競賽中二次方程的整數解問題的求解方法

馮偉建

【摘要】 文章以第十屆世界數學團體錦標賽試題為例，給出了二次方程整數解問題的三種解法，一是利用一元二次方程根的判別式求解;二是利用一元二次方程的根與系數的關系求解;三是利用因式分解法求解.

【關鍵詞】 二次方程;整數解;求解方法

1 利用一元二次方程根的判別式求解

例1 已知關于x的方程x2-10x-9n2+36n=0的根都是整數，則正整數n=.

解 由一元二次方程的根的判別式，得

Δ=（-10）2-4（-9n2+36n）

=36n2-144n+100

=（6n-12）2-44.

令（6n-12）2-44=t2，其中t為正整數.

則（6n-12）2-t2=44，

即（6n-12+t）（6n-12-t）=44.

因為n是正整數，t是正整數，

所以6n-12+t>6n-12-t.

又因為6n-12+t和6n-12-t的奇偶性相同，

44=2×2×11，

所以6n-12+t=22，6n-12-t=2.①②

由①+②，得12n-24=24，

所以12n=48，即n=4.

由此可以看出，對于一個含有參數的一元二次方程的整數解問題，可利用這個一元二次方程的根的判別式Δ=b2-4ac解決問題.當Δ=b2-4ac≥0，且b2-4ac不是完全平方式時，可考慮設b2-4ac=t2，然后利用整數的性質求解.

例2 若關于x的方程（7-k）（8-k）x2-（112-15k）x+56=0的解都是整數，則滿足條件的整數k有個.

解 當k=7時，原方程可化為

-7x+56=0，

所以x=8.

當k=8時，原方程可化為8x+56=0，所以x=-7.

當k≠7且k≠8時，由一元二次方程的根的判別式，得

Δ=[-（112-15k）]2-4（7-k）（8-k）×56

=k2.

由一元二次方程的求根公式，得

x=112-15k±k22（7-k）（8-k）

=112-15k±|k|2（7-k）（8-k）

=112-15k±k2（7-k）（8-k）.

所以x1=77-k，x2=88-k.

由x1=77-k，得k=0或6.

當k=0或6時，x=1或4.

綜上所述，滿足條件的整數k有4個.

由此可以看出，當Δ=b2-4ac≥0，且b2-4ac是完全平方式時，可考慮利用一元二次方程的求根公式直接求得方程的解，然后利用整數的性質求解.

2 利用一元二次方程的根與系數的關系求解

例3 已知關于x的方程ax2+2（2a-1）x+4a-7=0的根都是整數，則實數a的值有個.

解 當a=0時，-2x-7=0，解得x=-72，不合題意，故a≠0.

設關于x的方程ax2+2（2a-1）x+4a-7=0的兩個整數根x1，x2，由一元二次方程的根與系數的關系，得

x1+x2=2-4aa，x1x2=4a-7a.

聯立方程組，消去參數a，得

17x1+7x2+2x1x2+0=0.

易得（7+2x1）（7+2x2）=9.

因為x1，x2是整數，

所以7+2x1，7+2x2是整數.

從而可得7+2x1=1，7+2x2=9，或

7+2x1=3，7+2x2=3，

或7+2x1=9，7+2x2=1，或7+2x1=-1，7+2x2=-9，

或7+2x1=-3，7+2x2=-3，或7+2x1=-9，7+2x2=-1，

解得x1=-3，x2=1，或

x1=-2，x2=-2，或

x1=1，x2=-3，

或x1=-4，x2=-8，或

x1=-5，x2=-5，或

x1=-8，x2=-4.

從而易得a=1，或a=-14，或a=-13.

綜上所述，實數a的值有3個.

由此可以看出，對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），設其兩個整數根分別為x1，x2，則x1+x2=-ba，x1x2=ca.若從這兩式中易消去其中的參數，可利用消元法將參數消去，得到一個關于x1，x2的不定方程，然后運用數論等有關知識求解. 若從這兩式中不易消去參數，則可將兩式聯立起來，直接運用數論的有關知識求解.

3 利用因式分解法求解

例4 方程xy=2019（x+y）的正整數解（x，y）有組.

解 由xy=2019（x+y），得

xy-2019x-2019y=0.

即（x-2019）（y-2019）=2019×2019.

因為2019=3×673，

所以x-2019=1，y-2019=2019×2019，

或x-2019=3，y-2019=673×2019，或

x-2019=3×3，y-2019=673×673，或

x-2019=673，y-2019=3×2019，或

x-2019=3×673，y-2019=2019，或

x-2019=3×2019，y-2019=673，或

x-2019=673×673，y-2019=3×3，或

x-2019=673×2019，y-2019=3，或

x-2019=2019×2019，y-2019=1.

顯然，方程xy=2019（x+y）的正整數解（x，y）有9組.