一種復合式非線性低頻隔振器的隔振特性分析

李小彭，孫萬琪，尚東陽，軒詩雨

（1.吉林大學汽車仿真與控制國家重點實驗室，長春 130025；2.東北大學機械工程與自動化學院，沈陽 110819）

0 引 言

艦船上的動力設備在工作時產生的低頻振動由于其高傳遞性和低衰減性，一直是威脅艦船隱蔽性的主要因素[1]，同時艦船設備由于其工作環境的特殊性，要求隔振系統具有一定的高靜低動的剛度特性，因而構建合適的減振系統以提高艦船的隱蔽性及存活率是目前水下減振研究的主要方面。隔振系統根據是否需要外部能量輸入可以分為主動隔振與被動隔振，主動隔振系統雖然效果有所提升，但其設備的復雜性以及維護的不便性限制了其在艦船工程方面的應用。被動隔振由于其結構簡單、可靠性高、無外加能量，仍然有著廣泛的工程應用空間[2]。

傳統被動隔振能夠隔離大部分高頻振動，但卻對低頻振動的隔離效果較差[3]。何琳等[4]系統地介紹了我國船舶隔振的發展歷程，其隔振的核心問題是在如何能夠保證系統穩定性的前提下盡可能地降低低頻振動；為了解決這一問題，鄧辰鑫等[5]基于慣容器構造了主動慣容控制策略，提高了列車的低頻隔振能力；吳庭等[6]將慣容器與蓄能器相結合構造出復合式低頻隔振器；包國志等[7]利用磁流變阻尼器研究了船舶雙層隔振系統的非線性動力學特性；朱翔等[8]針對艦船的低頻線譜研究提出了一種新型慣容式動力反共振隔振器，實現良好的低頻線譜隔振；劉彥[9]將慣容器分別以不同的方式與傳統隔振與吸振系統相結合，研究表明加入慣容器后在不改變原系統高頻隔振的基礎上，能夠大幅提升系統低頻的效果；郭俊華等[10]針對慣容器在船舶隔振領域的深入應用，提出一種新型的慣容-橡膠復合系統的傳遞率計算方法，并利用實驗證明了該方法的有效性。

高靜低動的剛度特性既能夠增強系統的側向穩定性，也能夠擴展其隔振帶寬。為實現這一特性，李爽等[11]基于機械彈簧和雙環永磁體設計了一款具有高靜低動特性的隔振器；程春等[12]根據高靜低動隔振器的特點提出一種時滯立方位移反饋控制策略；余慕春等[13]以水和疏水沸石顆粒為介質構建分子彈簧隔振器，并以此實現高靜低動的非線性剛度；楊志榮等[14]將屈曲圓板和線性彈簧組合構成非線性隔振器，并利用有限元軟件分析了該隔振器的高靜低動特性；柴凱等[15]針對潛艇設備低頻振動的難題，提出一種具有高靜低動剛度特性的三磁體型隔振器。

為了滿足艦船設備的隔振需求，本文通過斜置式慣容結構獲得了關于慣容器的非線性特性，并將其與經典ISD（inerter-spring-damper）隔振器相結合，構造出一種復合式非線性低頻隔振器（compound nonlinear vibration isolator，CNI），能夠同時滿足低頻隔振及高靜低動剛度的要求。對該非線性隔振器進行了動力學建模，并與經典ISD隔振器和經典QZS（quasi-zero stiffness）隔振器對比，分析其隔振效果；同時分析了系統結構參數對于頻響及力傳遞的影響，為船艦低頻隔振系統的設計提供了理論指導。

1 數學模型

1.1 斜置式慣容結構模型

斜置式的慣容結構如圖1 所示，該結構主要由在A點相互鉸接的兩個慣容器組成，慣容器的另一端點分別固定于O1和O2點，且兩點相距2l。假設鉸接點A始終位于O1O2連線的中線上，故慣容器的終端始終沿垂直方向移動，移動距離為x。θ表示慣容器與水平線間的夾角，分析可得

圖1 斜置式慣容結構Fig.1 Inclined inerter structure

根據該斜置結構可知，沿慣容器軸向的力為

沿垂直方向的力可表示為

通過式（3）可以發現該結構所受到的力fA與慣容器終端A點的位移、速度以及加速度均有聯系，這與經典ISD隔振結構形成了一定的對比，經典ISD隔振的作用力僅與慣容器端點的加速度有關。為了更直觀地對其聯系進行分析，假設慣質系數bh=0.8 kg，距離l=1.3 m，分析結果如圖2所示。

