三題的后面要添兩個0。”

這里，學生的回答是融合了“乘法的意義”“數的組成”“位值制”等多個知識點之間的聯系進行的演繹推理。接著，教師又引導學生在幾組練習中進行算法歸納。這樣的設計，促使教師整體把握教材、利用知識之間的內在聯系合理架構教學環節，借助“比較說理、總結算法”，讓學生的思維在歸納概括、演繹推理中得到進階。

二、在算法掌握中培養實踐思維與創新思維

高階思維強調學生面對真實問題時的實踐思維能力，以及面對開放性問題時思維的靈活性與獨創性。因此，教學中要引導學生在直觀理解算理的基礎上探究算法，既可以通過分析、判斷等能力探究解決問題的方法，又可以從個性化視角彰顯問題解決過程中的創新性，通過遷移實現算法優化。具體做法如下：

（一）算理的直觀性與分析思維的抽象性相結合

算理是算法的理論依據，它是算法思維方式的直觀呈現，保證了計算的合理性與正確性，讓學生不僅知其然，還知其所以然。例如在《分數乘分數》的運算教學中，就需要借助直觀圖形引導學生探索分數乘分數的計算方法。以為例，先表示出“整體1”的再把平均分成4 份，表示出的繼而發現算式與結果之間的數值關系，得出是“整體1”的（見圖4）。通過圖形的直觀演示，融合了分數的意義、分數乘法的意義，打通了知識間的內在聯系。學生運用知識間的聯系對運算結果做出邏輯判斷，實踐思維、分析思維、創新思維得到培養。

圖4

算理是客觀存在的規律，需要在操作中探究最優方法，從而為概括算法做好鋪墊。縱觀小學數學教材中整數的加減乘除，無一不是借助直觀操作幫助學生理解算理的，而且這種方式遷移到了小數、分數的運算。由此可見，小學數學運算教學離不開直觀化的操作，唯有這樣才可以引導學生經歷從實踐思維到形象思維，再到分析與創新思維的發展。

（二）算法優化和培養創新性思維相結合

在教學兩位數除以一位數時，教師用小棒幫助學生理解算理，出現了兩種思路。計算“68÷2”，展示如下：

思路1：先把6 捆平均分成2 份（1 捆表示1 個十），每份3 捆；再把8 根平均分成2 份，每份是4 根（如圖5）。

圖5

思路2：先把8 根平均分成2 份，每份是4 根；再把6 捆平均分成2 份，每份3 捆（如圖6）

圖6

顯然，無論是先分十位的數還是先分個位的數，兩種思路都是正確的。在計算“52÷2”時，再讓學生用小棒分一分。同樣，也出現了兩種思路：有的學生是先分5 個十，后分2 個一（如圖7）；有的學生先分2個一，后分5 個十（如圖8）。隨后，教師讓學生對比這兩種分法，結果發現：先分十位上的數計算更簡便。這就優化出了更具普遍性的算法：從高位算起。

圖7

圖8

這里借助圖示，把分小棒的過程與豎式計算步驟緊密結合，在操作中進行對比分析引發認知沖突，在對先前的認知進行自我否定的基礎上，進行邏輯判斷并做出正確選擇，實現方法的優化，學生的創新思維得到發展。

三、建立運算模型發展運算能力，培養反思思維與批判思維

數學學習過程中需要為學生構建幫助學生理解和思考的模型，使學生可以根據教師的引導對知識和問題進行反復追問和質疑，推動學生不斷加深對問題的理解，進而培養反思思維和批判思維。同時，要鼓勵學生對學習過程進行不斷反思，在反思中總結經驗、提升能力。小學數學課程標準強調要注重數學思想的滲透，其中就包括模型思想，而模型的建構過程利于規律的習得，利于發展反思思維和批判思維。

以“加法結合律”為例。教師出示一個問題情境，學生列出形如“a×（b＋c）”“a×b＋a×c”這兩種不同思路的算式，通過比較發現這兩道算式間的相等關系，并提出大膽猜想：“一個數乘兩個數的和，等于用這個數分別去乘兩個數的乘積之和。”接著引發質疑，對結論的合理性進行追問：“這個規律成立嗎？”促使學生自發尋找可以作為支撐的例子，并對列舉出的例子進行反復甄別判斷，直至舉不出反例。這一過程就是反思思維和批判思維得以彰顯和培養的過程。學生們通過不完全歸納發現規律，統一用字母式表示為“a×（b＋c）＝a×b＋a×c”，再運用這一規律進行簡便運算。就這樣，在“比較——猜想——質疑——驗證——歸納——運用”中，經歷逐步抽象的過程，促進運算能力的形成，完成運算模型建構，同時發展了反思、批判等高階思維，讓模型建構過程成了思維訓練場。

四、問題類化調整認知建構數學模型，培養創新思維

“類化”，即將數學問題按其結構、解題思路的相同特點歸為一類，同一類的數學問題成為一種模型。在解決問題時學生通過對問題情境的識別，對該問題的結構、解法等作出判斷，將當前的問題與已有的知識或數學問題聯系起來，運用已有的模型解決當前的問題，或者建構新的模型，從而培養創新思維。通過問題類化將已有模型運用于新問題，并在解決新問題中構建出新模型的過程中創新思維得到培養。但需要指出的是，對問題進行模式識別不是機械地套用已有的解法，而是需要將待解決的問題與已有的認知經驗建立聯系，利用已有經驗解決問題。

五、小結和反思

隨著問題解決中高階思維的研究和實施，學生在解決問題中能根據問題信息準確分析信息間的邏輯聯系，能采用合適的操作方法呈現信息間的關聯，繼而確定正確的問題解決步驟，并能將其不斷優化。在這一過程中，分析、創新、反思、評價等高階思維得到發展。數學是培養思維的學科。數學運算作為小學數學教學中的重要內容，其教學絕不是簡單純粹的技能訓練，應該結合運算教學的目標要求滲透數學思想、構建數學模型，培養學生的分析、反思、批判、創新等高階思維能力。唯有這樣，才可以讓學生在掌握知識的同時，發展數學思維、提升數學素養，實現育人目標。