浮體吃水比對窄縫流體運動特性的影響

曹學珅，陳林烽，孫士艷

（江蘇科技大學船舶與海洋工程學院，江蘇 鎮江 212003）

0 引 言

FPSO 和FLNG 等海洋平臺發展迅速，將石油，天然氣卸載到穿梭船的過程中，FPSO 和FLNG 平臺將與穿梭船組成多浮體系統，平臺和穿梭船間形成窄縫。超大型浮體結構[1]由許多獨立模塊組成，是多浮體系統，模塊間存在窄縫。多浮體系統窄縫內的流體在特定入射波條件下會發生振蕩甚至共振，對窄縫兩側結構施加作用力，影響操作過程中結構穩定性。這種現象涉及的問題被稱為窄縫流體共振問題。雙體船兩船體間也存在窄縫，設計雙體船時，也需考慮窄縫流體共振。

窄縫內流體發生振蕩，多浮體系統和波浪間存在復雜的水動力干擾現象[2]。特定入射波下，窄縫內流體的波幅比入射波波幅高，甚至達到入射波波幅的5 倍[3]。窄縫流體共振會影響系統穩定性，該問題得到了廣泛關注。大量的理論分析和試驗研究了窄縫流體共振的機理和水動力特性[4]。對此問題的研究方法有三種：理論分析、物理實驗和數值模擬。

2001 年，Molin 用線性勢流理論模型得到窄縫流體共振問題共振頻率的求解公式。Kristiansen等[5]發現與試驗結果比，線性勢流模型會高估窄縫流體共振中流體的振蕩響應幅度。為糾正線性勢流模型缺陷，Huijsmans等[6]提出在浮體間窄縫加剛性蓋，Newman[7]提出在窄縫加柔性蓋，Chen[8]提出把人工阻尼引入線性勢流模型。

Tan 等[9]為研究浮體艙底形狀對窄縫共振的影響進行了多次試驗，發現尖銳形狀艙底的能量耗散比圓滑艙底大。Zhao 等[10]用瞬態波浪研究三維條件下窄縫流體共振，分析其線性阻尼項。后來Wang[11]重復Zhao的試驗，發現瞬態波浪組比典型入射波浪更適合窄縫流體共振的研究。

計算流體動力學數值模擬已成為一種高效研究窄縫流體共振問題的新方法。Moradi 等[12]在考慮粘性情況下模擬二維旁靠駁船的窄縫流體共振，發現船艙底部半徑增加,波浪響應幅度下降。Lu 等[1]用修正勢流模型和粘性流體方法研究二維窄縫流體共振。Tan 等[13]得出修正勢流模型中阻尼系數和波浪耗散率之間的關系。Lin 等[14]基于非定常雷諾平均Navier-Stokes 方程直接求解FLNG-LNG 旁靠浮體模型的水動力學載荷。

本文的結構如下：第一章介紹粘性流動模型的控制方程，VOF 模型定義，數值波浪水池的邊界條件，介紹5種算例的具體設置，展示算例草圖和算例網格的加密方式。第二章中使用已有試驗和以往研究的數據驗證粘性流動模型，利用吃水比為1 的多浮體系統討論水池深度對模擬的影響。討論浮體吃水對窄縫流體共振的波浪響應幅度和共振頻率的影響；提出基于控制體的理論力學模型，分析窄縫流體共振的能量轉換；展示不同吃水比的多浮體系統在不同入射波下的渦量圖，討論浮體吃水對窄縫流體共振中浮體周圍和窄縫入口處的流體流動和能量轉換的影響。第三章對本文工作進行總結。

1 數學模型

數值水池中水氣兩相流的粘性流體模型[15]為不可壓縮流體的Navier-Stokes方程。本文所采用的數值工具為基于Open FOAM開發的Waves2Foam[16]開源程序，Waves2Foam結合水波理論為數值水池生成入射波、吸收遠場反射波。

