概率統計模型在經濟領域的常見應用

于雪梅 田小強

【摘要】概率統計作為一種精確系統的科學語言，經常用來研究解決經濟學領域的實際應用問題.概率論與數理統計作為數學工具能將實際應用問題與數學模型建立起聯系，將實際應用問題數學化，通過模型求解，并借助概率統計中的理論知識和信息化手段加以分析、計算，最后回歸到實際中，加以應用，對經濟發展和社會的進步起到了促進作用.本文主要介紹概率統計模型在經濟領域中幾種常見的應用.

【關鍵詞】概率統計;數學模型;金融經濟

【基金項目】本文系北京電子科技職業學院校內課題項目“概率統計在金融經濟問題中的應用”（項目編號：2021Z044-KXY）的研究成果.

概率論與數理統計作為一門工具學科，已經是目前各領域比較成熟的可適用的數學工具.應用概率統計知識建立數學模型解決金融經濟領域中的實際問題就是非常常見的一種方法手段.它研究的范圍是廣闊的，既具有深度，又具有廣度.本文主要通過簡單的實例介紹概率論與數理統計在管理決策、投資決策、保險預測、經濟預測四個方面的常見應用.

一、概率統計模型在管理決策中的應用

作為管理決策者，對經濟金融問題的處理要科學合理，就要有整合數據的能力，確保在分析具體問題時做出科學合理的決策.要保證決策工作的管理效果，就要在做出決策之前考慮其本身存在很多不確定的隨機因素，然后通過建立數據處理和進行運維監督，健全正確且科學化的決策體系，實現最小成本管理工作，運用數學期望、方差等數字特征提高管理工作的效率，維護最優目標.在統籌規劃銷售成本、收入、資產周轉率以及稅金等項目時，主成分分析法也具有一定的作用.假設有n個樣本，m作為樣本體系的指標變量，在尋找k個變量后，就能得出yi=ai1x1+ai2x2+…+aimxm，i=1，2，…，k，進而可以利用數學期望和方差對管理中的相關決策進行集中分析.

例如，研發出一種新電子產品后，公司的市場營銷部門要進行分析，得出該款新電子產品在當地進行推廣銷售的價格較低，而且可以獲得較為穩定的40萬元利潤.如果公司去外地開展推廣銷售工作，推銷成功可獲利 100 萬元，但推銷失敗將面臨損失10萬元，存在一定的風險.推銷成功的概率P（S）=0.6，從收益期望值的角度來分析，外地投資推廣銷售的期望收益為56 萬元.但仍要理性分析存在的風險因素，設A表示“對外推銷有利”，B表示“對外推銷不利”，S表示“推廣銷售成功”，F表示“推廣銷售失敗”.市場部通過調查發現，在推廣成功的條件下，P（A|S）=0.7，P（B|S）=0.3，在推廣銷售失敗的條件下，P（A|F）=0.2，P（B|F）=0.8，運用貝葉斯公式可以得到：

P（S|A）=0.84，P（F|A）=0.16，

P（S|B）=0.36，P（F|B）=0.64，

因此，若調查結果顯示該電子產品到外地推銷是有利的，那么到外地進行推廣銷售的收益期望值為

E（X）=100×0.84+（-10）×0.16=82.4.

若調查結果顯示該電子產品到外地推銷是不利的，這時收益期望值為

E（Y）=100×0.36+（-10）×0.64=29.6.

在這種情況下，管理者應該做出在外地開展推銷的決策.

二、概率統計模型在投資決策中的應用

不管是什么層級的經營管理者，都在投資過程中追求利益最大化.投資決策是指以達到特定目標為目的，以搜集的數據和統計結果為前提，根據經驗和規律對不同的投資方案進行科學合理的可行性分析，通過對比研究，最終做出合理的決斷，選擇滿意的實施方案.但在投資決策過程中離不開風險的評估和考量，即在投資收益的預判中要衡量風險的存在與影響.

例如，某公司現對三個投資項目進行考察，分別是：住宅樓A、大型商場B和商業步行街C，其收益多少與市場現狀有關，將未來市場劃分為優等、中等、差等三個級別，發生的可能性分別為p1=30%，p2=50%，p3=20%，根據市場調查，不同等級狀態下三種投資的年收益見表1.

下面以數學期望、方差等計算方式為例說明決策的合理性.

E（A）=10×0.3+3×0.5+（-2）×0.2=4.1，

E（B）=6×0.3+3×0.5+（-1）×0.2=3.1，

E（C）=9×0.3+2×0.5+（-3）×0.2=3.1.

