追蹤高考中的函數(shù)性質(zhì)問題

李亞軍

(河南省鄭州市回民高級中學(xué))

函數(shù)知識是高中的核心知識,也是高考試題的常考知識點之一.高考中不僅會考查常見的函數(shù)三要素,還會涉及函數(shù)的圖像與性質(zhì)、函數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)與方程等.下面以2021年的高考試題為例,追蹤高考中的函數(shù)性質(zhì)問題.

1 比較大小

2 函數(shù)的單調(diào)性

3 函數(shù)的圖像識別

4 函數(shù)的奇偶性與周期性

例4 (2021新高考Ⅱ卷8)已知函數(shù)f(x)的定義域為R,且f(x＋2)為偶函數(shù),f(2x＋1)為奇函數(shù),則( ).

因為函數(shù)f(x＋2)為偶函數(shù),則f(2＋x)＝f(2－x),可得f(x＋3)＝f(1－x).因為函數(shù)f(2x＋1)為奇函數(shù),則f(1－2x)＝－f(2x＋1),所以f(1－x)＝－f(x＋1),所以

f(x＋3)＝－f(x＋1)＝f(x－1),

即f(x)＝f(x＋4),故函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù).因為函數(shù)f(2x＋1)為奇函數(shù),則f(1)＝0,故f(－1)＝－f(1)＝0,故選B.

借助函數(shù)周期性解決求函數(shù)值或函數(shù)零點個數(shù)等問題是常考問題,在未明確給出周期的情況下,可先運用對稱性與周期性的關(guān)系等確定周期,再運用函數(shù)的周期性找到解決問題的突破口.

5 函數(shù)的應(yīng)用

6 函數(shù)零點

例6 (2021 年北京卷15)已知函數(shù)f(x)＝|lgx|－kx－2,給出下列四個結(jié)論:

故f(x)在(10－2,10－1)上至少有1個零點.又f(1)＝0,結(jié)合圖像知,f(x)在(0,1]上有2個零點,即y＝|lgx|與y＝－2x＋2有2個不同的交點,故當直線過點(0,2)且與函數(shù)y＝|lgx|相切時,此時f(x)有1個零點,如直線l2,故②正確.

當k＜0時,函數(shù)y＝|lgx|與直線y＝kx＋2的圖像至多有2個交點,故③不正確.

當k＞0且k足夠小時,函數(shù)y＝|lgx|與直線y＝kx＋2的圖像在(0,1)與(1＋∞)上分別有1個、2個交點,如直線l3,故④正確.

圖1

本題考查了函數(shù)的零點與函數(shù)圖像關(guān)系的應(yīng)用,同時考查了命題真假性的判斷、化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等思想方法的應(yīng)用,難度較大.根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)正確畫出函數(shù)y＝|lgx|與直線y＝kx＋2的圖像是解決此題的關(guān)鍵.