基于大數(shù)據(jù)挖掘的初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容重點(diǎn)發(fā)現(xiàn)研究

樂(lè)惠驍 賈積有

摘 要：了解初中數(shù)學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)對(duì)于促進(jìn)教師教學(xué)具有重要意義。但是一般教師對(duì)于教學(xué)重點(diǎn)的把握主要靠教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，已有的研究主要采用問(wèn)卷調(diào)查等方法對(duì)教師觀念中的教學(xué)重點(diǎn)進(jìn)行探討，得到的結(jié)論主觀性較強(qiáng)。本文梳理了教學(xué)重點(diǎn)的概念，從發(fā)生認(rèn)識(shí)論的視角入手，基于在線學(xué)習(xí)者的380萬(wàn)條行為日志數(shù)據(jù)以及87萬(wàn)余套試題文本，將人教版初中數(shù)學(xué)教材的每章知識(shí)點(diǎn)及其關(guān)系用三個(gè)量化指標(biāo)進(jìn)行客觀描述：概念網(wǎng)絡(luò)、成績(jī)網(wǎng)絡(luò)以及對(duì)后續(xù)成績(jī)的影響。本文在分別計(jì)算了三個(gè)指標(biāo)并進(jìn)行三位一體的可視化呈現(xiàn)后，得到三個(gè)結(jié)論：初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中早期學(xué)習(xí)的知識(shí)往往更重要;代數(shù)與幾何的知識(shí)是初中數(shù)學(xué)中的教學(xué)重點(diǎn)，但是學(xué)習(xí)者代數(shù)知識(shí)的掌握情況對(duì)于后續(xù)學(xué)習(xí)有更大的影響;代數(shù)和幾何的銜接類(lèi)知識(shí)在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著獨(dú)特的重要性。本文提出并實(shí)現(xiàn)的基于大數(shù)據(jù)挖掘的教學(xué)內(nèi)容重點(diǎn)發(fā)現(xiàn)技術(shù)及其結(jié)論對(duì)數(shù)學(xué)和其他各個(gè)學(xué)科的教和學(xué)都具有重要的參考價(jià)值。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);教學(xué)重點(diǎn);知識(shí)結(jié)構(gòu);教育大數(shù)據(jù)

中圖分類(lèi)號(hào)：G4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2096-0069（2022）03-0049-09

收稿日期：2021-12-12

基金項(xiàng)目：2017年度中央電化教育館全國(guó)教育技術(shù)研究規(guī)劃重點(diǎn)課題“基于智能技術(shù)和大數(shù)據(jù)分析的個(gè)性化教學(xué)研究”（176220009）;2020年度北京大學(xué)教育大數(shù)據(jù)研究項(xiàng)目“基于大規(guī)模學(xué)生學(xué)習(xí)活動(dòng)數(shù)據(jù)挖掘的自適應(yīng)性智能教學(xué)系統(tǒng)研究”（2020YBC07）

作者簡(jiǎn)介：樂(lè)惠驍（1995— ? ），男，浙江嘉善人，北京大學(xué)教育學(xué)院教育技術(shù)系博士研究生，研究方向?yàn)槿斯ぶ悄芙逃龖?yīng)用;賈積有

（1969— ? ），男，河南獲嘉人，北京大學(xué)教育學(xué)院教育技術(shù)系主任、教授、博士生導(dǎo)師、北京大學(xué)教育信息化國(guó)際研究中心主任，研究方向?yàn)榻逃夹g(shù)學(xué)和人工智能教育應(yīng)用。

引言

教學(xué)重點(diǎn)是在初中數(shù)學(xué)教學(xué)一線經(jīng)常聽(tīng)到的一個(gè)詞，對(duì)于教師和學(xué)生來(lái)說(shuō)，了解教學(xué)重點(diǎn)，有針對(duì)性地開(kāi)展教學(xué)和學(xué)習(xí)才能事半功倍。然而對(duì)于一般教師來(lái)說(shuō)，精準(zhǔn)地把握初中數(shù)學(xué)中的教學(xué)重點(diǎn)并不容易。

對(duì)于教學(xué)研究者來(lái)說(shuō)，識(shí)別初中數(shù)學(xué)中的教學(xué)重點(diǎn)也是不小的挑戰(zhàn)。一方面，由于跨文化的基礎(chǔ)教育的差異性，可供參考的研究大多集中于國(guó)內(nèi)，且不同地區(qū)的初中數(shù)學(xué)使用的教材不盡相同，這為識(shí)別教材重點(diǎn)增加了難度，也不便研究結(jié)論的推廣。另一方面，研究者往往將教師作為研究對(duì)象，希望以教師的觀點(diǎn)來(lái)支撐研究結(jié)論的合理性，相關(guān)研究方法局限于對(duì)于師生的問(wèn)卷調(diào)查與訪談。但是教師自身對(duì)于教學(xué)重點(diǎn)的把握有時(shí)也是模糊且主觀的。這造成了已有結(jié)果之間無(wú)法形成有效的對(duì)話，且對(duì)于“哪些知識(shí)點(diǎn)是教學(xué)重點(diǎn)，這些知識(shí)點(diǎn)有多重要”的回答較為模糊。此外，囿于研究成本的限制，已有的研究大多局限于對(duì)單個(gè)教學(xué)重點(diǎn)的分析，對(duì)于全局的初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中教學(xué)重點(diǎn)的研究寥寥無(wú)幾。

