報童問題訂購費對最優訂貨量的影響

□ 毛克寧

(廣東理工學院 經濟管理學院,廣東 肇慶 526070)

1 引言

報童問題既有尋求期望“總損失”或期望經濟成本最小化的提法，又有尋求期望“盈利”或期望利潤最大化的提法，這皆為經濟管理中經常要面對的問題,如在零售商的訂貨量決策、生產單位的產出量決策[1]中都會遇到。因此，報童問題對于經濟管理的理論與實踐都有重要意義，學者們對此從不同視角展開了廣泛而深入的研究。不少關于報童問題的闡述或研究不涉及訂購費[2-4]，而客觀上，報童問題訂購費是有可能對訂貨量決策產生影響的，這正是本文所要闡述的主題內容，并將經過創新性地嚴謹分析論證給出明確的結果。在存儲理論中，訂購費的多少與訂貨的批量無關，而與訂購的次數有關；訂購費不同于進貨費，后者不僅包含前者還包含所購訂貨物本身的價值等[2]。有的文獻所述的訂購成本或訂購費用實際上相當于企業購進貨物的費用而不同于存儲理論中所定義的訂購費[5-6]；有的文獻明確給出了一次性訂購費為恒定常數的報童模型，得出的模型最優解與訂購費無關，即訂購費金額對最優訂貨量無影響[7]。為使報童問題更具一般性，可以加入固定成本(如設備折舊、租金、利息等)[8-9]，若將單周期的訂貨費作為一筆與訂貨量無關的固定費用，則可將訂購費納入到固定成本中，或將兩者合并起來形成單周期新的固定成本。報童問題的研究可能涉及更為復雜的情形，如商品零售價格為隨機變量的模型等[10]。本文所涉及的報童模型的零售價格既定，這與傳統的存儲模型相同，并且本文的訂購費金額也是既定的?；跁嬂麧櫯c經濟利潤的不同含義和經濟利潤在經濟管理中的重要性，本文分別建立涉及訂購費的期望會計利潤模型和期望經濟利潤模型，分不同情形就報童問題的訂購費對最優訂貨量的影響進行分析，得出明確的決策方法和量化結論。

2 問題描述與假設

需說明的是，有的文獻[8]給出的報童問題的離散型隨機需求量r可能取值的個數為n≥3，根據其推導過程可知，最優訂貨量關系式對于n=2依然成立，故本文將r可能取值的個數設為n≥2。

3 訂購費恒定的期望利潤

這里的E(r)為隨機需求量r的期望(下同)。

(1)

(2)

式(1)的證明與參考文獻[8]中式“(2)”的推導同理并相似。

4 若不訂貨則不產生訂購費用的期望利潤

若商業企業在周期T不訂購貨品，則不發生訂購費用(如企業在先決定了不訂貨的情況下有可能不發生訂貨費用)；但若商業企業訂購貨品，則無論貨品數量為多少都發生金額為K0的訂購費用。將該情形下訂貨量為Q的期望會計利潤和期望經濟利潤分別記為ω(Q)和ωE(Q)，則

現在分析推導訂購費金額K0(>0)對ω(Q)和ωE(Q)最大化訂貨量的影響：

對于r1=0，由“3”中式(1)求出期望會計利潤ω0(Q)最大化訂貨量rAm(0=r1≤rAm≤rn)，于是ω0(rAm)≥ω0(rj)(j=1,2,…,n)。若rAm>0(=r1)，由于當Q>0時ω(Q)=ω0(Q)，則ω(rAm)=ω0(rAm)≥ω0(rj)=ω(rj)(j=2,…,n)，即ω(rAm)≥ω(rj)(j=2,…,n)，進而ω(0)與ω(rAm)中較大者對應的Q值(0或rAm)就是期望會計利潤ω(Q)(Q∈{rj|1≤j≤n,r1=0})最大化的訂貨量；若ω(0)=ω(rAm)，則Q=0與Q=rAm都是ω(Q)最大化的訂貨量。

在rAm>0(=r1)的情況下，令ω1(Q)=ω0(Q)+Cf+K0，可知ω1(Q)不含Cf與K0兩項。因為ω(rAm)=ω0(rAm)=ω1(rAm)-Cf-K0，并且ω(0)=-Cf，所以ω(rAm)≥ω(0)的充分必要條件為ω1(rAm)≥K0；ω(rAm)<ω(0)的充分必要條件為ω1(rAm)0且ω1(rAm)>0時，訂購費金額K0對最優訂貨量(0或rAm)有影響：若ω1(rAm)>K0則最優訂貨量為Q=rAm，若ω1(rAm)=K0則最優訂貨量為Q=rAm或Q=0，若0<ω1(rAm)0且ω1(rAm)≤0時，訂購費金額K0對最優訂貨量Q=0無影響，因為此時必有ω1(rAm)

若rAm=0(=r1)，則ω(0)=-Cf>Cf-K0=ω0(0)≥ω0(rj)=ω(rj)(j=2,…,n)對于正數K0取任何值都成立。故訂購費金額K0對最優訂貨量Q=0無影響。

5 結語

本文以商業企業在單周期“無論是否購訂都發生訂購費用”這一情形下期望會計利潤最大化的訂貨量關系式和期望經濟利潤最大化的訂貨量關系式為基礎，著重給出了商業企業在單周期“若不購訂則不發生訂購費用，但若商業企業購訂貨品則無論訂購量為多少都發生固定訂購費用”這一情形下的最優訂貨量決策方法和量化結果，明確了在各種情況下訂購費金額對于兩類期望利潤最大化訂貨量的影響。此外，隨機需求量各可能取值的相應概率可能隨商品銷售價格的變動發生變動，這對于決策者是重要的，在進行訂貨量決策時要特別注意。本文的研究結果對豐富存儲理論或對存儲理論的進一步完善有正向作用。