高一數學教材的學生改編陳題方法研究

洪冰虹

【摘 要】 十九大報告提倡要給學生提供有質量的教育，數學教學如何引導學生實現有質量的自主學習？近幾年一線教師推行一系列學生改編數學陳題的變式教學活動，以期提高學生學習數學的效率.改編數學陳題旨在促進學生自主思考，生成知識遷移與應用，培養學生自主學習數學的能力，從而實現學生數學學習質量和效率的提高.本文以人教版A版（2019）高一數學教科書的習題為陳題，結合學生改編成果，探討引導學生進行改編數學陳題的方法.

【關鍵詞】 數學學習;變式教學;數學陳題

十九大報告指出，“努力讓每個孩子都能享有公平而有質量的教育”.對于數學教育來說，何謂有質量的教育？《普通高中數學新課程標準》（2017年版）強調：“教師需要引導學生積累發現和提出問題，分析和解決問題的經驗，養成獨立思考與合作交流的習慣，促進學生學會學習數學，自主學習數學.”簡而言之，數學教學中秉持教師為輔，學生為主的理念，教師要引導學生養成良好的學習習慣，提高學生自主學習效率，讓教師的主導作用和學生的主體作用碰撞出知識的火花，使教學效果最大化，進而實現學生有質量的數學學習.我國著名數學教育家張奠宙教授曾提出：“數學教育要引導學生學會從‘冰冷的美麗’中體驗‘火熱的思考’.”現代教學論亦指出教育的本質是獲取而不是給予.那在平時的教學中，教師該如何引導學生提高數學學習的質量？

在數學學習生涯中，習題是學生學習的核心工具之一.學生通過解題應用鞏固知識，這是習題在數學學習中的一大價值.但習題的作用不應止于此，作為教師的我們應該去發掘習題的潛在價值，使習題的功能最大化，讓學生通過習題獲得更佳的學習效果.

學生解題，題從何而來？從課本來？從試卷來？解題人卻獨獨不是出題人.學生習慣以解題者自居，從解題者的立場思考.雖有所收獲，但對于大部分學生來說，解題過程未必是學生主動內化的過程，稍不注意淪為解題機器，收效甚微.皮亞諾指出：“只有學生自我發現的東西才能積極地被同化，從而產生深刻地理解.”改編數學陳題的目的就在于打破學生的思維定勢，以出題者的身份主動發現問題，主動思考知識的遷移聯結，從單一知識點輻射到相關知識點，化被動學習為主動學習.

對于教師來說創編也有一定的難度，何況學生.故而筆者覺得可以先讓學生嘗試改編數學陳題，相當于“半編題”.陳題是指學生在自己或他人的幫助下已經解決的數學習題，它的出處可以是課本、練習冊或者試卷.改編數學陳題是指高中生解決數學陳題后，結合自己以往學習積累的經驗，以獨立或者合作的形式對陳題進行數據、條件、設問或結構等的改編，將陳題改編成新題.

改編數學陳題，對于高中生來說，雖然有難度但也能攻克，就需要學生墊墊腳尖努努力就能完成.而維果茨基也提出教師應該為學生創造“最近發展區”，不僅給予學生現階段水平能完成的學習任務，也要引導學生跨越“最近發展區”走在發展的前頭.

近幾年不少一線教師進行學生改編數學陳題的嘗試，確信這一活動對于學生學習數學有促進作用.金楊建老師說：“命制一道新題并不是憑空‘靈機一動’的原創，更多的是給予某些好題‘水到渠成’的改編.”王愛娣老師也同意：“學生學會改編課本中的題目，不僅可以使學生由解題人的角度變換為出題人的角度，提高駕馭題目的能力，而且這個過程中，通過運用知識，可以提高學生的數學素養.”可見，改編數學陳題對于學生學習數學有一定的幫助.下面以人教版A版（2019）高中數學教科書的習題為陳題，結合學生改編數學陳題成果探討引導學生進行改編數學陳題的方法，此處略去解題過程.

陳題1 已知|a|=2，|b|=1，且a-b與a+2b互相垂直，求證a⊥b.（必修二22頁練習2）

1 同構改編

1.1 概念同義改編

教師進行學生改編數學陳題活動時應遵循由易到難的原則，明確活動的目的是為了促進學生思考，自主生成知識的遷移與應用，不宜一開始就設置過高的目標，打擊學生的積極性.學生剛接觸改編，一切都很陌生，不知從何入手.此時可以引導學生從通俗易懂的角度入手--概念同義改編，讓學生把陳題中出現的概念換另一種形式描述，也就是改編該知識點的表達方式.這種形式的改編簡單易操作，也能促進學生強化鞏固該知識點.以下就是學生對陳題1進行概念同義改編的新題.

生1 已知|a|=2，|b|=1，-b與a+2b互相垂直，求a與b的夾角.

生2 已知|a|=2，|b|=1，-b與a+2b互相垂直，求a·b.

和陳題相比變化不大，只是改了設問的表述，變成一道熟悉的新題.對設問同義改編可以加深學生對知識點的印象，比如此處改編加深學生對向量垂直的相關概念與公式的掌握，特別在學完向量的坐標運算后，大部分學生總習慣用坐標判定向量垂直：a→⊥b→x1x2+y1y2=0，卻忽視了最初的通用通法，即a→⊥b→a→·b→=0.

1.2 數據等價改編

數據改編之于學生也是一個可操作性強的方法，但數據改編的方向不是單一的.進行數據改編教師要提醒學生取值的合理性，結果是否符合實際.數據改編僅換數值，對陳題思路沒有多大變化，這是浮于表面的改編，只能強化鞏固知識點.若是數據改編引起陳題解題思路轉變，乃至知識點的拓展，那就是深度挖掘了.下面針對陳題1進行數據等價改編，深度挖掘則放到后面再詳談.