近年，學(xué)習(xí)分析的興起為識(shí)別教學(xué)重點(diǎn)提供了新的思路。在線學(xué)習(xí)平臺(tái)中，學(xué)習(xí)者產(chǎn)生的行為日志中蘊(yùn)藏著海量信息，研究者可以使用數(shù)據(jù)挖掘的方法將其中有價(jià)值的信息挖掘出來(lái)并獲得有意義的發(fā)現(xiàn)。在這一視角下，本文對(duì)某在線數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)平臺(tái)上學(xué)習(xí)者參與初中人教版數(shù)學(xué)在線練習(xí)累計(jì)的380萬(wàn)條日志數(shù)據(jù)以及87萬(wàn)余套試題進(jìn)行分析，結(jié)合學(xué)習(xí)者的在線學(xué)習(xí)活動(dòng)指數(shù)[1]，以期依靠大樣本的數(shù)據(jù)和定量的分析方法獲得對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的教學(xué)重點(diǎn)的掌握。

一、文獻(xiàn)綜述

（一）教學(xué)重點(diǎn)識(shí)別的相關(guān)研究

朱珍通過(guò)對(duì)教師的問(wèn)卷調(diào)查，整理教師的觀點(diǎn)后得到確定初中數(shù)學(xué)教學(xué)重點(diǎn)的依據(jù)：其一是考慮課程標(biāo)準(zhǔn)這一大綱性的指導(dǎo)文件;其二是教師根據(jù)具體每一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)其中的教學(xué)重點(diǎn)。此外，其論文中還指出了教師教學(xué)重點(diǎn)把握不當(dāng)?shù)膯?wèn)題[2]。徐百靈對(duì)教師和學(xué)生對(duì)于初中數(shù)學(xué)教學(xué)重點(diǎn)的認(rèn)知差異進(jìn)行了探究，發(fā)現(xiàn)從總體上來(lái)說(shuō)教師和學(xué)生對(duì)于教學(xué)重點(diǎn)的認(rèn)識(shí)不存在差異，主要是“數(shù)與代數(shù)”和“空間與圖形”兩大領(lǐng)域，且教師和學(xué)生對(duì)于教學(xué)重點(diǎn)認(rèn)知的一致性隨著教學(xué)的開(kāi)展而提高[3]。張勝利探究了數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)教科書(shū)中的呈現(xiàn)規(guī)律，與此同時(shí)也調(diào)查了初中數(shù)學(xué)教師認(rèn)知中的關(guān)于初中數(shù)學(xué)的核心概念，其中排名前10的概念中，數(shù)與代數(shù)概念有6個(gè)，空間與圖形概念有4個(gè)[4]。此外，一線教師也探討了在某一知識(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的課堂教學(xué)中應(yīng)該把握的教學(xué)重點(diǎn)[5][6]。

已有的研究中也存在著這樣的一個(gè)問(wèn)題：這些研究中確定教學(xué)重點(diǎn)的方法都是對(duì)教師進(jìn)行定性的調(diào)研，教師作為一線工作者的經(jīng)驗(yàn)和觀念被用作論證什么是教學(xué)重點(diǎn)、什么不是教學(xué)重點(diǎn)的依據(jù)。然而，從一線教師的一些觀點(diǎn)來(lái)看，教師整個(gè)群體中存在相當(dāng)部分的教師無(wú)法有效地把握教學(xué)中的重點(diǎn)[7]。那么教師掌握的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)究竟是否能夠反映真實(shí)的教學(xué)重點(diǎn)的情況呢？局限的個(gè)體經(jīng)驗(yàn)?zāi)芊裢茝V到一個(gè)一般性的結(jié)論？這是已有教學(xué)重點(diǎn)方面的研究面臨的一大挑戰(zhàn)。

（二）教學(xué)重點(diǎn)的概念梳理

教師對(duì)于教學(xué)重點(diǎn)把握模糊的一個(gè)重要原因在于教學(xué)重點(diǎn)概念本身的多重意義。筆者通過(guò)梳理教學(xué)重點(diǎn)的不同概念，發(fā)現(xiàn)教學(xué)重點(diǎn)這一概念本身有著三種意義。

第一種是從教學(xué)目標(biāo)出發(fā)的。對(duì)于教學(xué)目標(biāo)來(lái)說(shuō)教學(xué)重點(diǎn)是最核心的內(nèi)容，也是課程標(biāo)準(zhǔn)的制定者希望學(xué)習(xí)者必須掌握的基礎(chǔ)內(nèi)容，例如基本的概念、原理、定義和公式等。

第二種是從學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展出發(fā)的。教學(xué)重點(diǎn)是課程結(jié)構(gòu)的主要線索，掌握了這部分內(nèi)容，對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)和鞏固舊知識(shí)都有決定性的作用。這種認(rèn)識(shí)下，教學(xué)重點(diǎn)則是那些在教材的所有知識(shí)結(jié)構(gòu)中承上啟下的關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)。

第三種來(lái)自教師對(duì)于教學(xué)績(jī)效的認(rèn)識(shí)，教學(xué)重點(diǎn)就是考試的熱點(diǎn)。以往教師確定教學(xué)重點(diǎn)的依據(jù)之一就是通過(guò)教材內(nèi)容掌握高頻考點(diǎn)[8]。對(duì)于教師來(lái)說(shuō)，他們希望學(xué)生學(xué)得好，考試考得好，在平時(shí)教學(xué)中比較關(guān)注高頻考點(diǎn)和熱點(diǎn)，而這一類(lèi)考點(diǎn)自然也就成了教學(xué)的重點(diǎn)。

