氧化鋁納米流體液滴瞬態蒸發速率的演化特性分析

李鈺璨，胡定華，劉錦輝

（南京理工大學電子設備熱控制工信部重點實驗室，江蘇 南京 210094）

液滴蒸發是日常生產、生活中常見的物理現象。微小液滴蒸發時微觀尺度的熱力學驅動會引發宏觀尺度的力學效應，具有較好的傳熱傳質性能。納米流體是由納米尺度的顆粒加入基液并進行振蕩等操作后得到的性狀穩定的固液懸浮液。相較于其他傳統溶液，納米流體不僅保持了自身基液的相關性質，且納米顆粒的加入還會在一定程度上改變流體黏度、流變性、穩定性等特性，因此有關微小納米流體液滴蒸發特性的研究備受關注。納米流體液滴蒸發時，納米顆粒會受到多個力的協同作用，如范德華力、靜電力、界面毛細力等，在液滴蒸發完全后，在這些不同力的作用下，納米顆粒會在基板上形成不同的沉積圖案，因此對納米流體的蒸發沉積特性的研究在微尺度芯片制造、噴墨打印、農藥噴灑和病理檢驗等領域都有廣闊的應用前景。

納米流體液滴的蒸發速率對蒸發過程中內部顆粒的運動產生影響，而顆粒運動同樣也通過影響內部流場從而影響蒸發速率，因此研究納米流體液滴的瞬態蒸發速率規律對進一步研究納米流體的相關特性有重要意義。對液滴蒸發過程的數值研究目前有很多方法，陳劍楠等、Tanguy 等和謝馳宇等分別采用了體積函數法、水平集法和玻爾茲曼法來描述液滴形態，數值模擬液滴的蒸發過程。Hu等假設液滴在蒸發過程中是固定潤濕線且保持球帽狀的，用有限單元法求解了外部蒸汽濃度和蒸發通量，得出了利用蒸發速率作為接觸角函數的經驗表達式，并且探究了在忽略表面張力梯度和Marangoni 流的影響下蒸發液滴中的速度場。楊開采用任意拉格朗日-歐拉法（ALE），建立了全耦合的液滴瞬態蒸發模型。Cazabat 等在假設液滴內部溫度相同的條件下計算得出了蒸發速率的公式，并且探究了液滴半徑、界面蒸汽濃度等因素對蒸發速率的影響。事實上，由于考慮到蒸發冷卻效應和基板與液滴的熱傳遞，等溫假設在現實中很難實現，Semenov 等將熱量傳遞加入蒸發模型，完善了先前的蒸發速率公式。實驗研究方面，Gerken等通過實驗發現，相對于純水液滴在超疏水表面上的蒸發，納米顆粒的加入使得蒸發過程明顯縮短，納米流體液滴的體積與時間關系曲線的斜率隨時間有所減小。Sefiane等進行了加熱聚四氟乙烯（PTFE）底板上的鋁-乙醇納米流體液滴蒸發實驗，發現加入納米顆粒使基液的熱導率提高、黏度增大，從而使得液滴在定接觸半徑蒸發時的蒸發速率下降。Trybala等在聚乙烯（PE）、PTFE和硅片三種不同潤濕性的基體上，對無機納米顆粒TiO、SiO、碳的水基納米流體的固相液滴蒸發動力學進行了實驗研究，發現納米流體在較高熱導率的固體載體上蒸發速率更高，且蒸發速率與納米流體本身的熱導率有一定關系。此外，氣相環境中的自然對流也對納米流體液滴的蒸發有促進作用，Sobac等實驗證明了氣相環境中的浮升力會使得液滴的蒸發速率有所增大。

目前關于納米流體液滴蒸發過程的研究多集中在蒸發速率的影響因素上，有關液滴瞬態蒸發速率在蒸發過程進行中的演化特性方面的研究相對欠缺。本文基于ALE 法建立了納米流體液滴蒸發的瞬態模型，耦合了液滴蒸發過程中蒸汽濃度場、納米顆粒濃度場、氣液固溫度場以及液滴內部流場等多個物理場，同時考慮了液滴氣液界面Marangoni流效應，模擬了粒徑為50nm 的氧化鋁納米流體液滴在恒溫水平玻璃基板表面的蒸發過程，研究了隨著蒸發過程進行液滴的瞬態蒸發速率的變化規律，探究了液滴內部顆粒體積分數與基板溫度的變化對蒸發過程中瞬態蒸發速率的影響，并開展了相應的液滴蒸發實驗，對數值模型和結果進行了驗證。

