高中生對圓錐曲線的學習現狀及問題分析

孫艷婷 李云飛

【摘 要】 “圓錐曲線”內容是高中數學十分重要的一部分，在數學知識的體系中起著承上啟下的作用，不僅在高中學習以及高考中占據一定的地位，與我們的日常生活也緊密相關.可對于這部分知識，學生們的得分往往不盡人意，那么高中生對圓錐曲線問題的學習現狀究竟如何呢？為此，筆者對部分高中生開展了圓錐曲線認知水平的調查.

【關鍵詞】 圓錐曲線;高中數學;學習現狀

1 研究背景

1.1 圓錐曲線在高中數學教學中的重要性

1.1.1 “圓錐曲線”在高中數學課程中的重要性

“圓錐曲線”是蘇教版高二數學選擇性必修第一冊（2019版）第3章的內容，在整個高中數學學習的過程中起著十分重要的作用.首先，對于高二的學生來說，在初中時期就已經接觸到了關于求解直線與圓的問題，在初中的基礎上，高中階段對這部分知識進行了進一步的拓展與加深，學生此時已經具備了一定的數學抽象思維的能力，在這個階段進行圓錐曲線的學習，學生既可以同化之前所學習過的知識，又為后續解決一些解析幾何綜合應用的問題起到鋪墊作用，進一步完善關于解析幾何問題的解決方法，為學生之后學習空間解析幾何打下良好的基礎.

1.1.2 “圓錐曲線”蘊含著數學核心素養

圓錐曲線整個模塊的核心思路是希望借助直線與圓錐曲線方程的代數關系，研究幾何問題，這就構建了極強的數與形的對應關系.需要我們學會運用數形結合的思想、函數與方程的思想、轉化與化歸思想和分類討論思想.學習圓錐曲線這部分知識時，必然要涉及到直線與曲線方程聯立解題，而這就需要培養學生的直觀想象能力，在具體解體的的過程中，也要加強學生的運算能力[1HYPERLINK＼l"_ENREF_1"＼o"張鑫萌，2020#21"].學生要能夠發現已有知識和新知識之間的聯系，從而逐漸發現學習數學的樂趣，將枯燥的數學學習轉化為獲取新知并成功解決問題的動力，教師更要引導學生形成解決問題的思路，加深學生對事物本質和發展規律的理解和認知.

1.1.3 “圓錐曲線”的廣泛應用

“圓錐曲線”不僅僅在高中數學課程中有著極其重要的地位，在其他的領域中也有著舉足輕重的作用，比如物理學中的天體運動問題，也常常需要用到圓錐曲線的數學知識和方法來解決物理問題，還有實際生活中的建筑，如發電廠冷卻塔的外形線等的問題也經常要用到圓錐曲線相關知識來解決.由此可見，通過學習圓錐曲線知識既可以解決數學問題，又可以幫助解決實際自然生活以及物理學問題.

1.2 《課標》以及考綱對圓錐曲線部分的要求

2017 年國家教育部頒發的《普通高中數學課程標準》中，圓錐曲線屬于幾何與代數這一主線，是平面解析幾何的核心內容.筆者根據《普通高等學校招生全國統一考試大綱的說明》和《課標》對圓錐曲線知識的要求，將此以表格形式呈現出來：

2 高中生對圓錐曲線的學習現狀調查研究

2.1 調查方法

此次調查的方法采用的是：普遍調查的方法[2HYPERLINK＼l"_ENREF_2"＼o"何西，2018#17"].此次考試本年級共有698名學生參加測試，采取一份試卷兩人閱評的方式，高二的教研組的13名教師中批改圓錐曲線試題的共有3名，分值誤差在2分以上是將采取第三輪評卷以保證學生分數的公平性和準確性.系統會根據學生的分數進行歸類和統計，從而得出科學的依據.

2.2 調查背景

此次調查是對高二學生的階段性測試，其中圓錐曲線占比50%左右，有關圓錐曲線考題單選題為第4、5、6、7、8 ，多選題為10、11、12題，解答題為18、22題.此次我選擇理科實驗1班、理科普通3班、文科實驗5班、文科普通6班作為調查對象，具體情況如下：

以上是江蘇省某市2020屆高二學生第一次月考成績整理得到的數據.

通過對全校這698名學生試卷的統計，得出主要有以下丟分情況：

通過對以上數據的分析，不難發現要想使學生在圓錐曲線部分少丟分，必須要從以上幾方面入手，找出問題最根本所在.

（1）忽略題目中關鍵條件以及不能準確分析中解題的關鍵要素（思慮不周）

解決此題的重要思路是通過數形結合的思想先將直線方程與橢圓方程進行聯立，再通過跟與系數關系，結合圖形，完成從形到數的轉化進而將問題解決.在解題時忽略了已知條件，未能分析解題的關鍵要素從而失分.

（2）沒能掌握圓錐曲線定義，“數形結合”能力以及解題策略差（數學能力差）

圓錐曲線重點考察數形結合能力，不能考慮到將直線與方程進行聯立解題說明并沒有掌握圓錐曲線真正的考察內容，缺失了數形結合的思想從而導致失分.

（3）復雜計算不敢算或計算錯誤（計算能力差）

學生對于計算能力的掌握實際上一直是弱項，在整個數學學習的過程中，沒有大量的練習，是不可能有突破性的進步和提升的，在圓錐曲線的學習中，此方面處于弱勢的同學會表現得更加明顯，除了大量的練習以外還需要學生的細心和耐心，在高壓強度的學習下，要想學生能有此認真平穩的態度，這并非易事.