1.1 粘性流體模型

不可壓縮流體的粘性流體模型的控制方程為

式中，ui和xi分別代表沿i方向的速度分量和笛卡爾坐標系分量，prgh表示超過靜水壓力的壓力值，prgh=p-ρg(x2-xr)，其中g是重力加速度，xr表示定義在海平面的參考坐標，ρ，υ分別表示流體密度和運動學粘性系數。

1.2 流體體積函數

本文采用Hirt 和Nichols 提出的VOF 方法[17]（流體體積法）捕捉粘性流體流動模型的自由液面波。對于任意一個計算單元，用α表示流體的體積分數，則

VOF方法中流體體積的輸運方程遵循以下對流方程：

式中，vr=vwater-vair表示水和空氣之間的相對速度即壓縮速度，式（4）中第3項為數值求解過程中引入的一個虛擬壓縮項，用于改善自由液面的數值耗散。根據流體體積分數，流體密度ρ和有效動力粘性系數μ定義為

其中下標中的w和a分別表示水和空氣。

1.3 算例設置

本文所使用的數值水池是一個18.09 m×1.5 m 的長方形水箱，如圖1 所示。數值水池中固定的兩個矩形浮體被定義為浮體A1和A2。兩浮體有相同的寬度B，B=0.5 m,兩浮體間有寬度為Bg的窄縫，Bg=0.05 m。兩浮體吃水深度分別用h1和h2表示，浮體吃水深度的最小值是0.25 m。算例浮體吃水比值（h2/h1）的范圍是2.0，1.5，1.0，0.67，0.5。數值水池的水深H是1 m。浮體下和窄縫內流體所在的空間被定義為控制體，用CV 表示。一階Stokes 規則波在數值波浪水池的入口處生成，波浪升高幅度ζ、入射波勢能φ和速度分量u，w的公式為

圖1 數值模擬水池Fig.1 Schemathic of the simulation tank

式中，A表示波浪幅值（在本文中A被設置為常量0.012），k是波數，ω表示固有圓頻率。在模擬中，方程（8）～（9）被用來定義速度的邊界條件，入口處的壓力邊界條件[18]設定為法向零梯度；在出口，速度被設定為法向零梯度條件，壓力設定為0；數值水池的底部和浮體的固體壁面被設定為無滑移（法向無穿透，切向無滑移）條件。在數值水池的頂部邊界，總壓力（動壓力和靜壓力之和）恒定為零，允許空氣從該區域流進流出。

為消除反射波的非物理方面的影響，數值水池兩端設置了兩個數值波浪吸收區域來吸收反射波，反射波的吸收通過使用顯示松弛區技術來實現，公式為

式中，wR是速度場的計算解和具有目標解的指示場之間的加權函數。這個方法可以在計算壓力速度耦合之前根據公式（12）矯正α場和（u，w）。兩個消波區的長度都設置為2 個波長，可以有效地消除虛假反射。由四邊形單元和三角形單元組成的非結構化網格用OpenFOAM 的blockMesh工具構建，對于每一個算例，網格的設置都是在波長方向上分布有1120 個單元，在波高方向上有220 個單元，這足以精確捕捉水和空氣的分界面。由于要考慮浮體周圍流體粘性的影響，對浮體周圍的單元進行了局部加密，加密網格的放大草圖如圖2所示。

圖2 數值波浪水池的加密網格Fig.2 Refined mesh of numerical water tank

在以前同吃水雙浮體窄縫間流體運動研究基礎上，本文改變前后浮體吃水比，探索前后浮體吃水比對窄縫流體運動特性的影響。本文討論了5類不同吃水比的算例，算例的具體細節如表1所示。每一個吃水比情況下考慮7種不同頻率的入射波，入射波波高均為0.024 m，周期分別是1.28 s、1.2197 s、1.2114 s、1.187 s、1.1762 s、1.1505 s和1.1108 s。