1 數值模型與實驗系統

1.1 液滴蒸發過程的數值模型

1.1.1 物理模型

如圖1所示，初始高度=1mm，接觸半徑=1mm 的氧化鋁納米流體液滴在一水平玻璃基板上表面蒸發。假設納米流體液滴蒸發時始終可被視為球冠，納米顆粒均勻地分散于基液中，且蒸發模式為恒接觸半徑蒸發（CCR），接觸半徑保持不變，接觸角隨蒸發過程進行逐漸減小。模型為二維對稱結構，玻璃基板溫度恒為，環境溫度=20℃，設定相對濕度=45%。

圖1 納米流體液滴蒸發模型示意圖

納米流體的密度計算公式見式(1)。

式中，為納米顆粒體積分數。

比熱容計算公式見式(2)。

式中，和分別為水和納米顆粒的比熱容。動力黏度計算公式見式(3)。

環境溫度下納米流體的表面張力計算公式見式(4)。

式中，為水在環境溫度下的表面張力，20℃條件下水的表面張力=72.75mN/m。

已知蒸發過程中納米流體的表面張力與溫度有關，則有式(5)。

式中，為液滴表面處的溫度；為表面張力-溫度系數。

納米流體的熱導率可以表述為式(6)。

式中，和分別為水和納米顆粒的熱導率。

此外，本文所建立的液滴蒸發模型作了如下假設：液滴氣液兩相界面處的蒸汽處于飽和狀態；液滴內部pH 一定，忽略顆粒與顆粒之間及顆粒與基板間的DLVO 作用力；不考慮溫度對比熱容、黏度和熱導率的影響及納米流體液滴不穩定性的影響；液滴中的納米顆粒在蒸發過程中沒有擴散至蒸汽環境，蒸發結束后均沉積在基板表面。

1.1.2 數學模型

（1）任意拉格朗日-歐拉（ALE）法

描述流體運動的主要方法分為拉格朗日法和歐拉法。拉格朗日法的網格點跟隨流體質點運動，而歐拉法的網格點固定在空間中。任意拉格朗日-歐拉（ALE）法則能夠結合上述兩種方法的優點，使網格點既可以隨流體質點變形，但又不必完全依附流體質點，從而能更有效地捕捉流體的交界、動態界面。本文采用ALE法實現對液滴氣液兩相界面在蒸發過程中運動的捕捉。