圖2 斜置式慣容受力特性Fig.2 Oblique inertial capacity force characteristics

觀察圖2 可以發現斜置式慣容受力呈現出一定的非線性特質，fA1與終端的加速度x?成正比，而fA2與其終端速度x?的平方成正比。同時圖2（b）表明fA2在位移x=0處對于速度的變化非常敏感，當位移逐漸增大時，fA2逐漸向0貼近。

1.2 隔振器動力學建模

將斜置式慣容結構引入隔振器的設計，構建一種CNI 隔振器，如圖3（a）所示。同時為了對比分析，分別構建經典QZS隔振器和經典ISD隔振器，如圖3（b）和圖3（c）所示。

圖3 不同類型的隔振器Fig.3 Different types of vibration isolators

圖3（a）中的CNI 隔振器主要由一對剛度系數為kh/2 的橫向彈簧、一對慣質系數為bh/2 的慣容器、剛度為k的支撐彈簧、慣質系數為b的慣容器以及阻尼系數為c的阻尼組合而成；圖3（b）中的經典QZS隔振器相對于非線性CNI隔振器沒有了慣容器這一元件；而圖3（c）中的經典ISD隔振器僅由支撐彈簧k、慣容器b以及阻尼c組成。同時x表示質量塊m在垂直方向上的位移，F表示質量塊m所受到的激勵力；并且在圖3（a）及圖3（b）中設定當位移x=0 時，橫向彈簧恰好處于水平狀態，并且橫向彈簧及慣容器兩端點距離為l，而橫向彈簧原長為l0，為了獲得一定的準零剛度特性，設定l＜l0。

對圖3（c）中的經典ISD隔振器進行動力學分析，可得

式中，f表示激勵力F的幅值，ω表示激勵力的頻率，x表示質量塊的位移，x?表示質量塊的速度，x?表示質量塊的加速度。

根據圖1斜置式慣容結構可知，圖3（a）中CNI隔振器的縱向彈簧及橫向彈簧的聯合恢復力為

CNI隔振器的動力學方程為

為了簡化計算，對式（6）進行無量綱化處理，令

式中，ω0表示系統的固有頻率，μ表示無量綱化后的時間，λ表示系統的慣質比，λh表示斜置系統的慣質比，ξ表示系統阻尼比，L表示彈簧長度比，X表示無量綱化后的位移，K表示彈簧剛度比，Fw表示無量綱化后的激勵比，?表示無量綱化后的激勵頻率比。

將無量綱化后的結果式（7）代入式（6）可得

當X很小時，根據泰勒公式可得

為了更加準確地描述上述隔振系統的動態響應，令質量塊的位移、速度以及加速度分別為

式中，r表示響應的幅度，?表示響應的頻率，φ表示響應的相位角。

將式（10）代入式（9）并經過變換可得

為了簡化計算，本文僅考慮激勵頻率附近的系統動力學響應，故可得

經過數學變換可得

根據三角變換，式（13）可化為

2 數值仿真及分析

2.1 隔振特性分析

根據圖3（b）中經典QZS隔振器的動力學模型可知，慣質比λ與λh為0，則式（14）可化為

根據圖3（c）中經典ISD隔振器的動力學模型可知

為了分析三種隔振系統的固有特性，令系統中阻尼以及外部激勵等于0，則CNI 隔振系統的穩態響應如式（17）所示。

經典QZS隔振系統的穩態響應如式（18）所示。

經典ISD隔振系統的穩態響應如式（19）所示。

為了更直觀地分析各減振系統的穩態響應，將其應用于艦船動力設備的隔振中。5DK-20 柴油發動機組作為我國經典的一款發動機組具有很多的優點，但其在工作過程中擾動扭矩較大，直列式的柴油機相較V列式會產生更大的往復慣性力，基于上述原因其在船舶工程領域上的應用受到了一定的限制。令CNI 隔振系統中α=0，β=2.2，λ=20，λh=20；經典QZS 隔振系統中α=0，β=2.2，λ=0，λh=0；經典ISD 隔振系統中λ=0。將上述參數分別代入各減振系統的穩態響應表達式中，結果如圖4所示。

