初中數(shù)學(xué)解題中隱形條件的挖掘

王根全 孫蕾

【摘要】隱含條件是在初中數(shù)學(xué)的解題當(dāng)中具有兩面性的作用，一方面它需要學(xué)生對(duì)題目進(jìn)行細(xì)致的分析，增加學(xué)生解題的時(shí)間，加大學(xué)生解題難度，但另一方面它們能夠?yàn)閷W(xué)生后續(xù)的解題提供方向，提高學(xué)生的解題效率.因此在日常解題中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生合理挖掘隱含條件，總結(jié)隱含條件的挖掘方法，培養(yǎng)科學(xué)的解題習(xí)慣，在快速的解題過(guò)程中提高解題能力.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);隱形條件;解題能力

1 利用已知條件進(jìn)行挖掘

對(duì)于某些題型，隱含條件一般就藏在已知條件之中，需要學(xué)生對(duì)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化思考，發(fā)現(xiàn)其與結(jié)論的另一種內(nèi)在聯(lián)系.在以往的解題中，學(xué)生往往只能注意到已知條件帶來(lái)的直接結(jié)論，不會(huì)對(duì)它們進(jìn)行更深層次的思考，忽略了隱藏條件的推理，這樣不僅會(huì)降低解題效率，還可能導(dǎo)致解題失誤.因此，學(xué)生要善于對(duì)已知條件中的隱含條件進(jìn)行挖掘，實(shí)現(xiàn)對(duì)條件的靈活運(yùn)用，提高解題的能力.

例1 已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為5，其對(duì)角線相交于點(diǎn)O，且AO、BO的長(zhǎng)度x是方程x2+（2a-1）x+a2+3=0的解，請(qǐng)確定函數(shù)中a的值.

分析 此題所給得條件主要有菱形的邊長(zhǎng)以及函數(shù)解析式的形式，需要求解其解析式中的未知數(shù)a.

根據(jù)一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系可以知道：m+n=1-2a和mn=a2+3這兩個(gè)條件，但是m與m都是未知的，無(wú)法求解未知數(shù)a的值.此時(shí)需要結(jié)合題目中的已知條件“菱形”以及“邊長(zhǎng)為5”來(lái)挖掘隱含條件：菱形的對(duì)角線互相垂直，即對(duì)角線的一半與菱形的邊可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形，故有：m2+n2=52.然后將m2+n2化為m+n和mn的形式，將其代入到方程中就可求得a的值.

解答 設(shè)菱形線段AO、BO分別為m、n，可知m、n為一元二次方程x2+（2a-1）x+a2+3=0的根.

所以 m+n=-ba=1-2a，mn=ca=a2+3，

由于菱形的對(duì)角線互相垂直，則AO、BO與菱形的邊AB構(gòu)成一個(gè)直角三角形，

所以 m2+n2=52，

因?yàn)閙2+n2=（m+n）2-2mn，其中m+n=1-2a，mn=a2+3，

所以 （1-2a）2-2（a2+3）=25，

所以 a2-2a-15=0，

解之得 a=5或a=-3.

2 利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行挖掘

數(shù)形結(jié)合的思想本身就是在圖形中實(shí)現(xiàn)對(duì)隱含條件的挖掘，這類(lèi)方法一般會(huì)出現(xiàn)在函數(shù)題或是幾何題中，需要學(xué)生將直觀的圖像與代數(shù)公式聯(lián)系起來(lái)，比如從圖像中發(fā)現(xiàn)代數(shù)公式的約束條件或是對(duì)分類(lèi)討論的情況進(jìn)行排除，這種基于數(shù)形結(jié)合思想的隱含條件挖掘法能夠大大地簡(jiǎn)化解題過(guò)程，優(yōu)化學(xué)生的解題思路，提高學(xué)生解題的效率和能力.

例2 已知二次函數(shù)y=k（x+a）2+b，其圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-9，4），其頂點(diǎn)與原點(diǎn)O的距離為13，其圖像的對(duì)稱軸為x=-12，求該解析式的完整形式.

