追根溯源,多種思維,鏈接高數(shù)
——2022年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第7題

戚昌厚

(中國(guó)人民大學(xué)附屬中學(xué)分校)

函數(shù)值或參數(shù)的大小比較問(wèn)題是新高考數(shù)學(xué)試卷中常考的一種基本題型,試題常常在知識(shí)的交會(huì)處加以巧妙創(chuàng)新設(shè)置,融合不同知識(shí)與思想方法的綜合應(yīng)用,具有一定的綜合性與交會(huì)性,是高考的重點(diǎn).本文通過(guò)一道高考真題的大小比較問(wèn)題,合理追根溯源,展開(kāi)思維剖析,展示方法技巧,探究拓展提升,凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì).

1 真題呈現(xiàn)

分析 該題與以往新高考中的一些真題有點(diǎn)類(lèi)似,但又有創(chuàng)新,其基本考點(diǎn)就一改常態(tài),以更加特殊的方式復(fù)合構(gòu)建指數(shù)式、對(duì)數(shù)式、分式等具有相應(yīng)關(guān)系的代數(shù)式,進(jìn)而確定相互之間的大小關(guān)系.

通過(guò)分析代數(shù)式之間的結(jié)構(gòu)特征,常規(guī)解題思路是聯(lián)系以0.1為變?cè)鶚?gòu)建的函數(shù)式之間的規(guī)律,通過(guò)作差比較法,合理構(gòu)造復(fù)合函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性分析與處理.

2 多解探究

根據(jù)兩兩之間的作差或作商,合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)的函數(shù),通過(guò)求導(dǎo),結(jié)合導(dǎo)函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)的正負(fù)取值情況確定對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而確定以0.1為變?cè)鶎?duì)應(yīng)的函數(shù)值的正負(fù)取值情況,最終得以確定大小關(guān)系.

根據(jù)兩兩之間的作商或作差,合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)的函數(shù),這是處理兩個(gè)同號(hào)代數(shù)式大小關(guān)系時(shí)比較常用的一種方法.在構(gòu)建函數(shù)處理代數(shù)式的大小關(guān)系時(shí),要結(jié)合代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征,合理選擇作差比較法或作商比較法.

3 追根溯源

追根溯源,2022年新高考Ⅰ卷第7 題是在2021年高考數(shù)學(xué)乙卷理科第12題的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步轉(zhuǎn)化、深入、變形、拓展與提升.

4 變式拓展

5 小結(jié)

5.1 大小比較的類(lèi)型總結(jié),策略剖析

函數(shù)值或參數(shù)的大小比較問(wèn)題,是近年新高考數(shù)學(xué)試卷中一類(lèi)比較常見(jiàn)的熱點(diǎn)題型,有時(shí)以單項(xiàng)選擇題的形式出現(xiàn),有時(shí)以多項(xiàng)選擇題的形式出現(xiàn),難度往往比較大,經(jīng)常出現(xiàn)在壓軸題的位置.此類(lèi)問(wèn)題以指數(shù)式、對(duì)數(shù)式、根式、分式等形式加以代數(shù)運(yùn)算,滲透基本初等函數(shù)(以?xún)绾瘮?shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等為主),結(jié)合代數(shù)運(yùn)算以及函數(shù)的圖像與性質(zhì)等基本內(nèi)容,巧妙融入數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀(guān)想象等核心素養(yǎng).

5.2 鏈接初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)

通過(guò)高等數(shù)學(xué)中的某個(gè)數(shù)學(xué)概念的初等化定義、初等化應(yīng)用等創(chuàng)新設(shè)置,實(shí)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)知識(shí)初等化,在定義、應(yīng)用等方面進(jìn)行拓展和延伸,考查學(xué)生的閱讀理解能力和推理論證能力等,也為后繼進(jìn)入高校學(xué)習(xí)做鋪墊.