如果從課程標(biāo)準(zhǔn)和教材編寫(xiě)以及綜合性考試的出題組卷這一完整的教學(xué)系統(tǒng)運(yùn)作的邏輯來(lái)看，第一種和第三種觀念下的教學(xué)重點(diǎn)雖然概念不同，但是最終這兩種不同概念定義的教學(xué)重點(diǎn)的內(nèi)容在很大程度上是重合的，都是描述“教什么”的問(wèn)題：綜合性考試的目的是對(duì)學(xué)生的知識(shí)掌握情況進(jìn)行測(cè)試，而測(cè)試要具有良好的內(nèi)容效度，其中重點(diǎn)考查的知識(shí)就必須與課程標(biāo)準(zhǔn)所明確的教學(xué)重點(diǎn)相一致。綜合性考試中的熱門(mén)、高頻考點(diǎn)往往傳達(dá)的是教育部門(mén)要求學(xué)生重點(diǎn)掌握的知識(shí)。學(xué)生的學(xué)業(yè)成績(jī)是教師重要的績(jī)效指標(biāo)，教師在教學(xué)中會(huì)特別強(qiáng)調(diào)學(xué)業(yè)考試考查的內(nèi)容，以高效地提升自己的績(jī)效[9]。

對(duì)于教師而言，有課程標(biāo)準(zhǔn)的指導(dǎo)，相對(duì)于“教什么”，“怎么教”才是一個(gè)大問(wèn)題。教師對(duì)于知識(shí)結(jié)構(gòu)中的教學(xué)重點(diǎn)的把握并不充分。初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容是一個(gè)龐大的結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系，從教學(xué)全局出發(fā)，在按照教材開(kāi)展線性教學(xué)的過(guò)程中，教師往往需要確認(rèn)哪一個(gè)知識(shí)點(diǎn)需要花費(fèi)更多的時(shí)間與精力進(jìn)行講授，才能使得學(xué)生在整體的知識(shí)掌握上有更好的表現(xiàn)。比如，在常用的人教版初中數(shù)學(xué)教材中，知識(shí)結(jié)構(gòu)中的教學(xué)重點(diǎn)有哪些，這是廣大教師特別關(guān)注的一個(gè)問(wèn)題，也是本文的研究問(wèn)題。

為了解決這個(gè)問(wèn)題，本文著重就知識(shí)結(jié)構(gòu)中的教學(xué)重點(diǎn)進(jìn)行探討，依據(jù)一個(gè)在線數(shù)學(xué)教學(xué)系統(tǒng)中初中數(shù)學(xué)人教版的大量學(xué)習(xí)測(cè)驗(yàn)記錄及其題庫(kù)，以定量數(shù)據(jù)識(shí)別人教版初中數(shù)學(xué)中的教學(xué)重點(diǎn)。

（三）知識(shí)結(jié)構(gòu)中的教學(xué)重點(diǎn)——發(fā)生認(rèn)識(shí)論的視角

池次郎.諾納卡（Ikujoro Nonaka）等人認(rèn)為，個(gè)體知識(shí)的建構(gòu)，或者說(shuō)個(gè)人學(xué)習(xí)的發(fā)生過(guò)程，可以用這樣的三個(gè)階段來(lái)描述：信息的獲取、信息的轉(zhuǎn)義以及知識(shí)的建構(gòu)。在信息獲取階段，學(xué)習(xí)者通過(guò)比較環(huán)境中的外部信息與自身知識(shí)結(jié)構(gòu)的差異發(fā)現(xiàn)環(huán)境中的有用信息;在信息轉(zhuǎn)義階段，學(xué)習(xí)者將感興趣的信息與自己已有的知識(shí)進(jìn)行組織和整合;在知識(shí)建構(gòu)的階段，學(xué)習(xí)者調(diào)整了自身的知識(shí)結(jié)構(gòu)，從而獲得了能在不同情境中應(yīng)用的有意義的新知識(shí)[10]。深受發(fā)生認(rèn)識(shí)論影響的奧蘇伯爾也對(duì)知識(shí)的獲取有類(lèi)似的觀點(diǎn)。他認(rèn)為知識(shí)獲取是新知識(shí)與學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有觀念建立非人為的、實(shí)質(zhì)性聯(lián)系的過(guò)程，學(xué)習(xí)者能否習(xí)得新知識(shí)的關(guān)鍵在于其認(rèn)知結(jié)構(gòu)中是否有適當(dāng)?shù)摹⒛芷鸸潭ㄗ饔玫挠^念[11][12]。由此，從發(fā)生認(rèn)識(shí)論的角度出發(fā)，在知識(shí)獲取的過(guò)程中，學(xué)習(xí)者已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)是一個(gè)重要的變量。如果其已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中有著能有效地對(duì)新的內(nèi)容進(jìn)行同化的錨點(diǎn)，那么新知識(shí)的習(xí)得會(huì)變得更有效。

