三角函數的解題技巧

洪霞

【摘 要】 三角函數知識的抽象性較強，是高中數學中的教學難點之一.但掌握了相應的解題思路和解題技巧后，困難就會迎刃而解.基于此，文章結合過往教學經驗，針對高中數學中三角函數解題的展開分析和探討，從解題思路和解題技巧兩方面入手，詳細闡述具體的解題過程，以此為學生學習提供參考.

【關鍵詞】 三角函數;解題技巧;解題思路

例1 某三角函數的區間求值選擇題，給出了a∈（0，π2）、2cos2a=cos（π4-a）這兩個條件，求解sin2a的值.

解題 根據題干可以得到2（cos2a-sin2a）=cosπ4cosa+sinπ4sina，通過最終的計算化簡，得到了sin2a=78，進而就可以確定最終的選項.

在例題1解題過程中，主要利用三角函數的基礎知識和概念理論，而在更多的三角函數選擇題目中考察的是三角函數和其他知識之間的聯系性.這就需要學生在思考的過程中，從多個角度入手構建邏輯橋梁，得出正解.

例2 ??某三角函數圖像選擇題中，給出了y=sinx-3cosx和y=sinx+3cosx這兩個函數，問函數2至少需要向右平移多少個單位長度能得到函數1.

解題 在實際解題過程中，避免拘泥于基本知識，可以通過對兩個函數進行化簡，最終得到了y=sinx+ 3cosx=2sin（x+π3），

y=sinx- 3cosx=2sin（x-π3）=2sin[（x-π3）-2π3].

在完成化簡轉換后，就可以清晰地看出需要函數2至少需要向右平移2π3個單位長度才能得到函數1.

總的來說，在學習三角函數的過程中，基礎知識體系的掌握非常重要，但在不斷強化理論知識的同時，也要不斷開拓思維模式，樹立起良好的解題思路，把握具體的解題技巧.教師在實際教學過程中，要幫助引導學生總結解題技巧，通過大量練習強化解題思路，從而讓學生更好地完成三角函數解題過程，構建形成數學邏輯體系，促進綜合學習能力的提高，得到全面的發展.

2 解題技巧

很多涉及三角函數知識的題目相對較難，解題過程復雜，長此以往學生會對解題喪失信心.如果想要快速得到正確答案，就要建立起豐富的解題思路，加強對三角函數的認識，提高解題效率的同時，培養創新意識.學生在構建起三角函數思維后，還要掌握一些使用的解題技巧，能夠簡化解題過程，輕松完成解答.

2.1 使用弦切互化解題技巧

正余弦、正余切是高中三角函數中最為主要的內容，涉及這些內容的題目形式非常靈活，需要學生具備較高的思維能力，在不同的題目條件中找出其中的關鍵.解答正余弦、正余切或者正余弦角度問題時，題目中的角并不會較為特殊，可以利用題目中給出的條件，結合誘導條件完成弦切互化，從而利用特殊角的三角函數值求出正確答案.主要考察學生思維能力和舉一反三能力，只要熟練掌握公式，就可以根據已知條件求出最佳的數值，切實提高解題效率.角的轉化是三角函數解題過程中最為重要的一種方式，在多個題目中得到了廣泛應用.實現角的轉化后，就可以通過逆、順用公式完成解題.

例3 求解sin20°cos10°-cos160°sin10°的值.

解題 首先，判斷20°和160°之間的關系，其次，利用誘導公式完成角地轉化，最后完成具體的計算.具體解題過程如下：sin20°cos10°-cos160°sin10°= sin20°cos10° + cos20°sin10° =sin30° =12.

2.2 使用數形結合解題技巧

在解決三角函數問題的過程中，部分問題會涉及到圖形知識，單純依靠想象很難得到正確答案，還會擾亂思路.因此，在實際解題過程中，可以使用數形結合的方式完成題目的快速解答.這一技巧方式的應用，也能夠讓學生養成良好的作圖習慣，樹立其幾何邏輯思維，切實提高解題能力.