表1 5組不同算例的參數Tab.1 Parameters for five different sets of cases

2 結果和討論

2.1數值模擬驗證

數值水池中有四個波高計被用來記錄波浪的升高幅度，這四個波高計的位置分別是x=2.705 m，3.205 m，4.73 m 和6.255 m（入口的位置在x=-4.02 m 處），第三個波高計位于窄縫的中間。本文通過5組算例來調查浮體吃水對多浮體系統的窄縫共振現象的影響，就窄縫內液面的升高幅度、窄縫流體共振頻率（窄縫流體振動幅度達到最大值時的流體振動頻率）、浮體周圍及窄縫中的能量耗散和能量轉換進行討論。

在進行數值模擬之前，通過數值造波與線性波理論獲得的波浪高度曲線進行對比，以驗證數值造波的可靠性，圖3 顯示的是使用數值模擬和線性波理論獲得的波浪高度隨時間變化的曲線，可以看到，在數值模擬達到穩定狀態后使用數值模擬造波獲得的波浪高度曲線與理論曲線相吻合。

圖3 由數值模擬和線性波理論獲得的波浪高度隨時間變化曲線Fig.3 Time histories of the wave elevations obtained by the numerical simulation and the linear wave theory

本文用三套網格測試網格收斂性，三套網格的單元數分別是186 450（網格A），246 400（網格B）和302 300（網格C）。圖4 顯示的是浮體吃水比為1 的算例在入射波周期為1.1108 s，三種網格下的窄縫內波浪高度隨時間變化曲線，結果表明單元數為246 400（網格B）的網格收斂性好，該級別的網格足以用來模擬進一步的研究。

圖4 吃水比為1，入射波周期為1.1108 s三種網格得到的窄縫間波浪幅度隨時間變化曲線Fig.4 Time histories of the wave elevation in the gap obtained using three different meshes for h2/h1=1 and T=1.1108 s

所有算例的計算時間為50 s，包含40多個波浪周期。圖5是吃水比為1的窄縫內波浪幅度隨時間變化曲線，表明窄縫內的流體的運動達到動態穩定需要花費一段時間，在20 s后能達到動態穩定。曲線表明窄縫內流體運動達到動態穩定后，其運動非常接近周期性。

圖5 吃水比為1的窄縫內流體波浪幅度隨時間變化曲線Fig.5 Time history of the wave elevation of the fluid in the gap for h2/h1=1

算例1 中，浮體吃水比值是1。將算例1 數值結果與Saitho 的試驗及Zhang 等[20]研究結果比較，結果如圖6 所示。結果表明，算例1 模擬結果與試驗結果及他人的數據吻合良好。需注意的是，本文采用的入射波的周期與試驗和Zhang的不同，所以，在圖6中曲線無法完全吻合。將本文數據與Zhang的數據對比可以發現，在一些橫坐標相近的點處，縱坐標很相近，數據間差值不超過0.9%，且數據變化趨勢也一致，因而可以說明本文數據與Zhang的數據吻合，計算精度與Zhang的相近，也可以進一步說明本文得到的數據與試驗吻合且可靠。因Saitho 的試驗水池水深為0.5 m，所以算例1 中數值水池的水深設為0.5 m。算例1 模擬結果與試驗及他人結果的良好吻合表明，基于粘性流體理論通過Open-FOAM 建立的數值水池能對窄縫流體共振精確模擬，結果可靠。為更好比對數據，后處理入射波頻率ω和窄縫內波浪響應幅度ηA，處理方式遵循式（11）～（12）。

圖6 粘性流體模擬結果與他人研究結果對比Fig.6 Comparison of predictions of viscous model and other studies