在這一視角下，初中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程其實(shí)是不斷發(fā)展建構(gòu)學(xué)習(xí)者知識(shí)結(jié)構(gòu)的過(guò)程，在教師講授每一個(gè)新知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候，學(xué)習(xí)者能否有效地對(duì)這一知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行同化的關(guān)鍵在于其現(xiàn)有知識(shí)結(jié)構(gòu)能否整合這部分教學(xué)內(nèi)容中的信息。例如，學(xué)習(xí)者在理解全等三角形這一概念時(shí)，教學(xué)內(nèi)容傳達(dá)的信息將會(huì)與學(xué)習(xí)者已建立起來(lái)的三角形、角、邊等數(shù)學(xué)概念發(fā)生聯(lián)系，而學(xué)習(xí)者能否有效習(xí)得全等三角形相關(guān)概念的關(guān)鍵在于其知識(shí)結(jié)構(gòu)中是否已有完整的三角形、角、邊等概念。所以，初中數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程就是搭建學(xué)習(xí)者知識(shí)結(jié)構(gòu)的過(guò)程，如果學(xué)習(xí)者知識(shí)結(jié)構(gòu)中先前的“地基”沒(méi)有打好，那么對(duì)之后新內(nèi)容的有效同化也很難發(fā)生。

綜上，在發(fā)生認(rèn)識(shí)論的視角下，知識(shí)結(jié)構(gòu)中的教學(xué)重點(diǎn)的概念就是在學(xué)習(xí)者的知識(shí)結(jié)構(gòu)中與大量其他知識(shí)點(diǎn)發(fā)生聯(lián)系，能作為許多知識(shí)同化過(guò)程中的固定錨點(diǎn)的知識(shí)點(diǎn)。基于此，本文進(jìn)行了進(jìn)一步的研究設(shè)計(jì)，以發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)者知識(shí)結(jié)構(gòu)中的教學(xué)重點(diǎn)。

二、研究設(shè)計(jì)

（一）研究對(duì)象

本文的研究對(duì)象為某在線教學(xué)系統(tǒng)中初中數(shù)學(xué)人教版的學(xué)習(xí)測(cè)驗(yàn)記錄及題庫(kù)[13][14]。在該系統(tǒng)上，測(cè)驗(yàn)以闖關(guān)的形式呈現(xiàn)，每關(guān)對(duì)應(yīng)一套測(cè)驗(yàn)題，題型為選擇題或者填空題。學(xué)生必須依次做對(duì)每道題才算闖關(guān)成功。若單道題未能答對(duì)，則可以重復(fù)做題直到答對(duì)或超時(shí)為止。系統(tǒng)記錄的主要信息包括學(xué)生做該套題所用的時(shí)間、提交錯(cuò)誤答案的次數(shù)、測(cè)驗(yàn)得分等。該系統(tǒng)中的題庫(kù)來(lái)自一線教研人員和教師的命題，測(cè)驗(yàn)中命題的內(nèi)容、形式和難度與實(shí)際綜合性考試中的試題相仿，有較好的內(nèi)容效度和效標(biāo)效度。數(shù)據(jù)集中共有試卷87萬(wàn)余套。有關(guān)初中數(shù)學(xué)人教版的做題記錄有380萬(wàn)條，涉及4萬(wàn)余學(xué)習(xí)者。當(dāng)然，并非學(xué)習(xí)平臺(tái)上的學(xué)習(xí)者都完成了人教版初中數(shù)學(xué)所有單元的學(xué)習(xí)，本文篩選出83名完成了平臺(tái)上初中數(shù)學(xué)人教版全部章節(jié)內(nèi)容學(xué)習(xí)，且在每章上至少進(jìn)行了5次學(xué)習(xí)活動(dòng)的學(xué)習(xí)者。

人教版初中數(shù)學(xué)共29章，其中的知識(shí)點(diǎn)可以概括為4類(lèi)：幾何類(lèi)、代數(shù)類(lèi)、數(shù)理統(tǒng)計(jì)類(lèi)、銜接類(lèi)。

（二）研究方法

基于教學(xué)重點(diǎn)的概念，本文提出3個(gè)指標(biāo)來(lái)描述某一知識(shí)點(diǎn)在知識(shí)結(jié)構(gòu)中的重要性：概念網(wǎng)絡(luò)、成績(jī)網(wǎng)絡(luò)以及知識(shí)點(diǎn)掌握程度對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)的影響。

1.指標(biāo)一：概念網(wǎng)絡(luò)

在學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)新的概念時(shí)，新的概念會(huì)與學(xué)習(xí)者已經(jīng)習(xí)得的概念發(fā)生聯(lián)系，這種聯(lián)系的強(qiáng)弱影響了學(xué)習(xí)者對(duì)新知識(shí)同化的程度。在知識(shí)圖譜的研究中，圖和網(wǎng)絡(luò)是一種常用的表征知識(shí)結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)工具。可以用圖中的頂點(diǎn)表示知識(shí)內(nèi)容，而用頂點(diǎn)間的邊表示知識(shí)間的某種關(guān)系。類(lèi)似地，本文用圖對(duì)初中數(shù)學(xué)中的知識(shí)點(diǎn)及知識(shí)點(diǎn)概念間的聯(lián)系進(jìn)行演示，圖的頂點(diǎn)代表知識(shí)內(nèi)容，而頂點(diǎn)間的邊則代表兩個(gè)知識(shí)在概念上的聯(lián)系，邊的權(quán)重代表概念聯(lián)系的強(qiáng)弱。