生3 已知|a|=2|b|，-b與a+2b互相垂直，證明a⊥b.

學生在此處側重于改編數據的呈現方式，與概念同義改編異曲同工.雖然思路不變，但能觀察數據得出此類結果，學生也是下了一番功夫.不同的學生有不同的數學造詣，作為教師，我們要因材施教，新課改也點明，讓每個學生在數學上有自己的發展.數學基礎薄弱的學生，在改編數學陳題活動中可能大多淺嘗輒止，僅僅進行更改數據等很小的改編，前后差別不大.雖然這是比較淺顯的改編，但學生能自主思考發現問題提出問題，比起被動做題這就是在進步了.

1.3 互逆法

學生掌握了同義和數據改編后，教師可以開始在改編教學中融合逆向思維，實施逆命題改編.把條件和結論互換，這對學生來說是輕而易舉的事.雖然容易，但能在一定程度上能轉變學生的思維定勢，提高學生處理數學問題的靈活性，而不是一條路走到黑.以下是學生用互逆法改編陳題1得出的：

生4 ?已知|a|=2，|b|=1，向量a與b的夾角為π2，求

（a-b）·（a-2b）.

條件和設問互逆，題目的知識點沒有變化，但對于學生的刺激未必不大.學生在平時的解題過程中思維容易定勢，同一個知識點，用逆向思維的角度考察，反而懵了.如能引導學生打破慣性思維多進行逆向改編，也不失為是對學生發散思維和創新思維的初步鍛煉.雖然互逆法簡單易操作，但教師也要提醒學生注意逆命題是否為真.

1.4 新瓶裝舊酒

學生掌握基本的改編方法后，教師可以鼓勵學生做更多的嘗試--重塑題目，用不同的角度來考察同一個知識點，獲得似曾相識的新題，比如下面由陳題1改編而來的：

生5 已知|a|=2，|b|=1，向量a與b的夾角為45°，且ka-b與a+2b互相垂直，求k？

生6 ?已知|a|=3，|b|=4，向量a+34b與a-34b

的夾角為？

題目和前面的幾類新題相比變化較大，但本質上考察的知識點還是圍繞向量的數量積和運算展開，只是解題思路發生了變化了.前面的幾種改編改的僅僅是題目的呈現形式，不觸及題目中心-解題思路.此處知識點沒變，換的是知識的切入點.學生對經常遇到的模式敏感，若遇到罕見的考察方向，比如生6這道題，可能一開始也會無從下手.借助改編，幫助學生加深理解數學語言的轉化和知識點的考察，提高學生審題能力，促進學生主動消化知識點的同構異現.

2 異構改編

2.1 重組整合

同構改編，基本上在陳題的知識圈里徘徊，學生上手了，教師就該提高要求，引導學生跳出原有的“知識圈”，以陳題的知識點為中心向外觸碰 “細枝末節”，進行相關知識點改編，促進學生對該知識的遷移應用.

生7 已知|a|=1，|b|=2，向量a與b的夾角為π6，求|a-2b|：

生8 已知a=（2，5），b=（1，t），且b在a方向上的投影為2+153，求t：

這幾道改編新題和陳題1關系不大，屬于相關知識點改編：向量的模、投影和坐標運算.重組整合在一定程度上能促進學生加快熟悉知識板塊的脈絡，完善知識體系.平時復習課的模式大多是學生做題教師講題，學生處于相對被動的學習狀態.加入改編元素的復習課，迫使學生主動梳理、應用和聯結知識點.一道改編新題，輻射到其他知識點，收獲知識之間的聯結應用，那是學生做幾道習題才能有的收獲，從一定程度上促進學生數學學習的效率，保證學生數學學習的質量.

2.2 深度挖掘

知識點的改編可以是橫向知識點的拓展，比如重組整合將向量的數量積拓展到向量的模、投影和坐標運算等相關知識點，由知識點的A面輻射到知識點的B、C面.改編也可以縱向，向知識點深挖進行探究，從知識點A深究到知識點A1、A2 ……，比如下面的改編：

陳題2 ?求-x2+2x-3>0的解集（必修一52頁例3）.

改編1 ?求x2-（1-a）x+a>0的解集.

改編2 求1+a-2x-3x2>0的解集.

改編3 求ax2-2x+a>0的解集.

這幾道針對陳題2的改編重在系數的修改，也就是前面說的數據改編帶來知識點的深度挖掘.由常規一元二次不等式遷移到含參數不等式，層層遞進.進行縱向深度的改編，對學生的數學基礎和學習能力有一定的要求，基礎薄弱的學生，我們不做過多的要求;但是有能力的學生，我們教師還是應該鼓勵他們克服懶惰情緒，敢于挑戰嘗試.幫助他們走出學習的“舒適圈”，跨過“最近發展區”，走在發展前端.

改編數學陳題的方法很多，此處未能一一闡述，僅講述幾種平時學生常用的方法，其中以數據、條件和設問的改編最為常見和高效.教師若能發掘更多適合學生的改編方法，指導學生有效改編數學陳題，讓學生轉化角色：以出題人的角度分析題目，找出隱含的數學信息，對題型做深度的思考，促進知識點聯結和遷移.如此將能使學生適應多變的習題，提高學生駕馭題目的能力和解題效率，獲得抽象，運算等多方面數學素養的發展，實現學生有質量的學習數學.

【本文受汕頭市教育科學“十四五”規劃項目（2021GHB031）資助】

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