通過計算，投資住宅樓的平均收益最大，但要繼續考慮投資風險，再從方差進行考慮：

D（A）=（10-4.1）2×0.3+（3-4.1）2×0.5+（-2-4.1）2×0.2=18.49，D（B）=（6-3.1）2×0.3+（3-3.1）2×0.5+（-1-3.1）2×0.2=5.89，D（C）=（9-3.1）2×0.3+（2-3.1）2×0.5+（-3-3.1）2×0.2=18.49.

因此，從方差的角度判斷，投資大型商場的風險明顯比投資住宅樓和商業步行街的小，從平均收益和風險性考慮，做出選擇大型商場進行投資這一決策較好.

一個項目的投資管理者要從多角度綜合分析預測投資項目的不同影響因素，需要考慮金融、經濟、政策等因素，再選擇項目的合作方、投資金額及最佳投資時機等.目前，在決策過程中，隱性風險和顯性風險同時存在，決策者需要意識到，各種不確定性因素的干擾和影響不是毫不相關的.

接下來我們再看一個貝葉斯決策案例：A公司提供的產品和服務壟斷市場，而B公司考慮進入這個市場，并且清楚A公司不會坐視不理，會采取阻撓措施，B公司能否成功進入市場受A公司投入到阻撓過程中的成本規模的影響.初期B公司無法判斷A公司投入的阻撓成本是高還是低.如果A公司投入高阻撓成本，在B公司進入市場時不惜一切代價進行阻撓的概率是0.2;如果投入低阻撓成本，則A公司在B公司進入市場時會百分百進行阻撓.最初B公司認為A公司做出高成本阻撓的可能性為70%，也就是我們所說的先驗概率，那么B公司估計自己在進入市場時受到阻撓的概率為

0.7×0.2+0.3×1=0.44，

而B公司進入市場時，A公司確實進行阻撓，貝葉斯公式計算出B公司進入市場后A屬于高阻撓成本公司的概率為

P1=0.7×0.20.7×0.2+0.3×1≈0.32，

根據此后驗概率，B公司預估再進入市場時受到A公司阻撓的概率為

0.32×0.2+0.68×1=0.744，

B公司再次進入市場時，A公司又進行了阻撓，貝葉斯公式計算出A屬于高阻撓成本公司的概率為

P2=0.32×0.20.32×0.2+0.68×1≈0.086.

根據A公司一次次的阻撓，B公司對A公司的判斷逐步發生變化，傾向于將A公司判斷為低阻撓成本類型.

投資決策中也有很多投資組合問題，比如10萬元本金投資到兩種股票及固定收益中，每種股票每股年收益率是兩個相互獨立的隨機變量A與B，已知E（A）=6，D（A）=55，E（B）=4，D（B）=28.股票一每股價格60元，股票二每股價格48元，固定收益年收益率3.6%，要決策平均收益不低于7000元的最優投資組合方案，設三者投資量分別為x1，x2，x3，則60x1+48x2+x3=100000.投資組合收益R=x1A+x2B+0.036x3，投資組合的平均收益和風險為

E（R）=E（x1A+x2B+0.036x3）

=6x1+4x2+0.036x3，

D（R）=D（x1A+x2B+0.036x3）

=D（x1A）+D（x2B）+D（0.036x3）

=x21D（A）+x22D（B）+0

=55x21+28x22.

建立模型min（55x21+28x22），使得

E（R）≥7000，60x1+48x2+x3=100000.

利用軟件可求最優投資方案：x1=524.7，x2=609.7，x3=38250，這時D（R）=2.25×107.

三、概率統計模型在保險預測中的應用

近幾年，保險業不斷發展和進步，而保險業是根據概率論原理進行計算預測，對所搜集到的相關數據進行統籌科學的處理分析，繼而有針對性地為不同年齡范圍、性別、工作種類的人群開發多樣不同種類的保險產品，依據概率合理分攤風險，使損失最小化.隨著人們個性化需求的增多，購買者也會通過計算這些保險產品的收益做出全面考量，同時，保險公司會應用中心極值定理、大數定律、線性回歸等概率統計知識進行精算預測，從而確定每一種保險產品的理賠金額和保險金額，計算每個保險產品的利潤及虧本的可能性.

以某個人壽保險為例：某保險公司設計了一種人壽保險，經統計，一年內有2萬份有效投保保單，據統計數據顯示，保險者中每個人身故的概率是0.0002，試計算出這些成功投保人中死亡數不超過 12 人的概率.

設參加該種人壽保險的保險者在一年內死亡人數為ξ，隨機變量ξ服從二項分布，

P（ξ≤12）=∑12k=0Ck20000×0.0002k×0.9998（20000-k），

可以利用泊松分布進行查表計算，得出該品種人壽保險中死亡人數超過 12 人的概率是310000.