在知識(shí)點(diǎn)的顆粒度大小的選擇上，過(guò)小的顆粒度會(huì)增加圖的復(fù)雜度，同時(shí)降低進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷時(shí)的樣本量，影響結(jié)論的信效度;而過(guò)大顆粒度的知識(shí)點(diǎn)則會(huì)降低研究的意義和價(jià)值。本文用每個(gè)單元的內(nèi)容作為圖的頂點(diǎn)。

圖的邊表示兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)在概念上的聯(lián)系，本文假設(shè)概念網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)無(wú)向全聯(lián)通圖，即其中的所有知識(shí)點(diǎn)之間都有聯(lián)系，只是在概念上聯(lián)系的強(qiáng)弱不同。本文使用知識(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的試題文本在語(yǔ)義上的相似度來(lái)度量?jī)蓚€(gè)知識(shí)點(diǎn)概念間的聯(lián)系強(qiáng)弱，相似度越高，則說(shuō)明聯(lián)系越強(qiáng)。對(duì)于某兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)i和j，保留名詞、動(dòng)詞等實(shí)詞，使用文檔-逆文檔頻率（TF-IDF），為詞向量中的不同詞賦予特征權(quán)重，相似度就是兩個(gè)詞向量的歐式距離。

當(dāng)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)與許多知識(shí)點(diǎn)之間有很強(qiáng)的概念上的聯(lián)系，那么這個(gè)頂點(diǎn)所代表的知識(shí)點(diǎn)在初中數(shù)學(xué)的概念網(wǎng)絡(luò)中就更重要。本文使用Pagerank算法（網(wǎng)頁(yè)排序算法）對(duì)圖中頂點(diǎn)的重要性進(jìn)行度量。對(duì)于知識(shí)點(diǎn)構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)來(lái)說(shuō)，Pagerank值更大的知識(shí)節(jié)點(diǎn)在概念網(wǎng)絡(luò)中就占有更重要的位置，也是教學(xué)中應(yīng)該關(guān)注的教學(xué)重點(diǎn)。

2.指標(biāo)二：成績(jī)網(wǎng)絡(luò)

如果在學(xué)習(xí)者的考試題數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)這樣一種情況，如果知識(shí)點(diǎn)B的學(xué)習(xí)需要知識(shí)點(diǎn)A作為其錨點(diǎn)，或者是在知識(shí)點(diǎn)A的基礎(chǔ)上展開(kāi)的，那么知識(shí)點(diǎn)A與B的掌握程度之間就會(huì)存在這樣一種因果關(guān)系：學(xué)習(xí)者對(duì)知識(shí)點(diǎn)B的掌握程度在一定程度上取決于其對(duì)知識(shí)點(diǎn)A的掌握程度，而在一個(gè)學(xué)習(xí)者群體的觀察數(shù)據(jù)構(gòu)成的樣本中，這種因果關(guān)系就會(huì)在一定程度上表現(xiàn)為學(xué)習(xí)者在知識(shí)點(diǎn)A與B的成績(jī)間的相關(guān)性。本文用圖結(jié)構(gòu)來(lái)描述初中數(shù)學(xué)中的知識(shí)點(diǎn)及知識(shí)點(diǎn)間掌握程度的關(guān)系，并構(gòu)造一個(gè)初中數(shù)學(xué)知識(shí)的成績(jī)網(wǎng)絡(luò)。其中，圖的頂點(diǎn)代表知識(shí)內(nèi)容，而頂點(diǎn)間的邊則代表兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)在掌握程度上的相關(guān)性，邊的權(quán)重代表掌握程度的相關(guān)性強(qiáng)弱。

測(cè)驗(yàn)是測(cè)量學(xué)習(xí)者對(duì)某一知識(shí)的掌握程度的常用手段，本文采用賈積有等人提出的在線學(xué)習(xí)行為指數(shù)來(lái)衡量在線學(xué)習(xí)的測(cè)驗(yàn)成績(jī)，包括質(zhì)量、速度和數(shù)量三個(gè)維度[15]。

成績(jī)網(wǎng)絡(luò)的頂點(diǎn)表征數(shù)學(xué)教材中的某一單元。成績(jī)網(wǎng)絡(luò)的邊表示兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)在掌握程度上的聯(lián)系，用學(xué)習(xí)者群體在兩個(gè)單元的測(cè)驗(yàn)成績(jī)之間的皮爾森相關(guān)系數(shù)表征其權(quán)重;為了保證研究的效度，若該邊表示的相關(guān)系數(shù)不能通過(guò)對(duì)其相關(guān)性的假設(shè)檢驗(yàn)（p>0.1），則不考慮這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)在掌握程度上的聯(lián)系性。成績(jī)網(wǎng)絡(luò)也使用頂點(diǎn)的Pagerank值作為重要性的度量。

3.指標(biāo)三：知識(shí)點(diǎn)掌握程度對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)的影響

概念網(wǎng)絡(luò)和成績(jī)網(wǎng)絡(luò)雖然可以通過(guò)知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容和學(xué)習(xí)者學(xué)業(yè)表現(xiàn)的相關(guān)性來(lái)描述知識(shí)點(diǎn)間的關(guān)系，但是初中數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)教學(xué)是以順序結(jié)構(gòu)展開(kāi)的，學(xué)習(xí)者對(duì)先前學(xué)習(xí)知識(shí)的掌握程度會(huì)影響到其對(duì)后續(xù)知識(shí)的學(xué)習(xí)。本文用如下多元線性回歸模型來(lái)描述學(xué)習(xí)者在知識(shí)點(diǎn)i上的平均得分Avg、知識(shí)點(diǎn)i前所有單元平均成績(jī)Avgbefore、知識(shí)點(diǎn)i后所有單元的平均成績(jī)Avgafter之間的關(guān)系。

