分離參數法應用舉例

劉春燕

(山東省濟南市章丘區第五中學)

求解參數的取值范圍問題是高考的熱點和難點,重點考查學生對數學問題的分析和轉化能力.這類題型綜合性較強,對學生的解題技巧性和靈活性要求較高,很多學生求解時不知如何下手,本文就圍繞這一主題介紹求解參數取值范圍的一種常用方法——分離參數法.

分離參數法 在等式或不等式中若出現兩個變量,其中一個變量的范圍已知,要求另一個變量的范圍,且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊,進而求出參數的取值范圍,這種求解參數取值范圍的方法就是分離參數法.

分離參數法可以免去對參數的分類討論,尤其在求解不等式恒成立、方程有解、函數有零點、函數單調性等有關參數的取值范圍問題時我們經常用到該方法.該方法的關鍵步驟在于通過分離參數構造函數,將原問題轉化為新函數的最值或值域問題,在新函數中用函數的觀點討論主變量的變化情況來確定參數的變化范圍.

1 分離參數法在不等式恒成立問題中的應用

例1 若函數y＝2x2－8x＋21的圖像恒在直線y＝4x＋2a＋1的上方,求實數a的取值范圍.

由題意可列出不等式,再把原不等式等價變形分離出參數a,即a＜x2－6x＋10,然后求函數y＝x2－6x＋10 的最值,進而可得a的取值范圍.

由題意知2x2－8x＋21＞4x＋2a＋1在R 上恒成立,則a＜x2－6x＋10在R 上恒成立.

令f(x)＝x2－6x＋10,x∈R,則a＜f(x)在R上恒成立,等價于a＜fmin(x),x∈R.

又f(x)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1≥1,所以a＜1,即實數a的取值范圍為(－∞,1).

不等式恒成立問題中求解參數取值范圍的步驟通常如下:

1)分離參數,得出a≥f(x)恒成立(或a≤f(x)恒成立)；

2)求解fmax(x)(或fmin(x))；

3)得出a的范圍.

2 分離參數法在函數單調性問題中的應用

例2 若函數f(x)＝ax2＋lnx－4x在定義域內是增函數,求實數a的取值范圍.

3 分離參數法在含參數方程問題中的應用

4 分離參數法在解決函數零點問題中的應用

5 分離參數法、構造函數法與換元法在不等式中的綜合應用

6 分離參數法與分類討論思想在研究函數單調性中的綜合應用