（4）書寫不公正卷面不清晰以及筆記勾連（書寫不規范）

卷面整潔是考試中獲得優勝必不可少的一部分.

3 提高學生生對圓錐曲線的學習能力的教學策略

我們把得分在120分及以上同學作為優秀生，90-120分之間的同學作為普通生，0-90分之間的同學作為困難生.通過對抽調的試卷分析以及對不同程度的學生的得分情況來看，得出了學生在圓錐曲線失分的主要地方，根據學生試卷反映情況以及數據的統計分析，我們得出了以下幾方面解決策略.

3.1 培養數形結合思想，有策略有方法的解決問題

數學解題思維是學生在解決問題時的重要突破點，也是數學教師口中經常強調的.做題要有一定的邏輯順序，同時也要因人而異，找到屬于自己的一套方式方法.每個同學解題的切入點不同，所體現出的解題思維自然有所區別.能否形成數學思維，要靠平時的訓練與培養.因此在學習圓錐曲線的過程中，教師作為教育的主導者，要潛移默化的引導學生發散思維，在不斷地練習中培養學生的數形結合能力，將思想作為指導，方法作為實施策略，是解決數學問題的有效方法.

通過調查也能看出：學生在解決問題的主要影響因素有：（1）數學語言轉化意識不足，不能很好的理解題目;（2）“數”與“形”之間轉化能力弱，不能根據題中所給信息制定一個可執行的解題策略;（3）有時盡管是正確的方向卻由于未檢驗或漏掉重要信息而導致解題失敗.

數學思想是數學的靈魂，應該培養學生多元表征數學問題的能力，這需要學生有清晰的解題方案和方法步驟.數學不單單是一門“計算”的學科，在解決問題的過程中多方面培養人的思維的有序性，邏輯的縝密性才是學習的最終目的.波利亞的解題研究在這方面可以給我們提供很好的理論支撐以及可實施的具體方法.

（1）理解題目：確定未知量、數據、條件以及舍去題目中的多余部分.

（2）擬定方案：找出已知數據與未知量之間的聯系，觀察未知量，回憶曾經解過的與其相似的題目或引入某個輔助元素從而擬定一套可執行的方案，此時就要擁有一定的數形結合能力作為解題的依據.

（3）執行方案：執行解題方案并檢查每一個步驟.

（4）回顧：檢驗已經得到的回答，此時可以從解出的具體數值帶回已知條件，圖形也可以幫助我們進行檢驗判斷.

將這一解題策略具體運用到學生解決圓錐曲線的過程中，不僅可以加強他們對已知與未知之間的聯系，鞏固深化腦中已有的知識，再建立起舊知識與新知識之間的橋梁，將完整的解題策略反復熟練運用會顯著提高學生的數學能力.

3.2 加強學生對知識的運用、掌握歸納的結論

很多的同學在做解析幾何時，書寫的很繁瑣，尤其是對于圓錐曲線一些常見的二級結論陌生，甚至根本不了解.教師要在此時發揮主導作用，不僅要將一些常見圓錐曲線的二級結論給學生推導整理，更要讓他們熟記于心.在解題過程中即使不能熟練運用至少也要能自己推導出來所需要的公式或做題方法，掌握后常加以運用，熟能生巧說的也是這個道理.

3.3 提高學生的運算能力

數學運算是由低級到高級、由簡單到復雜、由具體到抽象的過程，這就決定了數學運算具有層次性，只有簡單的、低級的、具體的運算過了關，才能進行深層次的復雜、高級、抽象運算.如果簡單的基本運算技能都沒能掌握，那么復雜的運算學生更無法解決[3HYPERLINK＼l"_ENREF_3"＼o"石偉娜，2016#19"].所以，在實際教學中，教師要注重學生有關運算的基礎的練習，常以板書示范，在教師眼中顯而易見的計算環節對于很多學生并不能心領神會，要關注學生的狀態與反應，及時溝通才能達到最佳教學效果.

3.4 督促學生正確、規范書寫

對于高中生來說，好的書寫就已經贏了第一步.事實上，良好的書寫習慣不僅對于數學學科是有利的，對于其他科目一樣是十分有幫助的.而在日常教學過程中，我們不難發現，很多學生粗心大意，將原本計算正確的題目由于書寫潦草或者書寫失誤導致最終結果錯誤，例如，將2n+1寫成2n+1，lg2·32寫成lg2·32等等，由于這樣的問題造成成績不理想的結果實在是讓人覺得可惜，而這是完全可以避免的.因此教師要多提醒學生，在平時的作業以及測試中將“好的書寫”提上日程，并不斷督促學生形成良好的書寫習慣.

4 ?研究結論與不足

本文存在三點不足：（1）在此次調查中，只以一個學校作為調查樣本，調查容量較小，而且參考的圓錐曲線題目樣卷有限，具有一定的局限性;（2）本文沒有對學生如何形成這些學習問題沒有進行深入分析，論文探討內容較淺;（3）由于時間以及本人的個人原因，使得此次調查的深度和廣度不夠，文中提到的建議與方法還需要進一步實踐與探究.

參考文獻：

[1]張鑫萌.基于ACT-R理論的圓錐曲線教學設計案例研究.2020，天津師范大學.

[2]何西.高中數學圓錐曲線學習障礙及應對策略.2018，四川師范大學.

[3]石偉娜.高二理科生運算能力的調查研究.2016，河北師范大學.