Avgafter=a*Avgbefore+b*Avg + c（a為Avgbefore系數(shù)，b為Avg系數(shù)，c為常數(shù)）

三、研究結(jié)果

（一）概念網(wǎng)絡(luò)

對(duì)系統(tǒng)87萬(wàn)余套試題，計(jì)算各單元文本詞向量的TF-IDF值及其相似度，得到人教版初中數(shù)學(xué)的概念網(wǎng)絡(luò)，如圖1（見(jiàn)下頁(yè)）所示，其中去除了權(quán)重小于所有邊平均權(quán)重的邊。從概念網(wǎng)絡(luò)來(lái)看，幾何知識(shí)與代數(shù)知識(shí)的重要性均遠(yuǎn)大于數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)。

（二）成績(jī)網(wǎng)絡(luò)

根據(jù)83名學(xué)習(xí)者在各單元上學(xué)習(xí)的質(zhì)量和速度數(shù)值，計(jì)算各單元間知識(shí)的相關(guān)性，可以得到測(cè)驗(yàn)網(wǎng)絡(luò)的邊的權(quán)值，再去除權(quán)重小于所有邊平均權(quán)重的邊，進(jìn)而畫(huà)出成績(jī)網(wǎng)絡(luò)，如圖2（見(jiàn)下頁(yè)）所示。從成績(jī)網(wǎng)絡(luò)來(lái)看，幾何知識(shí)與代數(shù)知識(shí)的重要性遠(yuǎn)大于數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)。與此同時(shí)，銜接類(lèi)的知識(shí)在成績(jī)網(wǎng)絡(luò)中的重要性很大。

（三） 知識(shí)點(diǎn)掌握程度對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)的影響

表1呈現(xiàn)了以各章知識(shí)點(diǎn)掌握程度（Avg）和知識(shí)點(diǎn)i前所有單元平均成績(jī)（Avgbefore）為自變量、知識(shí)點(diǎn)i后所有單元的平均成績(jī)（Avgafter）為因變量的多元回歸結(jié)果。因?yàn)榈谝徽隆坝欣頂?shù)”和最后一章“投影與視圖”分別位于學(xué)習(xí)序列的首尾，分別缺少Avgbefore和Avgafter，所以不計(jì)算這兩章的回歸公式。

可見(jiàn)第二章和第三章知識(shí)點(diǎn)的Avgbefore項(xiàng)的系數(shù)偏小，說(shuō)明在初中學(xué)習(xí)的開(kāi)始階段學(xué)習(xí)者的可塑性很強(qiáng)，以往的學(xué)習(xí)成績(jī)并不能很好地預(yù)測(cè)之后的學(xué)業(yè)表現(xiàn)。代數(shù)類(lèi)知識(shí)的掌握情況對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)的影響大于幾何類(lèi)知識(shí)。銜接類(lèi)的知識(shí)對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)有很大的影響。

（四） 三個(gè)指標(biāo)的三位一體可視化呈現(xiàn)

為了全面考察三種指標(biāo)之間的關(guān)系，本文采用三位一體的可視化方法，如圖3（見(jiàn)下頁(yè)）所示。其中橫軸為知識(shí)點(diǎn)在概念網(wǎng)絡(luò)中的pagerank值，表示知識(shí)點(diǎn)在概念網(wǎng)絡(luò)中的重要程度;縱軸為知識(shí)點(diǎn)在成績(jī)網(wǎng)絡(luò)中的pagerank值，表示知識(shí)點(diǎn)在學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)中的重要程度。縱軸為知識(shí)點(diǎn)在成績(jī)網(wǎng)絡(luò)中的重要程度，知識(shí)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的氣泡大小表示知識(shí)點(diǎn)對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)的影響程度，點(diǎn)越大，則對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)的影響越大。兩條垂直于坐標(biāo)軸的虛線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別是各章知識(shí)點(diǎn)在該軸上的投影點(diǎn)的均值。

可以看出，七年級(jí)的知識(shí)內(nèi)容（包括第二章、第三章、第四章和第六章）都處于整個(gè)知識(shí)體系的右上方，說(shuō)明這些知識(shí)點(diǎn)不但在測(cè)驗(yàn)網(wǎng)絡(luò)中占據(jù)有影響力的位置，而且對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)的影響也較大。二次根式與勾股定理在初中數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)中起到承上啟下的作用，一方面銜接了關(guān)于二次函數(shù)的代數(shù)知識(shí)，一方面又與角、三角形等幾何知識(shí)發(fā)生聯(lián)系。這一結(jié)果暗示著在教學(xué)中關(guān)注綜合銜接這一類(lèi)知識(shí)對(duì)于學(xué)習(xí)者全局掌握初中數(shù)學(xué)知識(shí)有很大的幫助。