圖4 穩態響應曲線Fig.4 Steady-state response curve

圖4展示了圖3中不同隔振系統的穩態響應曲線。通過觀察可以發現，經典QZS隔振系統的穩態響應曲線隨著響應頻率的增加，其響應幅度也逐漸增加，即響應幅度與響應頻率成正比，呈現出曲線硬化的特點；而ISD 隔振系統的穩態響應曲線則是位于低頻范圍內的一條直線；CNI 隔振系統的穩態響應曲線則結合了二者的特點，響應曲線開始時逐漸向高頻方向發展，當其到達某一個拐點時，隨著響應幅度rp的增加，曲線逐漸開始向低頻方向彎曲。

為了進一步探究CNI 隔振系統穩態響應曲線變化的規律，有必要對其拐點分布作進一步討論。對式（17）求導可得

令式（20）等于0，可化簡為

設置CNI 隔振系統參數α=0，β=2.2，λh=15，改變慣質比λ的取值，將其代入式（19）求得拐點，結果如圖5（a）所示；令λ=15，改變慣質比λh的取值，結果如圖5（b）所示。

圖5 改變慣質比時CNI隔振系統的穩態響應曲線Fig.5 Response of CNI vibration isolation system with the change of inertia ratio

圖5 展示了改變慣質比時CNI 隔振系統穩態響應曲線的變化情況以及拐點的運行軌跡。隨著慣質比的增大，可以發現響應曲線隨著響應幅度rp的增大逐漸向低頻方向彎曲；同時通過對式（21）的求解，獲得了不同慣質比下的拐點位置，進而得到一條拐點的運行軌跡，可以看出慣質比λ及λh對于拐點運行軌跡的影響是不同的，如圖5（a）所示，隨著λ的增大，拐點軌跡逐漸上升，而拐點位置則隨著頻率比?p的減小逐漸向幅值rp增大的方向移動；如圖5（b）所示，隨著λh的增大，拐點軌跡逐漸下降，拐點位置逐漸向頻率比?p和幅值rp減小的方向移動。這表明通過調整慣質比能夠控制響應曲線拐點的位置，進而改變其隔振特性。

為了對系統隔振性能作進一步了解，設定系統參數L=1.3，Fw=0.01，K=3.4，ξ=0.01，λh=20，λ=20。將上述參數代入式（14）～（16）中，可獲得不同隔振系統的動力學響應，如圖6（a）所示；為了對比不同慣質比下CNI隔振系統的動力學響應，令λ=λh，其余參數不變，響應分析結果如圖6（b）所示。

通過圖6（a）可以發現，CNI隔振系統在低頻階段具有與QZS 隔振系統類似的硬化剛度特性，而后隨著幅值的增加，頻率響應曲線逐漸向低頻方向彎曲，這是由于慣容器的作用。圖6（b）展示了改變慣質比時CNI 隔振系統的動力學響應，隨著慣質比的增大，共振峰值逐漸向低頻方向移動，即慣質比的增大擴大了CNI隔振系統的有效頻率范圍，并且慣質比主要對共振峰區域產生影響，而對遠離共振區的頻率段幾乎沒有影響。同時可以觀察到慣容器的引入增大了隔振帶寬，但也不可避免地增加了共振峰的幅值。

圖6 隔振系統的動力學響應Fig.6 Dynamic response of the vibration isolation system

對比圖3（b）與圖3（c）中隔振系統的結構，發現CNI隔振系統增加了橫向彈簧，因此有必要研究橫向彈簧剛度對隔振系統響應特性的影響，設置剛度比K分別為0（α=1，β=0）；0.5（α=0.85，β=0.325）；1（α=0.7，β=0.65）；1.5（α=0.55，β=0.975）；2（α=0.4，β=1.3），其他參數ξ=0.01，F=0.01，L=1.3，λ=20，λh=20。

圖7展示了改變橫向彈簧剛度時不同隔振系統響應曲線的變化情況，圖7（a）為CNI隔振系統的響應曲線，可以看出當剛度比K為0 時，響應峰曲線逐漸向低頻方向彎曲，隨著彈簧剛度的增大，曲線共振峰逐漸向低頻方向移動，而其曲線峰值則逐漸偏向高頻方向。觀察圖7（b）可發現當K等于0時，曲線共振峰所處位置頻率較高，且峰值曲線近似為直線；隨著剛度K的增加，共振峰逐漸向低頻方向偏移，峰值曲線則向高頻彎曲；對比可以看出加入慣容器后會改變系統峰值曲線的彎曲方向。

