定點與動點距離問題的幾種類型

黃培龍

【摘要】數學中的很多求距離的問題都是根據“將軍飲馬”這個典故而來的，解答這類問題一定要注意運用數形結合的方法，一般來說根據示意圖然后用對稱的知識將問題轉變成為兩個點之間的距離問題，然后根據兩點之間距離最短這個知識找到相對應的位置和最大值或最小值即可.

【關鍵詞】將軍飲馬;初中數學;數形結合

經典的“飲馬問題”相信很多人都聽說過，這位將軍想要到從地點A作為出發點先去河邊飲馬，然后再去另一營地檢查，需要我們幫助求解的是選擇哪一個飲馬的地點剛好能夠令整個行駛的路程是最小的？其實河邊能夠飲馬的地點有很多個，但是需要找出能夠讓兩個線段相加的和最小的那個地點，我們就需要先用l來假設一條河，如圖1所示，將AO與直線l相垂直并與直線l有一交點，這個交點用點O表示，將線段AO延長，直到到點A′，此時就有A′O=AO.再將A′這個點和點B相連，使得直線l與線段A′B相交于點C，那么C點就是我們需要找出的最合適的能夠使路程最短的飲馬的地點.然后將點A與點C相連接，即為線段AC，那么就能求得線段AC+CB的值就是我們需要求的路程的最小值.

那么為什么點C是能夠令行駛路程最短的飲馬地點呢？這是由于關于直線l的對稱點分別是點A和點A′，那么線段AC和線段A′C就是大小相等的兩條線段.又因為A′B也是一條線段，因此我們可以知道A′B就是點A′和點B之間的路程最短的一條線段，因此就有AC+CB=A′C+CB=A′B，這就是我們需要找的路程最短的一條路徑.這個問題主要利用了軸對稱的變換的相關知識進行求解進而找到的一種最為簡單的解答方式.這個故事已經是許多出題人青睞的出題背景，其本質就是考查直線上的動點和兩個定點之間的距離的和的問題，本篇文章將會通過一些例題來對動點與定點的距離關系進行分析和討論.

1 與正方形相結合

例題1 已知有一正方形ABCD，如圖2所示，其面積大小為12，點E是這個正方形中的一點，點A、B、E恰好能夠構成一個△ABE，且該三角形的三條邊都相等，如果此時在正方形ABCD的對角線AC存在一個點P，能夠使得PD+PE的距離最小，那么這個最小值的大小等于（）.

A、2 3B、2 6C、3D、 6

剖析 如圖3所示，根據我們所學的知識可知，正方形ABCD是一個軸對稱圖形，且它的一條對稱軸就是其對角線AC，而關于對角線AC對稱的兩個頂點分別是點B和點D，已知這個題目中的兩點D、E都是定點，只有點P是動點.因此我們就可以找到其中的一個定點D的軸對稱點為點B，將點B和點E相連得到線段BE，通過觀察和分析我們可以發現，線段BE的大小剛好與PD+PE的長度相等，又因為已知正方形ABCD是一個面積等于12的圖形，借此求得它的邊長就等于2 3，即為我們需要求解的答案，因此正確選項為A.

2 與梯形相結合

例題2 存在一個直角梯形ABCD，且已知在這個梯形中AD∥BC，AB⊥BC，現假設這個梯形AD的長度等于2，BC=DC=5，且有一個能夠在BC上任意移動的點P，那么在PA+PD的取值最小時，△APD中邊AP的高等于（）.

A、217 17 B、417 17

C、817 17D、3

剖析 如圖4、5所示，首先找到點A關于線段B的對稱點，即點E，將D、E相連接，那么P點就是線段DE和線段BC的交點，再連接線段AP，然后經過點D作一條垂直于線段BC的垂線，即DF⊥BC，過點D作DG⊥AP，垂足為G.然后我們就可以借助勾股定理和梯形的相關知識求得線段DF的長度，即DF=4，進而求得AB=4，又因為AB=BE并且滿足AD∥BC，那么就能得到△ADE的中位線即為BP，因此BP=12AD=1，即求得AP= 17.又因為三角形ADP的面積S=12AD×DF=12AP×DG，那么就能得到△APD中邊AP的高DG的值等于AD×DFAP=817 17，即正確的選項為C.

3與圓相結合

例題3 如圖6所示，已知半徑等于5的⊙O的兩條弦為AB、CD，且AB=8、CD=6，MN的長度恰好等于半徑的兩倍，AB⊥MN于E點，CD⊥MN于點F，在線段EF上有一任意點P，那么線段PA+PC的最小值等于.

剖析 如圖7所示，首先利用對稱的相關知識找到點P的具體位置，將點B、C相連，即得到線段BC與線段MN有一交點為P，然后利用垂直定理可知：AE=4，CF=3，EF=7.經過C點作CG⊥AB于點G，那么在直角三角形BCG中，就有CG=EF=7，BG=BE+EG=4+3=7，因此PA+PC的最小值就等于BC=7 2.

4 與直角坐標系相結合

例題4 在一平面直角坐標系里面，分別存在點A3，-2和點B4，2兩個點，如果在該坐標系中再取一個點C1，n，那么當AC+BC的取值最小時，n應該為多少？

剖析 如圖8所示，將點A3，-2和點B4，2這兩個點的位置在坐標系中表示出來，在這個題目中這兩個點都是一個定點，但點C1，n在直線x=1上，那么我們就能借此得到A3，-2關于直線x=1對稱的點A′-1，-2，進而求得分別經過B點和A′點的直線的解析式y=45x-65，因此當x=1時，得到n=-25.

評析 這個題目將點的坐標和一次函數的知識相結合，主要對學生的數形結合的能力進行考查.這類型的題目解答的時候可以畫出示意圖，將點的位置在坐標系中表示出來，就可以很清晰的明白“將軍飲馬”這個背景，再將之與坐標的相關知識相結合就可以求出對稱點的坐標，最后就能夠與一次函數的知識相結合進而求得正確的答案.