四、研究結(jié)論和討論

不同于與以往研究中經(jīng)常采用的對(duì)教師展開(kāi)問(wèn)卷調(diào)查和訪談等方法，本文梳理了教學(xué)重點(diǎn)的概念，并從發(fā)生認(rèn)識(shí)論的理論視角入手，重點(diǎn)探究初中數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)中的教學(xué)重點(diǎn)，并基于更為客觀的學(xué)習(xí)者的行為日志數(shù)據(jù)和平臺(tái)題庫(kù)，將其操作化為三個(gè)可量化的指標(biāo)。大體而言，本文從知識(shí)點(diǎn)在概念上的重要性和在學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)表現(xiàn)中的重要性入手，用不同角度刻畫(huà)了初中數(shù)學(xué)中一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的重要程度。概念網(wǎng)絡(luò)有助于教師把握初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的概念上的重點(diǎn)，對(duì)一些基礎(chǔ)的、重要的概念在教學(xué)中加以強(qiáng)調(diào)，有利于學(xué)習(xí)者之后的學(xué)習(xí)。當(dāng)然，數(shù)學(xué)知識(shí)中很大一部分并非單純的陳述性知識(shí)，過(guò)程與方法性的知識(shí)也是初中數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分。相對(duì)而言，成績(jī)網(wǎng)絡(luò)和前后知識(shí)掌握的回歸方程彌補(bǔ)了概念網(wǎng)絡(luò)的缺陷，有助于教師以學(xué)習(xí)者測(cè)驗(yàn)成績(jī)?yōu)榭?jī)效目標(biāo)，把握教學(xué)重點(diǎn)，合理分配教學(xué)精力。

在對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行三個(gè)維度的描述和三維一體的可視化呈現(xiàn)基礎(chǔ)上，本文得出了三個(gè)結(jié)論：初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中早期學(xué)習(xí)的知識(shí)往往更重要;代數(shù)與幾何的知識(shí)是初中數(shù)學(xué)中的教學(xué)重點(diǎn)，但是學(xué)習(xí)者代數(shù)知識(shí)的掌握情況對(duì)于后續(xù)學(xué)習(xí)有更大的影響;代數(shù)和幾何的銜接類(lèi)知識(shí)在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著獨(dú)特的重要性。這些結(jié)論對(duì)于初中數(shù)學(xué)教學(xué)具有較大的參考價(jià)值。

與徐百靈的研究結(jié)論相符，初中數(shù)學(xué)中的代數(shù)和幾何這兩部分的內(nèi)容顯得同等重要[16]。這與代數(shù)類(lèi)知識(shí)大多在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的前期開(kāi)始教授有關(guān)，也可以用皮亞杰的兒童認(rèn)知發(fā)展階段理論解釋?zhuān)壕唧w思維運(yùn)算階段的運(yùn)算離不開(kāi)具體事物的支持， 還不能組成一個(gè)結(jié)構(gòu)的整體和一個(gè)完整的系統(tǒng)，而形式運(yùn)算階段學(xué)習(xí)者的思維能從理論出發(fā)，不受具體事物的限制。相比于直觀的幾何知識(shí)，抽象的代數(shù)符號(hào)更難于被這一階段的學(xué)習(xí)者所理解。加之代數(shù)類(lèi)知識(shí)講授較早，所以能夠很好地構(gòu)建起數(shù)與代數(shù)的體系，在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者的知識(shí)獲取過(guò)程中顯得更為重要。早期知識(shí)內(nèi)容的重要性也不難理解：從學(xué)習(xí)者的學(xué)業(yè)表現(xiàn)間的比較來(lái)看，小升初后先行知識(shí)的差異對(duì)其最終整個(gè)初中的學(xué)業(yè)表現(xiàn)的影響是有限的，在學(xué)習(xí)的開(kāi)始取得的微小優(yōu)勢(shì)會(huì)逐漸累加。另外，從知識(shí)獲取的過(guò)程來(lái)看，這部分知識(shí)是所有初中數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，之后新知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中都需要這部分知識(shí)作為固著點(diǎn)。

就研究結(jié)論的信度而言，平臺(tái)本身的練習(xí)題由一線教研人員制定，其中不乏一些地區(qū)的大型考試真題，保證了題庫(kù)內(nèi)容較好的效度，也保證了概念網(wǎng)絡(luò)能較好地反映真實(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)間的概念聯(lián)系。此外，本文采用了犧牲外部效度保全內(nèi)部效度的設(shè)計(jì)方法，只保留了學(xué)習(xí)投入最高的83位學(xué)習(xí)者，不存在某些章節(jié)內(nèi)容上缺失數(shù)據(jù)的問(wèn)題，行為日志也能更真實(shí)地反映其學(xué)習(xí)過(guò)程和能力水平。就研究的外部效度而言，研究的樣本來(lái)自全國(guó)不同地區(qū)、學(xué)校的線上學(xué)習(xí)者，在人口統(tǒng)計(jì)學(xué)上有較好的代表性，但是值得注意的是由于在線學(xué)習(xí)的特殊性，作為研究對(duì)象的83位學(xué)習(xí)者是完成了平臺(tái)上所有初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的人，相較于其余數(shù)萬(wàn)學(xué)習(xí)者而言有著極高的學(xué)習(xí)投入，這一點(diǎn)對(duì)結(jié)論的外部效度提出了一些挑戰(zhàn)，雖然并不能明確其影響，但是最終結(jié)論有可能只適用于“好學(xué)生”群體。此外，本文采用的數(shù)據(jù)集是人教版初中數(shù)學(xué)的相關(guān)試題和學(xué)習(xí)者活動(dòng)日志，未來(lái)可以對(duì)更多版本教材中的教學(xué)重點(diǎn)進(jìn)行分析，以印證研究結(jié)論并擴(kuò)充研究的外部效度。

