分離參數(shù)法求解函數(shù)常見題型的應(yīng)用分析

晁普旗

(江蘇省新沂市高級中學(xué))

分離參數(shù)方法是高中數(shù)學(xué)中常見的一種解題方法,具體過程是指通過分離參數(shù)的形式,運用函數(shù)的觀點討論并確定參數(shù)的取值范圍.分離參數(shù)法常用于解答函數(shù)的單調(diào)性問題、函數(shù)的零點問題以及與函數(shù)有關(guān)的不等式恒成立問題,運用該方法能避免一些復(fù)雜的分類討論.本文結(jié)合具體例題分析,總結(jié)在常見函數(shù)問題中分離參數(shù)方法的解題思路,幫助學(xué)生深刻理解分離參數(shù)法,拓寬解題思維并提高解題效率.

1 函數(shù)單調(diào)性問題

運用分離參數(shù)法求解含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性問題的解題思路:

1)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,列出導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)的不等式,如f(x)為增函數(shù),則f′(x)≥0在定義域上成立；

2)分離f′(x)≥0中的參數(shù),對不等號一邊不含參數(shù)的解析式進行討論,求其在定義域上的最值,如分離后得到m≤g(x),則求定義域內(nèi)g(x)的最小值；

2 函數(shù)零點問題

運用參數(shù)分離法求解函數(shù)零點問題的解題思路:

1)對函數(shù)解析式f(x)＝a－g(x)進行變量分離,使其等價替換為a＝g(x)形式；

2)分別分析函數(shù)y＝a和y＝g(x),求出y＝g(x)的值域；

3)若函數(shù)無零點,則參數(shù)a不在函數(shù)g(x)的值域上；若函數(shù)給出零點個數(shù),則需要結(jié)合具體圖像進行分析.

圖1

3 不等式成立問題

運用分離參數(shù)方法求解不等式恒成立問題的具體思路:

1)對問題中恒成立的不等式進行參數(shù)分離,使其等價為不等式a≥g(x)恒成立；

2)在定義域內(nèi),借助函數(shù)性質(zhì)或?qū)Ш瘮?shù)求解函數(shù)g(x)的最值；

3)結(jié)合最值,判斷參數(shù)a的取值范圍.

分離參數(shù)法是學(xué)生在學(xué)習(xí)和練習(xí)過程中應(yīng)掌握的一種方法,求解不同的題型有著對應(yīng)的解題思路.求解函數(shù)單調(diào)性問題應(yīng)根據(jù)單調(diào)性列出對應(yīng)不等式,進而分離參數(shù)求解；函數(shù)零點問題可以考慮分離參數(shù),使其轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的值域問題進行解答；不等式恒成立問題應(yīng)將不等式進行參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化為求構(gòu)造函數(shù)的最值,即可求得參數(shù)范圍.只有熟練掌握常見的方法和解題思路,才能達到高效解題的目的.