處理含參集合運算問題的常用策略

蔡寶祥

(江蘇省鹽城市東臺市三倉中學)

集合的基本運算(包括交集、并集、補集)是歷年高考的必考內容,常用的求解方法有列舉法、借助數軸、Venn圖加以分析等.求解含有參數的集合問題,需要靈活采取合理、有效的方法,求解過程中往往會因思維不嚴密導致錯誤.本文側重談談如何具體求解含有參數的集合運算問題,以切實幫助學生拓寬解題思維,提升解題能力.

1 借助“檢驗分析”

處理“利用列舉法表示含參集合,且給定集合運算結果”這類集合問題時,解題的關鍵步驟可歸納為以下兩點:一是求值檢驗——由給定的集合運算結果,往往可直接求得參數的值,但需要注意根據集合中元素的互異性和集合運算結果加以檢驗分析(否則,極易出錯)；二是活用規律——分析、解決目標問題時,要注意有關規律在解題中的靈活運用(例如:若集合M中含有n(n∈N*)個元素,則其子集共有2n個,真子集共有2n－1個).

例1 設集合A＝{a,0},B＝{－4,log2(a＋3)2},若A∩B＝{0},則集合A∪B的真子集的個數為( ).

A.5 B.6 C.7 D.8

因為A∩B＝{0},所以0∈B,則有log2(a＋3)2＝0,即(a＋3)2＝1,解得a＝－2或－4.

檢驗分析:當a＝－2時,集合A＝{－2,0},B＝{－4,0},此時A∩B＝{0},滿足題意；當a＝－4時,集合A＝{－4,0},B＝{－4,0},此時A∩B＝{－4,0},顯然不滿足題意.

于是,a＝－2,集合A＝{－2,0},B＝{－4,0},所以A∪B＝{－4,－2,0},該集合一共有3個元素,其真子集的個數為23－1＝7,故選C.

一般地,求解此類含參集合問題需要關注以下兩點:一是考查集合中元素是否滿足“互異性”；二是考查含參集合是否有可能為空集(因為空集具有特殊性質).

2 借助“分類與整合思想”

一般地,處理含參集合運算問題,往往需要討論；而具體討論時,要做到“不重不漏”.特別地,含參集合可能在參數取某個值時為空集,而空集參與集合運算時具有特殊性質.

例2 已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0},B＝{x|mx＋1＝0},是否存在實數m,使得A∩B＝B?若存在,求出m的值；若不存在,說明理由.

3 借助數軸上的“動靜結合”

處理“利用描述法表示集合,其中約束條件以不等式形式給出,且給定集合運算結果或集合關系”這類集合問題時,解題的關鍵步驟可歸納為以下兩點:一是讓含參集合表示的范圍,在數軸上由左向右運動變化進行動態分析；二是根據給定集合運算結果或集合關系,準確構建不等式或不等式組,進而求解參數

圖1

圖2

(2)在數軸上先表示集合B,再讓集合C表示的范圍在數軸上由左向右運動變化,結合圖3 分析即知,由B∪C＝R,得

圖3

圖4

對于“由給定的集合運算結果或集合關系,求參數的取值范圍”這類問題,一般情況下應以數軸為載體,采取“動靜結合”的方法,有利于迅速厘清含參集合與確定集合之間的位置關系,進而建立不等關系加以求解.此外,還需要注意結合題意,準確分析不等關系中的“等號”能否取到；否則,極易出錯.

綜上,關注含參集合運算問題的常用解題策略,有利于靈活運用所學知識、方法解決問題.