從方法上而言，本文采用的方法具有較好的可移植性，可以分析所有課程科目的包含題庫(kù)文本和學(xué)習(xí)者測(cè)驗(yàn)成績(jī)的數(shù)據(jù)集，發(fā)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容中的重點(diǎn)，為教師的教和學(xué)生的學(xué)服務(wù)，實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效效果。同時(shí)，本文提出的方法避免了以往對(duì)教學(xué)重點(diǎn)研究中過(guò)度依賴(lài)專(zhuān)家與教師的個(gè)體主觀經(jīng)驗(yàn)的問(wèn)題，能從數(shù)據(jù)中得到客觀的知識(shí)點(diǎn)的重要程度度量。當(dāng)然，本方法還有許多的不足，例如，其中的成績(jī)網(wǎng)絡(luò)中知識(shí)點(diǎn)間的關(guān)系使用了相關(guān)性進(jìn)行度量，無(wú)法剝離出各知識(shí)點(diǎn)間復(fù)雜的因果路徑以及存在的中介效應(yīng)。未來(lái)研究可以著眼于知識(shí)點(diǎn)間的影響并進(jìn)行更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊蚬茢啵l(fā)現(xiàn)各知識(shí)點(diǎn)間影響的因果效應(yīng)，以獲得更加精確的對(duì)知識(shí)點(diǎn)重要程度的估計(jì)。

[1][15]賈積有，于悅洋.學(xué)習(xí)活動(dòng)指數(shù)LAI及在線學(xué)習(xí)活動(dòng)指數(shù)OLAI的具體分析[J].中國(guó)遠(yuǎn)程教育，2017（4）：15-22，56，79.

[2][8] 朱珍.初中數(shù)學(xué)教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)的教學(xué)策略研究[D].徐州：江蘇師范大學(xué)，2018.

[3][16]徐百靈. 師生對(duì)初中數(shù)學(xué)教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)的認(rèn)知研究[D].臨汾：山西師范大學(xué)，2017.

[4]張勝利.數(shù)學(xué)概念的教科書(shū)呈現(xiàn)研究：以初中數(shù)學(xué)教學(xué)為例[D].長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)，2011.

[5]王海青.“平面向量基本定理”的教學(xué)重點(diǎn)及其建議[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2013，52（7）：30-32.

[6]王麗穎，畢力格圖. 中學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率教學(xué)重點(diǎn)問(wèn)題探究[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2012，51（2）：16-19.

[7]陳林. 語(yǔ)文教學(xué)重點(diǎn)到底是什么？—— 一種“過(guò)程論”的嘗試[J].教育學(xué)術(shù)月刊，2015（4）：81-87.

[9]閻立君.考試新題型所透視出的高校英語(yǔ)教學(xué)重點(diǎn)的轉(zhuǎn)移[J].遼寧廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào)，2006（3）：20-21.

[10]NONAKA I ，REINMOELLER P，DAI S.The“ART”of Knowledge：

Systems to Capitalize on Market Knowledge[J].European Management Journal，1998，16（6）：673-684.

[11]COOK H，AUSUBEL D P.Educational Psychology：A Cognitive View[J].The American Journal of Psychology，1970，83（2）：303.

[12]何先友，莫雷.奧蘇伯爾論認(rèn)知結(jié)構(gòu)、知識(shí)獲得與課堂教學(xué)模式[J].華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)（社會(huì)科學(xué)版），1998（3）：50-56.

[13]賈積有，顏澤忠，張志永，等.人工智能賦能基礎(chǔ)教育的路徑與實(shí)踐[J].數(shù)字教育，2020，6（1）：1-8.

[14]賈積有，張必蘭，顏澤忠，等.在線數(shù)學(xué)教學(xué)系統(tǒng)設(shè)計(jì)及其應(yīng)用效果研究[J].中國(guó)遠(yuǎn)程教育，2017（3）：37-44，80.

（責(zé)任編輯 孫志莉）

Research on the Discovery of the Math Teaching Content Focus of Junior High School Based on Big Data Mining

LE Huixiao，JIA Jiyou

（Graduate School of Education，Peking University，Beijing，China 100871）

Abstract： To understand the teaching focus of junior high school math is of great importance to the promotion of teacher teaching. But generally，teachers’ understanding of teaching focus mainly depends on teaching experiences.The informed research mainly adopted method like questionnaire survey to make a discussion of teaching focus in teachers’ beliefs， obtaining the result of strong subjectivity.This paper has combed the concept of teaching focus，starting from the theoretical perspective of genetic epistemology，based on 3.8 million behavior log data of online learners and 0.87 million set of exam texts，has done an objective description of each chapter’s knowledge points of junior high school math textbook of people’s education edition and its relation by using three quantitative indexes，namely，concept network，performance network， and the influence on follow-up performance. This paper，after calculating three indexes respectively and doing visual presentation of three dimensions in one， obtained three conclusions：in the learning process of junior high school math，the knowledge learned in the early period is often more important;the knowledge of algebra and geometry is the teaching focus of junior high school math，but learners’ mastering of algebra knowledge will have greater impact on the follow-up study;the connection knowledge of algebra and geometry is of unique importance in the learning of junior high school math.The teaching content focus discovery technology and its results based on big data mining and put forward and realized by this paper are of great referent value to the teaching and learning of math and other disciplines.

Key words：? junior high school;teaching focus;knowledge structure;education big data