某保險公司擬推出在校學生意外傷害險，現有6000名新生欲參加保險，每個參保人交付50元保費，若出險可獲得2萬元賠付.已知年出險率為0.15%，判斷保險公司因開展此項保險業務獲利至少6萬元的概率.

設參加該保險的出險人數為X，X～B（6000，0.0015），

P（X≤12）=1-P（X≥13）=1-∑∞k=139kk！e-9=0.876.

為什么保險公司愿意出售這種低價保險？我們假設年出險率由0.15%上升到0.2%，此時該公司獲利不少于6萬元的概率降為0.576.其他條件都不變的情況下，出險率僅僅提高0.05%，小幅上升，保險公司相同收益的可能性就大幅下降，可以清晰預測盈利概率是出險率的減函數，如圖1.

保單在設計初期需要考慮參保人數、賠付金額、保費、盈利利率、盈利金額及出險率，可以多重分析，也可以固定一些因素判斷兩個變量間的相關性.

在保險預測中，保險投資者也可以根據自己的實際情況，結合概率統計知識做出決策.比如：某投資者有25萬元資金，打算花20萬元買一輛車，假設一年內發生車禍毀掉且殘值為0 的概率為0.1%，有99.9%的概率仍保值20萬元.為減少損失，他可以為新車選擇投保買全額保險，將剩余的錢存入銀行，存款利率為6%，如他的效用函數為U（ω）=ln ω，則他花多少錢買保險時可使得年末買保險和不買保險的期望效用值相當？

當投資者支付m元購買保險時，則年末投資者的資產為：

200000+（250000-200000-m）（1+0.06）=25300-1.06m.

此時年末的期望效用為ln（25300-1.06m）.

當投資者不買保險時，年末期望效應為：

99.9%×ln（250000×1.06）+0.1%×ln（50000×1.06）=12.4859.

要使得年末買保險和不買保險的期望效用值相當，則有m=395.66，投資者拿出395.66元錢買保險時可使得年末買保險和不買保險的期望效用值相當.

四、概率統計模型在經濟預測中的應用

經濟預測是指依據現有的數據和資料對未來經濟現象的不同自然狀況進行估計推測，對給出不同情況發生的概率利用科學方法進行預測分析.在定價模型中可運用多種概率統計計算方法，如順序統計量、概率分布函數等.比如根據一些商品的銷售數據、資產和證券的歷史價格數據，就可以利用概率統計知識及數據處理軟件推算出能夠發生的合理的價格區間，從而提供依據使得經濟預測工作能在價格區間內進行完善.

數據回歸分析是統計學中用來研究變量之間相關關系的一種方法，運用統計數據對某些變量之間存在的相關性進行判斷分析，可得出規律，生成模型.

多元線性回歸模型的一般形式為：

Y=b1x1+b2x2+…+bmxm+ε，ε～N（0，σ2）.

通過統計數據，建立回歸模型，可以進行預測，提高判斷的準確性.

一元線性回歸方程是利用最小二乘法對變量間關系建立函數模型的一種回歸分析方法.我們以某商品包裝費投入和銷售額的關系為例說明線性回歸方程在經濟預測中的應用.

某公司為了研究產品廣告費投入對銷售額的影響，隨機抽取了上一年度中8個月該產品的廣告費投入金額與銷售額.

根據數據繪制散點圖，樣本點的分布在一條直線附近，表明銷售額y與廣告費x具有線性相關關系，可建立模型，計算參數的估計值，建立銷售額y與廣告費x之間的回歸方程.假設相關關系為y=a+bx+ε，其中b是回歸系數，ε是隨機因素引起的誤差，用最小二乘法估計模型中的未知參數a，b，求出估計值a^=18.975，b^=0.531，所以線性回歸直線方程為

y^=0.531x+18.975.

在經濟預測中，簡單的期望平均法也是常用的有效手段.比如某服裝經營公司預推銷一款商務男裝，想對銷售量進行初步預測，減少成本.銷售部門選定三位銷售經驗豐富的三名銷售員參加試銷，并根據以往經驗做出預測，詳細數據見下表.

銷售員甲預測的總銷售量

E1=160×0.3+140×0.5+120×0.2=142;

銷售員乙預測的總銷售量

E2=150×0.2+128×0.6+110×0.2=128.8;

銷售員丙預測的總銷售量

E3=170×0.1+140×0.7+120×0.2=139.

根據簡單平均法確定最終的預測銷售量為136.6 萬件.

五、小結

在經濟領域，通過運用數學知識構建數學建模解決實際應用問題的實例還有很多.科學的決策是非常重要的，也是必不可少的，我們可以運用數學思想把在經濟領域遇到的問題轉化成數學方面的問題，運用數學的方法解決問題，這不僅能夠促進經濟的進步，同時可以促進我國科學技術的創新.

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