2.2 流體振蕩幅度

因后續算例浮體吃水深度加深，后續算例中數值水池水深設為1 m。對比算例1在水深為1 m和0.5 m兩個條件下得到的結果，結果如圖7所示。由圖表明，數值水池水深影響窄縫流體共振的波浪幅度和共振頻率，隨著數值水池水深從0.5 m增加到1 m，窄縫流體共振的波浪幅度明顯下降，且水深為1 m的算例窄縫流體共振頻率比水深為0.5 m的大。圖8 顯示5 類不同吃水比的算例在水深為1 m、7 種不同頻率入射波下，窄縫內的流體振蕩幅度隨入射波頻率變化的曲線。

圖7 0.5 m水深和1 m水深的窄縫流體振動幅度對比Fig.7 Comparison of wave amplitudes of gap resonance with water depths of 0.5 m and 1 m

圖8 不同吃水比下的窄縫流體振蕩波幅曲線Fig.8 Fluid oscillation amplitude profiles against angular frequency of incident wave for different draft ratios

圖8中吃水比（h2/h1）為2.0、1.5的曲線是背浪側浮體吃水變大的窄縫流體振蕩曲線，與吃水比為1的曲線對比發現，背浪側浮體吃水加深，窄縫流體振蕩波幅變大，尤其是在低頻率階段，共振頻率減小。吃水比（h2/h1）為0.67、0.5 的曲線是迎浪側浮體吃水變大的窄縫流體振蕩曲線，與吃水比為1的曲線對比發現，迎浪側浮體吃水加深，窄縫流體振蕩波幅顯著下降，共振頻率也下降。這與試驗觀察結果[21]一致。由于吃水比為2.0 和1.5 算例的控制體與吃水比為0.5和0.667的近似，所以用來計算固有頻率的附加質量（由等效活塞引起的）可能也是近似的。因而可以發現，共振頻率從吃水比為1.0到2.0的變化趨勢近似于從吃水比為1.0 到0.5 的變化。波浪振蕩幅度的變化可以用透射系數和反射系數的變化解釋。

不同吃水比的多浮體系統的窄縫流體在不同頻率入射波下的振蕩頻率ωf通過快速傅里葉變換（FFT）得到，如圖9 所示。圖9 表明，隨著入射波頻率ω*的增加，窄縫內流體振蕩的頻率增加，但窄縫流體振蕩的幅度沒有隨振蕩頻率的增加而增加。窄縫流體的振蕩幅度是先增加，在某個特定的入射波頻率下達到最大值后，窄縫流體振蕩的幅度開始下降。這表明，不同吃水比的多浮體系統在特定的入射波頻率下也會發生窄縫流體共振現象。

圖9 窄縫流體振蕩的頻率隨入射波頻率變化的曲線Fig.9 Variation of the frequency of fluid oscillation in the narrow gap with angular frequency of incident wave

2.3 透射波和反射波系數

圖10是三種不同吃水比算例的透射波（Kt）和反射波（Kr）系數隨入射波頻率變化曲線。透射波系數是透射波波高（Ht=2At）與入射波高（Hi=2Ai）之比，Kt=Ht/Hi，反射波波高（Hr=2Ar）和入射波波高之比是反射波系數，Kr=Hr/Hi。透射波波高使用浮體后的波高計（波高計4）測量得到，反射波系數使用由Sun等[22]提出的方法計算得出：

圖10 不同吃水比下透射波和反射波系數隨入射波頻率變化曲線Fig.10 Transmission and reflection wave coefficient profiles against the incident wave frequency for different draft ratios

式中，Δx表示波高計1 和2 之間的距離，ξ（x1，t）和ξ（x2，t）是分別由波高計1 和2 測得的復合波面升高高度，可以使用希爾伯特（Hilbert）變換來計算,具體細節請查閱Sun等[22]的文獻。

