函數單調性的四應用

李 柳

(河北省石家莊市第四十二中學)

函數問題歷來是高中數學的重點與難點,說它是重點,因為它是高中數學大廈的基石,在高中數學的任何一個知識板塊中都有函數；說它是難點,主要是因為函數性質的應用具有一定的綜合性與靈活性.函數的單調性作為函數的基本性質之一,在數學解題中有著廣泛的應用,那么靈活應用函數的單調性,能解決哪些問題呢?

1 利用函數的單調性比大小

2 利用函數的單調性解不等式

3 利用函數的單調性求值域或最值

4 利用函數的單調性求參數的值或范圍

在函數單調性的應用中,常常出現一類含參數問題,要求解題者根據題中給出的單調性求參數的值或取值范圍.

圖1

基本初等函數的單調性一般取決于該函數的基本量,如指數函數與對數函數取決于它們的底數,冪函數則取決于它的指數,而分段函數則必須滿足每一段單調,且整個函數單調.利用函數的單調性求參數的值或范圍,一般轉化為含參不等式組來處理,有時利用它的圖像能更加直觀地得到答案.

當然,函數單調性的應用遠不止本文所提及的四種情形,如利用函數的單調性還可以解方程、作函數圖像等.但無論是哪種問題,都離不開函數單調性定義的直接應用與逆向應用,有時還可輔以函數圖像來分析問題,從而能更直觀、更有效地得出答案.