例4 已知△ABC中，A=3π4，AB=6，AC=32.在BC邊上有一點D，AD=BD，求解AD長.

解題 在解答此題的過程中，單純利用條件在腦海中構建圖形，容易得到錯誤答案.引導學生根據已知條件進行畫圖，可以準確地找到題目中要求求解的線段，進而利用正余弦定理完成三角函數的求值計算.具體解題過程如下，利用已知條件和余弦定理，可知內角∠A對應的邊長a=310，結合正弦定理可以進一步得到sinB=1010.從題干可知0<B<π4、cosB=31010，繼而就可以得到的AD=10.

2.3 使用升冪降冪解題技巧

升冪降冪也是高中三角函數解題過程中常見的思路之一，主要是對題目中的函數進行化簡，從而完成解題.對學生而言，不僅需要靈活地掌握公式，還要根據題目有選擇進行應用，從而解決求值問題.在利用這一解題方法進行求值的過程中，保證化簡過程的準確是最為重要的內容，任何一個環節出現問題，都有可能造成最終結果的錯誤.升冪降冪是轉換題目形式，當題目中冪數統一時，將高次冪轉化為低次冪，如果冪數不統一，先要利用公式轉化題目中函數，然后考慮升冪降冪，完成加減運算.在解題過程中，升冪降冪是解題的關鍵，需要結合題目的實際情況，合理地完成轉化，切實提高解題效率和質量[3].

例5 化簡1-sin6x-cos6x1-sin4x-cos4x.

解題 根據三角函數公式中sin2x+cos2x=1，可以對題目進行進一步的簡化，進而得到最終的結果.

1-sin6x-cos6x1-sin4x-cos4x=（sin2x+cos2x）3-sin6x-cos6x（sin2x+cos2x）3-sin4x-cos4x=2sin2xcos2x3sin2xcos2x（sin2x+cos2x）=23.

2.4 使用消參構造解題技巧

消參構造是兩種方法，前者是根據題目中給出的參數聯系，利用公式完成對現有參數的轉換，簡化計算過程，將消參法和換元法、公式定理法，結合應用效果最優.后者是在無法使用消參法的基礎上，通過添加或者減少項的方式，實現等效變換，完成解題.

例6 ??已知tanα=3，求sina-3cosa2sina+cosa的值.

解題 根據有關公式定理可知tanα=sinα：cosα，且α≠kπ+π2，進一步可以推出cosα≠0.那么將其完全替換到原分式中，就會得到具體的結果.具體的解題過程如下：

sina-3cosa2sina|cosa=sinacosa-3·cosacosa2sinacosa+cosacosa=tgα-32tgα+1

=3-32×3+1=0.

2.5 使用平方方式解題技巧

相比較上述幾個解題技巧來看，平方法在解析三角函數過程中最為常見，尤其是題干中涵蓋了余弦、正弦的內容時，都可以使用平方方式解題.但需要注意的是，在使用平方方式進行解題前，必須要掌握最基本的方式，然后再采用技巧性的方法進行解題.

例7 方程x2-kx+k+1=0 得到sinθ、cosθ兩個根，且θ∈（0，2π），要求求出k值.

解題 此題有兩種解題方式，一種為利用韋達定理求出兩個k值，然后利用值域，去除不符合的數值，得到正確答案.例題7中的兩個k值分別為-1和3，最終舍去k=3這一個根.如果利用平方方式可以進一步簡化計算過程，快速得到最終結果.

3 結語

綜上所述，在高中數學學習階段，強化三角函數的解題思想和解題技巧，可以在保證準確率的同時，讓解題效率得到提高.因此，學生要正確認識三角函數知識重要性，在鞏固基礎知識公式的同時，掌握相應技巧，優化思維邏輯，從而更好完成學習目標.不僅是為了提高數學成績，更是為未來的學習奠定基礎.