小技巧解決大難題

王秀芹

【摘要】數學是一門自然科學，蘊含了許多重要的科學理論，很多人感覺數學難學，主要是因為沒有把握住其中的內涵，沒有掌握數學中的一些規律和技巧.初中階段的數學，一些幾何題常常讓同學們感覺到頭疼，有時會百思而不得其解，今天我就給大家介紹一些重要的解題技巧，讓難題迎刃而解.

【關鍵詞】初中數學;解題技巧;解題思路

1 題目中出現75°，105°的角，要從角的內部作垂線，構造直角三角形

例1 如圖1，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點E，∠DAB=∠CDB=90°，∠ABD=45°，∠DCA=30°，AB=6，則AE=.

技巧點撥 此題中通過∠CDB=90°，∠DCA=30°得出∠AEB=60°，又因為∠ABD=45°，從而求出∠BAE=75°，對于75°的角我們就可以用上規律，從角的內部作垂線，構造直角三角形，從而求解.

解 因為∠CDB=90°，∠DCA=30°，

所以∠CED=60°，

所以∠AEB=60°，

作AF⊥BD于點F，

因為∠DAB=90°，AB=6，∠ABD=45°，

所以AB=AD=6，

所以 BD=62，

所以AF=AB·ADBD=6×662=32，

所以cos30°=AFAE=32AE，

所以AE=26.

例2 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，點D為ABC內一點，∠BAD=15°，AD=6cm，連接BD，將△ABD繞點A按逆時針方向旋轉，使AB與AC重合，點D的對應點為點E，連接DE，DE交AC與點F，則求CF的長.

技巧點撥 通過計算可以得出∠DAF=75°，根據技巧從A往DE上作垂線，構造直角三角形，從而求解.

解析 過點A作AG⊥DE于點G，由旋轉的性質知：

因為AD=AE，∠DAE=90°，

∠CAE=∠BAD=15°.

所以∠AED=∠ADG=45°

在△AEF中，∠AFD

=∠AED+∠CAE=60°.

所以在Rt△ADG中，AG=DG=AD2=32.

所以在Rt△AFG中，tan∠AFG=AGGF，

所以GF=6，

所以AF=2FG=26，

所以CF=AC-AF=10-26.

總結 105°的角的方法是一樣的，在這里就不多舉例了.

2 題目中出現120°，135°，150°的角，不要在內部破壞，要用它的外角構造直角三角形來求解

例3 如圖3，在△ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB=18.

（1）求BC的長;

（2）利用此圖形求tan15°的值（結果精確到0.1）.

技巧點撥 因為∠C=150°，所以不要破壞這個角，根據技巧作延長線，用它的外角30°來構造直角三角形，再利用題中其他一些等量關系就能求解.

解 過點A作AD⊥BC交BC的延長線于點D，如圖4.

因為∠ACB= 150° ， 所以∠ ACD= 30°.

在Rt△ADC中，AC=4，∠ ACD= 30°，

所以AD=12AC=2，

所以CD=ACcos30° =4×32=23，

所以在 Rt△ABD中，tanB=ADBD=2BD=18，

所以BD=16，

所以BC=BD-CD=16-23.

（2）在BC邊上取一點M，使得CM=AC，連接AM，如圖4.

因為∠ACB= 150°，

所以∠AMC=∠MAC=15°，

所以tan15°=tan∠AMD=ADMD.

=24+23=2-3≈0.3.

總結 題中遇見120°，135°的角，同樣是作延長線用外角來解決.

3 一線三直角的技巧.

理論基礎 利用一條線上有三個直角推出三角形相似，利用相似列出等量關系，從而迎刃而解.如圖5：在線段BC上，作AB⊥BC，FC⊥BC，且作AE⊥EF.則△ABE∽ △ECF，則ABCE=BECF=AEEF，利用相似（全等）列出的這組等式，就能解出所求.

總之，因為有些幾何題需要作輔助線，所以就會感覺有難度，有很多的大方面的找等量關系的理論，例如勾股定理、銳角三角函數，全等、相似等等，上述幾個小技巧對解決這類幾何問題是非常有效的，希望能對你的幾何學習有所幫助，幫助你提升信心，對幾何學習產生更大的學習興趣.