分析 首先結(jié)合題目中給出的已知條件整理出已知的參數(shù)：由于其解析式為y=k（x+a）2+b，則其對(duì)稱軸為x=-a，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-a，b），結(jié)合題目信息可知：-a=-12，a=12.然后根據(jù)剩下的信息繪制出函數(shù)的大致圖像，并挖掘圖像中的隱含條件：由于其頂點(diǎn)與原點(diǎn)O的距離為13，根據(jù)數(shù)形結(jié)合利用勾股定理可知：a2+b2=132這一隱含條件，已知a=12，則b=±5.又因?yàn)槠鋱D像經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-9，4），將x=-9，y=4代入到解析式即可知關(guān)于k的方程：4=k（-9+12）2±5，解之可得k有兩個(gè)值分別為1和-19，最后將k值代入即可得出原函數(shù)的解析式形式.

解答 根據(jù)函數(shù)解析式的形式y(tǒng)=k（x+a）2+b，

可知 圖像的對(duì)稱軸為x=-a，頂點(diǎn)為（-a，b）;

因?yàn)閳D像的對(duì)稱軸為x=-12，所以-a=-12，a=12，

又因?yàn)槠漤旤c(diǎn)與原點(diǎn)O的距離為13，結(jié)合勾股定理可知a2+b2=132，

所以 b=±5，

因?yàn)楹瘮?shù)圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（-9，4），將其代入函數(shù)解析式

可得 4=k（-9+12）2±5，分別求解

可得 當(dāng)b取-5時(shí)，k1=1;

當(dāng)b取5時(shí)，k2=-19，

綜上所述，函數(shù)解析式為：y=（x+12）2-5或y=-19（x+12）2+5.

3 利用取值范圍挖掘隱形條件

在初中數(shù)學(xué)題目中，尤其是函數(shù)類(lèi)題目中，其函數(shù)值的取值范圍或是定義域本身的取值范圍都會(huì)直接影響到最終的結(jié)論.因此學(xué)生在解答這類(lèi)題目時(shí)，首先要對(duì)函數(shù)的值域和定義域的取值范圍進(jìn)行確定，通過(guò)對(duì)函數(shù)形式的變形等挖掘那些隱藏在取值范圍內(nèi)的隱含條件，簡(jiǎn)化后續(xù)的解題步驟，實(shí)現(xiàn)解題效率的最大化，提高題目求解的準(zhǔn)確率.

例3 已知函數(shù)y=f（x）=-12x2+x，試確定是否存在實(shí)數(shù)a、b，當(dāng)x的取值范圍為[a，b]時(shí)，函數(shù)值y的取值范圍是[2a，2b].

分析 此題常規(guī)的解法是分類(lèi)討論法，即分三種情況對(duì)a、b的值進(jìn)行討論求解.將a、b的取值分為a≤b≤1，b≥a≥1以及a≤1≤b三種情況，然后結(jié)合二次函數(shù)的圖像位置進(jìn)行分類(lèi)討論，這樣的解法過(guò)于耗時(shí)，且步驟比較復(fù)雜.在該題中，學(xué)生應(yīng)該聚焦于函數(shù)本身的形式，通過(guò)對(duì)函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行變形來(lái)提前確定函數(shù)值域，即從取值范圍挖掘隱含條件：f（x）=-12x2+x=-12（x-1）2+12，則隱形條件為f（x）≤12.這樣就可以大大縮小a、b的取值范圍，只取上述三種情況的最后一種情況：a≤b≤1，然后將（a，2a）、（b，2b）代入函數(shù)表達(dá)式中，通過(guò)解方程即來(lái)確定a、b的值，若方程可解則說(shuō)明存在實(shí)數(shù)a、b，當(dāng)x的取值范圍為[a，b]時(shí)，函數(shù)值y的取值范圍是[2a，2b].

解答 已知f（x）=-12x2+x，

其形式可化為 f（x）=-12（x-1）2+12，

所以 f（x）≤12，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào).

根據(jù)題目中函數(shù)值y的取值范圍是[2a，2b]，

所以 2b≤12，即b≤14.

根據(jù)題目可知

f（a）=2af（b）=2b，

所以 -12a2+a=2a-12b2+b=2b，

又因?yàn)?a≤b≤14，

所以 a=-2b=0，

所以當(dāng)a=-2，b=0時(shí)，函數(shù)值y的取值范圍為[-4，0].