圖10 表明隨著入射波頻率的增加，透射波系數變小，這與Jiang 等[23]的研究結果一致，也可以看到，迎浪側浮體和背浪側浮體吃水的增加都會使透射波系數減少。因為吃水比為0.5 和2.0 算例的兩個浮體的總吃水深度都是一樣的，所以這兩個算例的的透射波系數很相似。在反射波系數方面，可以看到當迎浪側浮體的吃水大（吃水比為0.5）時，反射波系數很大，在此算例中，從波浪轉移到窄縫流體的能量減少，因此窄縫內流體響應相對較弱。當吃水比為1.0 時，反射波系數下降。當背浪側浮體吃水加深（吃水比為2.0）時，在低入射波頻率段，反射波系數大幅減小，這表明更多的能量從入射波轉移到窄縫內流體。由于有更低的透射波系數，故吃水比為2.0 算例的窄縫流體振蕩幅度比吃水比為1.0的更大。透射波和反射波系數的變化曲線既反映了從入射波向窄縫間流體的能量輸運，也與窄縫間流體的振蕩幅度變化趨勢一致。而且可以看到，在每個吃水比下反射波系數最小的頻率對應于窄縫間流體出現最大振蕩幅度的地方。

2.4 粘性耗散

粘性耗散也對窄縫內流體振蕩有影響。當流體振蕩發生在窄縫間隙時，由于流體粘性，浮體周圍剪切力會導致能量耗散，使從波浪轉移到窄縫內流體振蕩的能量減少。對于不同吃水比的浮體系統，窄縫流體的響應可能會導致不同大小的剪切力，導致粘性耗散也會不同。為說明浮體吃水對窄縫間流體振蕩的影響，得到了共振頻率下的渦量圖，如圖11所示。

圖11顯示的是h1=0.5 m時在共振頻率下兩浮體周圍的渦量圖。由于此算例大部分的入射波能量都被反射了，窄縫流體振蕩的幅度很小，較小的響應可能導致浮體周圍產生較小的剪切力，因此可以看到，在此算例中，只在背浪側浮體拐角處附近有少量的渦，這說明在h1=0.5 m 時能量耗散少。當浮體的吃水h1=h2=0.25 m（圖11）時，窄縫內流體振蕩的幅度增加，更強的流體響應導致浮體附近產生的剪切應力變大，在兩個浮體下方形成了更多的渦，揭示了h1=h2=0.25 m 的算例有更多的粘性耗散；當背浪側浮體吃水增加到h2=0.5 m（圖11）時,窄縫流體振蕩的幅度達到最大值，流體振蕩的最大響應導致浮體周圍產生最大的剪切應力。因此可以清楚看到在間隙下方產生了很多具有大渦量的渦，也可以說在這種情況下產生了最大的粘性耗散，這個結果也通過圖10最小的透射波和反射波系數得到了驗證。總之，當窄縫內流體最大振幅隨吃水比h2/h1增加時，浮體附近的流體相對運動增強，粘性耗散也同步增強。

圖11 不同吃水比情況下浮體外部渦量分布云圖Fig.11 Cloud chart of vorticity distribution outside the floating body with different draft ratios

3 結 論

本文使用粘性流體理論和VOF 模型，通過耦合于OpenFoam 的Wave2Foam 建立算例研究了浮體吃水比對窄縫流體振蕩的影響。為了驗證粘性流體力學理論和VOF 模型的可靠性，將數值結果與試驗及他人結果進行了比較，發現吃水比為1 的算例結果與試驗和理論結果吻合，驗證了Waves2Foam工具包的粘性理論和VOF模型的準確性。

數值水池的水深對數值結果有明顯影響。數值水池的水深加深，窄縫流體共振的波幅變小，共振頻率變大。同時發現浮體吃水比對多浮體系統窄縫流體共振的波浪幅度和共振頻率有非線性影響。浮體吃水增加，共振頻率下降；迎浪側浮體吃水增加，導致反射波系數增加，流體振蕩波幅顯著下降；背浪側浮體吃水增加，導致反射波系數下降，流體振蕩波幅上升。同時，由流體粘性引起的粘性耗散隨窄縫流體振蕩幅度的增加而同步增加。最后，對渦量演化的分析說明了窄縫流體振蕩幅度的變化。