一道中考壓軸題的解法探究

趙霞

【摘要】2019年婁底市中考壓軸題是一道比較綜合且復雜的大題，涉及了函數與方程、轉化與化歸、分類討論、數形結合等四大數學思想方法，其（2）（3）問還涵蓋了動點問題，彰顯了題目的開放性與靈活性.本題除了考查學生對基本知識、基本技能的掌握情況，還考查學生分析問題、解決問題的能力.文章主要對此題（1）（2）問進行了多種解法的探究，并對每種解法進行了相應的分析，旨在不局限于常規思維，培養學生思維的發散性.

【關鍵詞】中考壓軸題;動態幾何;一題多解;解法分析

三、解法分析

（一）第（1）問解法分析

解題思路：因為拋物線參數a，b，c是未知的，所以求得a，b，c便可解得此題.

解法一，拋物線為y=ax2+bx+c，又因為過A，B，D三點，所以可以構造三元一次方程組，用待定系數法去求二次函數的解析式，由三個未知數列三個方程，便可求得a，b，c，從而可以得到拋物線的解析式.

解法二是先根據拋物線對稱軸與兩根的關系列出等式，解得b=-2a，從而使拋物線解析式變為關于a，c的二元一次方程，即y=ax2-2ax+c（x，y看作常數，b用含a的表達式代替），達到了消元的目的，此時還剩兩個未知數a，c，如解法一，繼續用待定系數法將B，D兩點代入，解關于a，c的二元一次方程組，最終求得解析式.

解法三前面同解法二，再根據拋物線根與系數的關系進一步達到消元的目的，使拋物線解析式變成關于a的一元一次方程.解法一到解法三是方程從三元一次方程到二元一次方程，再到一元一次方程，體現了將方程由難變易、由多元到一元的轉化，運用了轉化與化歸的數學思想方法.

解法四則體現了更深層次的解題思路，因為拋物線過特殊點（零點）A和B，因而可根據“交點式”直接設拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），將點D代入，直接得到關于a的一元一次方程，解得a，最終求得拋物線解析式.此解題思路體現了思維的轉化，涉及了解題的基本方法，即綜合法與分析法.

以上各種解法都有其自身的特點，但都體現了一點，即用待定系數法求其拋物線的解析式.學生碰到此類型題時，不能僅僅局限于解法一與解法四這種常規解法，可嘗試應用自己已學的知識，根據已有的知識結構去積累更多的新的解題經驗，比如在遇到問題時，可多動腦，勤思考，認真去探索如何才能成功求解，且在解決問題的過程中嘗試一題多解，從多個角度去探究，不僅要掌握解題過程的具體步驟，還要能分析出為什么這樣做以及其中蘊含的數學思想方法.

（二）第（2）問解法分析

此問涉及動點問題以及分類討論的思想，主要考查動點與靜態點所構成的三角形面積最大值問題，此外，還需確定點在運動變化過程中與圖形相關的某些量.解決此題的關鍵是先找準△POD的底和高，再求出面積最大值.第一步可將重點放在題目的前提條件，因題目強調了點P在直線OD下方，因而可先通過直線OD與拋物線的交點求出點P橫坐標的取值范圍，為后面最值的討論提供一定的取值依據，體現出數學的嚴謹性.第二步找到靜態點所構成的靜態線段，也可分析靜態點與動態點所構成線段，將其作為三角形的底邊，再去確定相應底邊上的高.基于此，可設出動點P的坐標，根據兩點間的距離公式求出△POD靜態或動態線段的長度，根據點到直線的距離求出底邊上的高，利用三角形面積公式S=12×底×高列出等式，最后探索等式右邊滿足什么樣的條件時S有最大值.

本問因說明點P在直線OD下方，所以第一步應先求出動點P的取值范圍，再考慮△POD中線段OD的長度是固定的，因而可將線段OD視為△POD的底邊，最后找到底邊上高的最大值便可求解.

解法一是從點到直線的距離的定義出發，求點P到直線OD的距離（△POD底邊OD上的高）即為點H到直線OD的距離.求得距離是關于m的二次函數，圖像為開口向下的拋物線，且頂點橫坐標在動點P的取值范圍之內，因而頂點縱坐標為距離的最大值，從而求得三角形面積最大值.

解法二是觀察法與分析法的結合，分析底邊OD上高的最大值，觀察圖像，將直線OD往下平移至與拋物線相切時，高最大，則△POD面積最大，體現了數形結合的思想方法.

而解法三與解法四主要是分析靜態點與動態點所構成線段的關系，把動態點、動態線段當成已知點、已知線段，主要依據是三角形三邊都可以作為三角形的底邊，再求底邊上對應的高，代入三角形面積公式，最后把得到的二次函數進行分析，便可求出△POD面積的最大值.

解法五是根據△POD可以拆分成△POG與△OGD，類似于以上解法可求解，本解法是找到兩個三角形共同的底邊OG，再分別求相應的高，列式分析即可.

以上五種解法都離不開三角形的面積公式，要想知道面積最大值，相應地要知道底邊乘以高的最大值.求解此問題的難點在于如何求解三角形的底邊和高，即能否實現幾何問題向代數問題的轉換.解此題最容易忽視的是確定動點P的橫坐標的取值范圍，是否能取到最值與是否符合題意息息相關.因此，解決此類題目時，要學會認真審題，分析題目隱含條件，從而把隱含條件展現出來，看是否能為最終的證明提供一定的引導.

（三）第（3）問解法分析

本問考點主要涉及分類討論、數形結合的思想方法.依據題意，要使△OBE與△ABC相似，則△OBE與△ABC的三個角都對應相等.很顯然，∠OBE=∠ABC，則三角形各自剩下的角對應相等有兩種情況：①∠BOE=∠BAC，∠OEB=∠ACB，則點O與點A、點B與點B、點E與點C對應，即△OBE∽△ABC;②∠BOE=∠BCA，∠OEB=∠CAB，則點O與點C、點B與點B、點E與點A對應，即△OBE∽△CBA.再根據三角形相似的概念，有對應邊對應成比例，根據已知線段求未知線段OE，BE，設出點E的坐標，再根據勾股定理列出方程組，便可求出點E的坐標，從而可以求出直線OE的解析式，而點Q是直線OE與拋物線的交點，聯立可得點Q坐標.解決此題的關鍵是點Q為直線OE與拋物線的交點，要想求得點Q，便要求出直線OE的解析式，進而求出點E的坐標，這里體現了逆推的思想.

四、啟示與思考

一題多解主要是培養學生的發散性思維.在教學過程中，教師不應只局限于一種解法，限制學生思維的發展，而應當結合前后知識點強化學生的思維.這樣不僅能幫助學生溫習舊知，搭建橋梁，建立起新舊知識的聯系，同時鍛煉了學生的智力，使其體會到解題的快樂.教師在教學過程中也應結合學生的認知發展，重視學生知情意行的培養以及函數與方程、轉化與化歸、分類討論、數形結合等思想方法的滲透，培養學生良好的數學學習習慣.

【參考文獻】

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