在ALE 坐標系中，定義對流速度的表達式為式(7)。

式中，和分別為物質坐標和網格坐標；(,)和(,)分別為物質點、網格點的空間速度。

由此可得物質時間導數見式(8)。

式中，?為空間梯度算子。

（2）控制方程

蒸發過程中，流體區域內連續性方程、動量方程見式(9)、式(10)。

式中，為流體速度；為流體密度；為流體內部壓力；為流體動力黏度。

蒸發過程中液滴與蒸汽環境之間能量守恒，則有式(11)。

式中，為流體溫度。

蒸汽的擴散方程見式(12)。

式中，為蒸汽濃度；為蒸汽擴散系數，本模型中參考取值=2.61×10m/s。

對于含顆粒的納米流體液滴，內部顆粒對流擴散方程見式(13)。

式中，為納米顆粒的擴散系數。對于水中粒徑50nm 的氧化鋁納米顆粒，其擴散系數約為1.7×10m/s。

液滴內部的Marangoni流作用可描述為式(14)。

（3）初始及邊界條件

初始條件：當=0時，液滴的內部各點溫度均等于液滴外部環境溫度，且液滴內部流體無運動。

邊界條件：在=0處，溫度始終保持基板溫度，且無質量傳遞。

在=0 處，采用軸對稱邊界條件，徑向無質量、熱量傳遞。

在=100處，相對濕度保持不變，蒸汽濃度與有以下關系，見式(15)。

在氣液兩相界面處，蒸汽處于飽和狀態，則有飽和大氣壓、飽和蒸汽濃度，見式(16)、式(17)。

液滴在氣液兩相界面的局部蒸發流量見式(18)。

式中，為蒸汽的摩爾質量，kg/mol。

液滴的蒸發速率見式(19)。

式中，為液滴氣液兩相界面的表面積。

蒸發過程中氣液兩相界面處的液滴與外部環境的換熱量見式(20)。

1.1.3 模型求解

本文使用COMSOL 軟件求解上述模型。本模型中網格使用的是三角形劃分，在氣液兩相界面、氣液固三相接觸線附近進行自適應網格細化處理，最大網格單元的尺寸為1×10mm。為保證計算的精確性，氣液兩相界面處網格質量小于0.1 時，兩相界面處的網格將會自動再次進行劃分。圖2所示為初始時刻時模型計算域中液滴及液滴周圍的網格劃分結果。瞬態求解器采用向后差分法，初始時間步長設為1×10，最大時間步長設為1×10，并依據模型計算進程中的收斂情況自動調整步長。采用大規模稀疏矩陣求解器進行線性求解，非線性求解器采用牛頓阻尼法，阻尼因子設為1。

圖2 納米流體液滴網格劃分結果

基于上述模型，在設置基板溫度為40℃、納米顆粒初始體積分數為2%的條件下，采用不同的網格數進行計算，驗證網格無關性。表1所示為三種不同網格數條件下計算得出的液滴蒸發速率的最大相對偏差，網格數為27779 時最大相對偏差僅為1.03%，為提高計算效率、保證計算的準確性，本文使用該網格數進行計算。

表1 網格無關性驗證

1.2 蒸發實驗系統

1.2.1 實驗方法

本實驗中用到的分散液為氧化鋁納米流體溶液，納米顆粒是平均粒徑為50nm 的球形氧化鋁納米粒子，基液為去離子水，采用“兩步法”進行納米流體的制備。圖3為實驗裝置圖?？刂剖覂葴囟葹?5℃±2℃，相對濕度為45%，對納米流體液滴進行蒸發實驗研究，具體實驗步驟如下。

圖3 實驗裝置圖

（1）使用電子天平稱量一定質量的去離子水和納米顆粒，在燒杯內進行稀釋混合。將燒杯置于磁力攪拌器上攪拌15min，再使用超聲波振蕩器進行振蕩30min，得到納米流體。

（2）設定恒溫水浴槽的加熱溫度并開始預加熱。當恒溫水浴槽達設定溫度時，用鑷子將完全清洗后的玻璃載玻片放在實驗裝置臺上，使用微量移液器取2μL 納米流體液滴滴在載玻片上開始蒸發。

（3）液滴蒸發過程中，用高速相機記錄接觸角的大小并觀察液滴接觸線處顆粒的運動情況和液滴的輪廓變化。

1.2.2 瞬態蒸發速率的計算

通過分析高速相機實時拍攝的不同時刻的液滴照片，可測得液滴接觸角和接觸半徑等參數。由于液滴在蒸發過程中保持球冠形，即可計算液滴體積，見式(21)。

利用中心差分法處理計算得出的液滴體積的相關數據，得出液滴瞬態蒸發速率，見式(22)。

式中，V為第個測量數據點計算得出的液滴體積；Δ為數據點的間隔時間。

2 結果與討論

2.1 瞬態蒸發速率的模型驗證

圖4給出了模擬計算與蒸發實驗分別得到的在基板溫度45℃條件下純水液滴蒸發過程中蒸發速率隨時間的變化曲線。圖4中模擬結果與實驗結果均顯示，隨著蒸發過程的進行，純水液滴的瞬態蒸發速率呈現逐漸減小的趨勢。另外，從瞬態蒸發速率數值大小的角度分析，模擬與實驗的結果相對誤差小于13.1%，可以認為本文模型具有合理性，能夠較為準確地進行液滴蒸發動態過程的計算分析。