圖7 橫向彈簧剛度對隔振特性的影響Fig.7 Influence of lateral spring stiffness on vibration isolation characteristics

2.2 系統穩定性分析

在實際工程應用中，系統的穩定與否直接決定了工程的成敗。對于線性系統來說，絕大多數的運動都是穩定的，但對于非線性系統而言則未必如此[16]，因此有必要對本文所述的非線性振動系統進行穩定性方面的分析。

對于非線性振動系統來說，為了簡化計算，可以利用一次近似判別法來對系統的穩定性進行判別。對于該系統有

將其概念一般化，利用狀態向量[x1x2]對其變量[x x? ]進行替換，即可化為

非線性系統中可以有多個平衡位置，但并非所有的平衡位置均是穩定的，因此需要確定出該系統所有的平衡位置，進而對其進行辨別。平衡的條件可以表示為

在平衡點鄰域內將式（23）按泰勒公式展開，則可表示為

此時非線性系統可以表示為

與之相對應的一次近似系統為

為了分析本文所提非線性隔振系統的穩定性，將式（8）進行變換可得

利用狀態向量[x1x2]對式(28)中變量[X]進行替換，新的表達式為

依據式（24）對系統的平衡點進行求解，可獲得該系統的平衡位置為

在該平衡位置將其展開為泰勒級數并簡化，則式（29）可表示為

系數矩陣為

特征方程的系數為

將系統參數L=1.3，K=3.4，ξ=0.01代入并計算判別式，可得

按照一次近似判別法可認定該系統是穩定的。

2.3 力傳遞特性分析

力傳遞率在隔振器的評估體系中占有重要地位，通過計算觀測力傳遞率的大小即可判定隔振器的隔振性能。

根據系統動力學方程可知，忽略其高階頻率處的分量，CNI隔振系統傳遞到上層的力可近似為

將傳遞力與激勵的比值定義為力傳遞率T，則CNI隔振系統的力傳遞率可表示為

令參數ξ=0.01，F=0.01，K=3.4，L=1.3，將參數代入式（21）可獲得該系統的力傳遞特性，改變慣質比λ的數值（λh=20），并基于諧波平衡法對系統進行求解，最終的力傳遞曲線的數值結果如圖8（a）所示；改變慣質比λh的數值（λ=20），基于諧波平衡法對系統求解，數值結果如圖8（b）所示；同時改變慣質比λ和λh的值（λ=λh），對系統進行求解，結果如圖8（c）所示。如圖8（a）中放大圖所示，隨著慣質比λh的增大，系統力傳遞率的大小基本保持不變，但曲線逐漸向低頻方向移動；而改變λ時，可以發現系統的有效頻率范圍會隨之發生改變；圖8（c）展示了同時改變慣質比λ和λh時系統的力傳遞變化，觀察發現當慣質比數值較小時，其與經典QZS 隔振系統的力傳遞特性類似，曲線逐漸向高頻方向擴展；隨著慣質比的增大，向高頻方向彎曲的趨勢逐漸減弱，且出現低頻回轉的現象。這些特性進一步證明了CNI隔振系統能夠有效改善系統的隔振帶寬，增大有效使用范圍。同時與混合船舶動力隔振系統［17］相比，本文CNI隔振系統結構簡單，未引入外部能量，并且系統能夠通過改變慣質比進而控制系統的隔振特性，提供更寬的隔振頻帶。

圖8 CNI隔振系統的力傳遞率Fig.8 Force transmission rate of CNI vibration isolation system

3 結 論

本文提出一種可提升低頻隔振效果的的艦船CNI隔振系統，該隔振系統由橫向慣容器、橫向彈簧以及經典ISD 隔振器組合而成。基于諧波平衡法獲得該系統的頻率響應關系和力傳遞特性，并與經典ISD隔振器以及經典QZS隔振器進行對比，研究發現：（1）CNI隔振系統的頻率響應曲線更傾向于低頻方向彎曲，且相較于其他隔振器，有著更小的響應峰值；（2）隨著慣質比λ的增大，隔振系統的動態響應幅值逐漸增大，并且力傳遞率的頻帶更寬，有效范圍更大。

研究結果表明，該CNI隔振系統有著更好的低頻隔振性能，這些發現有助于進一步了解非線性慣容隔振系統的動態特性，并且為艦船隔振系統的設計提供了新的思路。