淺談Taylor公式教學

路群 劉莉芳

【摘要】微積分是高等院校開設的一門重要基礎課程，它主要研究函數的一些性質，如連續性、可導性、可微性、可積性等.Taylor公式告訴我們，一個復雜的函數如果滿足一定條件便可以用多項式去近似替代，這樣做能增進對函數性質的理解.本文結合自身教學經驗，從問題引入、公式中系數的幾何意義、Taylor公式的求法以及針對具體的函數Taylor公式的特征幾方面入手探討這一內容的教學，讓學生知道這一公式的由來，加深對這部分內容的理解.

【關鍵詞】微分;微分中值定理;Taylor公式

【基金項目】本文系2021.07—2023.06 廣州大學—大學數學黃大年式教師培育團隊-廣大【2021】95號.

Taylor公式是高等數學教學中的一個難點，有的學生會對它龐大的形式望而生畏，用它分析解決問題時也是敬而遠之.本文將對如何讓學生對這一內容做到容易接受并更好地理解試做探討.

一、問題引入

對一個較為復雜的函數，如何知道它在一點處的取值及其各階導數值？如何對它在其他點處的值進行估計？如何用一個更為簡單的函數去逼近它？

在微分的部分我們已經知道可以用簡單的直線（一階多項式）即切線來逼近函數，也就是

f（x）≈L（x）=f（x0）+f ′（x0）（x-x0），

這一近似做法就在于“以直代曲”，用來做替代的函數要形式簡單.但它的缺點也很明顯：第一，估計的范圍“太窄”，要求變量x要充分接近x0，否則效果就不理想，這一點從一些熟悉的函數圖像便可以直觀體會到;第二，誤差大，只是比x-8x0趨于零的速度快而已，即o（x-x0）精度不高.對此，是否有一些改進的方法來對函數做近似估計呢？當然，對于之前的方法，如果我們能做到既避免缺點，又保持其優點就完美了.事實上，這種兩全其美的想法很難實現，Lagrange微分中值定理應算是一種改進，它仍然采取直線來估計函數，只不過不是用x0點處的切線，它沒有自變量x要離x0“充分近”的限制，即

f（x）=f（x0）+f ′（ξ）（x-x0），ξ介于x0與x之間.

可以想象，如果函數的圖像很“彎曲”，卻仍然堅持用直線去近似替代，那效果應該不會很好.能否放棄簡單形式的直線，而采取“以曲代曲”，用更高階的多項式去估計函數，使得估計的誤差更小（o[（x-x0）n]）、精確度更高呢？事實上，Taylor中值定理告訴我們這是可行的.

二、關于Taylor系數限制條件的含義以及Taylor中值定理

如果函數滿足一定的條件，對用來近似函數f（x）的多項式必須弄清楚兩個問題：一是多項式的階數，二是在知道階數（比如n階）的前提下，該多項式的系數如何確定.不同系數的多項式呈現的特征不同（比如開口方向、彎曲程度等），從而用來近似f（x）達到的效果也有所不同.

假設用x-x0的n階多項式Pn（x）=a0+a1（x-x0）+a2（x-x0）2+…+an（x-x0）n，使f（x）=Pn（x）+o[（x-x0）n].不是任何一個多項式都可以達到

想要的效果，這可從f（x）與多項式所表示的曲線上直觀看到（筆者在課堂教學中會給出不同的多項式來近似函數，讓學生從圖像上選出他們認為“效果好”的曲線，并說出其用以評判效果好壞的標準），通過對比各曲線的差異，考慮這些“效果好”的曲線是怎么選出來的，選擇的標準是什么，從而讓學生體會f（x）與多項式“共性越多，效果越佳”的道理.比如多項式與函數曲線過相同點（x0，f（x0））、有相同的切線、有相同的彎曲方向及相同的彎曲程度等，在數學上便是在x0處直到2階的導數值都相等，更可以大膽地想象直到n階的導數值都相等，即

六、結 論

通過以上幾方面的分析，學生對Taylor公式有了一個更為具體的了解，知道這一公式是基于什么樣的背景下提出來的，又能用來解決什么問題，對這部分內容加深了印象，為后續相關知識的學習做好鋪墊，進而能提高學生利用所學知識分析、解決問題的能力.

【參考文獻】

[1]曹廣福，葉瑞芬，趙紅星.高等數學（一）[M].北京：高等教育出版社，2009.

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[3]李忠，周建瑩.高等數學[M].北京：北京大學出版社，2009.