圖4 純水液滴瞬態蒸發速率隨時間的變化關系

2.2 液滴瞬態蒸發速率隨時間的變化特性

液滴的蒸發速率受到多種因素的影響，如環境溫濕度、基板表面情況以及液滴自身物性等。其中，在純水中加入納米顆粒，可以改變流體的熱力學特性，并且影響液滴蒸發過程中內部流場的分布情況。本文主要通過數值模擬的方法，研究納米流體液滴在蒸發過程中其瞬態蒸發速率與蒸發時間的關系。

圖5 給出了模擬計算得到的相同基板溫度（45℃）條件下，純水液滴和不同初始顆粒體積分數（2%、1%、0.1%）的氧化鋁納米流體液滴蒸發過程中蒸發速率隨時間的變化曲線。從圖5中可以看出，在蒸發過程的前期階段，兩種液滴的蒸發速率均隨蒸發時間的增加而減小。在蒸發過程進行到后期時，納米流體液滴的蒸發速率突然增大，而純水液滴則仍然保持減小的趨勢。對比兩種液滴，可以發現納米流體液滴的瞬態蒸發速率整體大于純水液滴，蒸發時間也明顯縮短。由此可見，納米顆粒的加入可以強化液滴的蒸發。

圖5 納米流體液滴和純水液滴的瞬態蒸發速率隨時間變化關系

在納米流體液滴蒸發前期，瞬態蒸發速率隨時間呈逐漸減小的趨勢。這是由于在液滴蒸發過程中，瞬態蒸發速率與液滴的氣液界面的面積有直接關系。納米流體液滴在蒸發前期處于定接觸半徑蒸發模式，即在蒸發過程中接觸線釘扎、接觸角逐漸減小、液滴高度逐漸降低。所以在這種模式下氣液界面表面積不斷減小，從而使得瞬態蒸發速率逐漸降低。對于純水液滴而言，瞬態蒸發速率逐漸降低的變化趨勢貫穿蒸發過程的始終，曲線斜率也保持恒定。然而納米流體液滴由于內部顆粒濃度不斷增大，一定程度上強化了液滴內部的傳熱，使瞬態蒸發速率能夠維持在較高的水平，故曲線斜率逐漸減小。

圖6給出了瞬態蒸發速率與液滴內部顆粒體積分數變化之間的關系。研究發現，不同初始顆粒體積分數的納米流體液滴的瞬態蒸發速率曲線駐點均在顆粒體積分數約26%處。這說明隨著蒸發過程的進行，液滴內部顆粒體積分數達到26%時，顆粒在液滴內部的運動對液滴表面的蒸發行為的影響增大，并且超越了液滴表面積變化對蒸發的影響，使得瞬態蒸發速率的變化趨勢發生改變。

圖6 瞬態蒸發速率與納米顆粒體積分數的關系

納米流體液滴蒸發后期，瞬態蒸發速率會呈現迅速增大的趨勢。這是由于趨于蒸發完全時液滴內部基液含量較少，蒸發使得顆粒在液滴中的占比快速增大，流體熱導率較大，局部蒸發流量較高，瞬態蒸發速率顯著提升。同時，如圖7所示，在蒸發過程中液滴內部顆粒分布會隨時間發生一定變化。蒸發后期大部分納米顆粒已經附著在基板上，且大多顆粒在三相接觸線附近聚積，使得液滴高度下降到一定程度后會形成一層附著在邊緣堆疊顆粒上的液膜，增大了氣液界面面積，從而增大了瞬態蒸發速率。

圖7 蒸發過程中液滴內部顆粒濃度分布的變化

另外，因受到Marangoni 流的影響，蒸發過程中顆粒濃度的增大也加強了液滴的對流換熱，使得液滴蒸發加快。圖8為納米流體液滴蒸發過程中溫度場和流場的動態變化示意圖。如圖8所示，液滴內部的Marangoni 流隨時間的增加而逐漸增強，液滴中傳熱較強的位置也由液滴的三相接觸線向液滴的內部緩緩移動，液滴內部溫差逐漸減小，可見Marangoni 流可以強化液滴內部的傳熱過程，從而促使納米流體液滴瞬態蒸發速率的增大。在蒸發后期，Marangoni 流引發了較為明顯的流場變化，液滴邊緣處的反向回流較強，也是造成瞬態蒸發速率快速加大的重要原因。

