換元法解方程

徐連升

例1 設a，b是整數，且234-b34-a32+1=34+1，求a，b的值.

解 設32=x，則

34=x2，38=x3，232=x4，

所以原方程化為

2x2-bx2-ax+1=x2+1，

整理得（x2-ax+1）（x2+1）=2x2-b，

所以x4-ax3-ax+b+1=0，

即232-2a-32a+b+1=0，

（2-a）32+（b-2a+1）=0.

因為a，b是整數，所以

2-a=0，b-2a+1=0，解得a=2，b=3.

例2 解方程：497-x+4x=5.

解 設497-x=m，4x=n，則

m+n=5，m4+n4=97.

因為m4+n4=（m2+n2）2-2m2n2=97，

[（m+n）2-2mn]2-2m2n2=97，

即（25-2mn）2-2m2n2=97，

625-100mn+2m2n2=97，

所以m2n2-50mn+264=0，

分解因式得 （mn-6）（mn-44）=0.

所以mn=6或mn=44.

所以mn=6，m+n=5，或mn=44，m+n=5，

解mn=6，m+n=5，得 a=2，b=3，或a=3，b=2.

mn=44，m+n=5，無實數解，舍去.

所以497-x=2，或497-x=3，

所以x=16或x=81，

經檢驗，x=16或x=81都是原方程的根.

例3 解方程：（4+15）x+（4-15）x=8.

解 設（4+15）x=t，則

（4-15）x=1t，

原方程化為t+1t=8，

t2-8t+1=0，

解得t=8±602=4±15，

當t=4+15時，（4+15）x=4+15，x=1;

當t=4-15時，（4+15）x=4-15，x=-1.

經檢驗，x=±1都是原方程的根.

例4 解方程：x2+5x+69x2-5x-6=x2-4x+159x2+4x-15.

解 設5x+6=m，4x-15=n，則原方程化為

x2+m9x2-m=x2-n9x2+n，

去分母得

（x2+m）（9x2+n）=（x2-n）（9x2-m），

整理得10x2（m+n）=0，

所以10x2=0或m+n=9x-9=0，

解得x=0，或x=1.

經檢驗，x=0或x=1都是原方程的根.

例5 解方程：（x+5）4+（x+3）4=82.

解 設x+4=a，則有

（a+1）4+（a-1）4=82，

（a2+2a+1）2+（a2-2a+1）2=82，

令a2+1=t，則有

（t+2a）2+（t-2a）2=82，

t2+4at+4a2+t2-4at+4a2=82，

t2+4a2=41，

（a2+1）2+4a2=41，

a4+6a2-40=0，

（a2+10）（a2-4）=0，

因為a2+10>0，

所以a2-4=0，a=±2.

當x+4=2時，x=-2;

當x+4=-2時，x=-6.

例6 解方程：13x-x2x+1x+13-xx+1=42.

解 設13-xx+1=y，則原方程化為

xy（x+y）=42.

又由13-xx+1=y，得 xy+（x+y）=13，

所以xy與x+y是一元二次方程t2-13t+42=0的兩個實數根，解得t1=6，t2=7.

所以x+y=7，xy=6，或x+y=6，xy=7.

所以x，y是一元二次方程m2-7m+6=0或n2-6n+7=0的兩個實數根，

解得m1=1，m2=6，

n1=3+2，n2=3-2.

進而可求得x1=1，x2=6，

x3=3+2，x4=3-2.

經檢驗，x1，x2，x3，x4是原方程的根.

例7 解方程：3+9+x=3x.

解 令9+x=y，則x=y2-9，

原方程化為3+y=3y2-9，

方程兩邊同6次方，得（3+y）3=（y2-9）2，

整理，得（y+3）2（y2-7y+6）=0，

（y+3）2（y-1）（y-6）=0，

從而有y=-3，或y=1，或y=6.

當y=-3時，9+x=-3，不合題意，舍去;

當y=1時，9+x=1，x=-6，不合題意，舍去;

當y=6時，9+x=6，x=27，符合題意.

所以x=27是原方程的根.