函數的概念與性質復習導航

張明同

(山東省壽光市教育科學研究中心)

函數的概念與性質是高中數學最基本的知識,這些知識是解決整個高中數學問題的“第一步”,如果沒有這“第一步”的知識,整個數學的學習都會步履維艱.因此,牢固掌握函數的概念與性質是數學解題的基石,是高考取勝的法寶,本文將在“函數”這一大概念視域下結合例題引導讀者認真復習這一部分內容.

1 函數有關概念及其應用

1.1 函數的定義

1.2 函數的定義域

1.3 函數的最值

圖1

1.4 求函數的解析式

1.5 分段函數問題

圖2

2 函數圖像綜合問題

2.1 由解析式確定圖像

2.2 圖像的變換

例9 (1)已知函數f(1－x)的圖像如圖3所示,則y＝|f(x＋2)|的圖像大致是( ).

圖3

(2)設函數f(x)的定義域為R,且|f(x)|是偶函數,則( ).

A.f(x)是偶函數

B.f(x)是奇函數

C.|f(x－1)|圖像的對稱軸是x＝1

D.|f(x)＋1|圖像的對稱中心是(0,1)

(1)將f(1－x)的圖像左移1 個單位得f(－x)的圖像,再關于y軸對稱可得f(x)的圖像,再左移2個單位得到f(x＋2)的圖像,再將f(x＋2)的圖像在x軸下方的部分沿x軸翻折上去,故選A.

(2)若f(x)＝x,則可判斷A 不正確.同樣地,若f(x)＝x2,則可判斷B 不正確.若f(x)＝x,則|f(x)＋1|＝|x＋1|圖像關于x＝－1對稱,所以D不正確.函數f(x)的圖像右移1個單位,可得f(x－1)的圖像,又因為函數|f(x)|是偶函數,關于y軸對稱,所以函數|f(x－1)|關于直線x＝1對稱.故選C.

對于函數圖像的變換問題,應充分利用特殊點和函數的單調性、對稱性、周期性等性質及平移、翻折等知識進行綜合分析與判斷.

2.3 實際情境中的函數圖像

例10 如圖4所示,圓A的半徑為1 m,圓心A在y軸上,將圓A沿y軸勻速向上平移,在t＝0時,圓A第一次經過原點O,平移的速度為1m·s－1.記圓A位于x軸上方的圓弧的長為x,令y＝cosx,則y與時間t(0≤t≤1,單位:s)的函數y＝f(t)的圖像可以是( ).

圖4

2.4 利用圖像研究不等式或方程

圖5

圖6

3 函數性質的綜合應用

3.1 單調性與奇偶性相結合

3.2 周期性與奇偶性相結合

3.3 由奇偶性確定參數的取值(或范圍)