圖8 液滴內部溫度場及流場分布

2.3 基板溫度對液滴瞬態蒸發速率的影響

溫度是影響流體蒸發速率的重要因素，本文主要研究基板溫度對液滴蒸發過程的影響。圖9分別給出了不同基板溫度（30℃、40℃、50℃）條件下，純水液滴與顆粒初始體積分數為1%的納米流體液滴的瞬態蒸發速率隨時間變化情況。對于同一種液滴，基板溫度的升高導致液滴的瞬態蒸發速率加快、蒸發時間縮短，但基板溫度的變化無法改變同種液滴的瞬態蒸發速率變化趨勢。對比三個溫度下的蒸發模型的計算結果，發現基板溫度每升高10℃，液滴在蒸發前期的蒸發速率增大約4.4%，蒸發全過程平均蒸發速率增大約4.8%，總蒸發時間縮短約6.23%。

圖9 不同基板溫度條件下液滴的瞬態蒸發速率隨時間變化關系

基板溫度的升高使得液滴對流換熱增強，加速了內部流體流動，增大了顆粒間的擾動，從而增強氣液界面的流體蒸發。圖10 給出了基板溫度與液滴內部顆粒體積分數之間的關系，可以看出，基板溫度越高，顆粒體積分數增大越快，使得瞬態蒸發速率曲線的駐點前移，整體上加速了液滴的蒸發。另外，由于液滴氣液界面的蒸汽濃度僅與溫度有關，所以基板溫度的升高會導致氣液界面的溫度升高，使得液滴附近蒸汽濃度提高，與環境的蒸汽濃度梯度增大，加快液滴的蒸發。

圖10 不同基板溫度條件下顆粒體積分數變化

3 結論

本文基于ALE 法建立了納米流體液滴在水平基板表面蒸發的模型，耦合液滴內部Marangoni 流作用，對納米流體液滴在恒溫基板上的蒸發過程中的動態特性進行了分析，得到結論如下。

（1）納米流體液滴蒸發的前期階段氣液界面面積逐漸減小，使得瞬態蒸發速率隨時間緩慢減?。唤咏舭l完全時，由于液滴高度較小，已附著在基板上的顆粒使納米流體液滴表面形成液膜加速蒸發，且內部顆粒濃度較大，Marangoni 流作用顯著提升，瞬態蒸發速率突然加大。

（2）納米流體液滴在蒸發過程中，瞬態蒸發速率曲線的駐點出現在內部顆粒體積分數增大至26%時，此時液滴內部顆粒的運動對流體蒸發的影響增大至一定程度，瞬態蒸發速率的變化趨勢由隨時間遞減轉變為遞增。

（3）在不同基板溫度、不同初始顆粒體積分數的情況下，納米流體液滴的瞬態蒸發速率均呈現隨蒸發時間增加先減小后增大的趨勢?；鍦囟鹊纳吆统跏碱w粒體積分數的加大能夠增強液滴的蒸發，縮短蒸發時間，但對液滴的蒸發模式影響較小。

—— 蒸汽濃度，mol/m

—— 納米流體的比熱容，J/(kg?K)

—— 蒸汽擴散系數，m/s

—— 納米流體液滴中顆粒擴散系數，m/s

—— 相對濕度，%

——=0處液滴高度，m

—— 汽化潛熱，J/kg

—— 瞬態蒸發速率，m/s

—— 氣液兩相界面處局部蒸汽流量，m/s

—— 熱導率，W/(m?K)

—— 壓力，Pa

—— 熱流量，W/m

—— 液滴半徑，m

—— 溫度，K

—— 時間，s

—— ALE中的對流速度，m/s

—— 顆粒速度，m/s

—— 顆粒體積分數，%

—— 表面張力-溫度系數，kg/(s·K)

—— 接觸角，（°）

—— 動力黏度，Pa?s

—— 密度，kg/m

f—— 基液

nf—— 納米流體

p—— 納米顆粒

sat—— 飽和狀態

w—— 基板表面

∞—— 外界環境