四旋翼前飛模態(tài)的頻域辨識建模與控制器設(shè)計

郭凱陽，林德福，楊 丹，張 意，劉敘含，王 輝

(1 北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081；2 北京理工大學(xué)無人自主控制技術(shù)實驗室，北京 100081；3 西南計算機有限責(zé)任公司技術(shù)中心，重慶 400060；4 西安現(xiàn)代控制技術(shù)研究所，西安 710065)

0 引言

近年來，四旋翼無人機被廣泛地應(yīng)用于探測監(jiān)控、搜索救援、打擊對抗等商業(yè)和軍事領(lǐng)域，隨著其功能的日漸豐富和任務(wù)范圍的不斷擴大，軍事作戰(zhàn)和無人機競速比賽等復(fù)雜任務(wù)場景對四旋翼高速前飛模態(tài)下的控制性能和機動能力提出了更高的要求。然而，四旋翼前飛動力學(xué)模型在結(jié)構(gòu)與參數(shù)方面同懸停時存在明顯差異，并且缺少具備理論支撐的參數(shù)整定方法，這就導(dǎo)致現(xiàn)有基于懸停點設(shè)計的控制器效率較低。為解決以上問題，基于四旋翼前飛模態(tài)的動力學(xué)建模以及相應(yīng)的控制器設(shè)計成為當(dāng)前的研究熱點。

作為一個典型的非線性、欠驅(qū)動系統(tǒng)，四旋翼無人機姿態(tài)和位置的快速穩(wěn)定控制，很大程度上是由控制算法的效率和魯棒性決定的，而控制器的好壞又與對模型的掌握程度密切相關(guān)。文獻[3]在VICON系統(tǒng)下對基于懸停點設(shè)計的四旋翼控制系統(tǒng)進行飛行驗證，發(fā)現(xiàn)其實際軌跡與預(yù)期位置存在顯著偏差。文獻[4]借助風(fēng)洞試驗建立了四旋翼前飛模態(tài)下的非線性模型，但缺少了槳葉的俯仰力矩項。目前國內(nèi)外關(guān)于四旋翼前飛模態(tài)的動力學(xué)建模尚未形成系統(tǒng)的研究，因而亟待建立其較為精確的前飛模型。

得益于結(jié)構(gòu)簡單和易于實現(xiàn)的特點，PID算法成為Pixhawk等商業(yè)飛控的首選，但是復(fù)雜工況下參數(shù)整定的工程化手段使其無法達到最佳的響應(yīng)效果。文獻[5]研究了四旋翼懸停模態(tài)的傳遞函數(shù)動態(tài)特性以及PID控制，其參數(shù)是依據(jù)仿真結(jié)果手動調(diào)節(jié)得到的。文獻[6]借助經(jīng)典控制理論來設(shè)計四旋翼姿態(tài)控制系統(tǒng)的PID參數(shù)。文獻[7]對比分析了PID和LQR在四旋翼飛行仿真實驗中的效果，雖然其線性模型是在懸停模態(tài)下得到的，但仍未形成較好的PID整定方法。文獻[8]通過優(yōu)化的閉環(huán)時間常數(shù)來推導(dǎo)出PID 參數(shù)與四旋翼傳遞函數(shù)模型之間的關(guān)系，但是僅考慮了時域指標，忽略了頻域響應(yīng)快速性和穩(wěn)定性對于控制系統(tǒng)的重要性。因此，基于極點配置法，綜合考慮時域和頻域的性能指標，形成一套針對四旋翼前飛模態(tài)的PID參數(shù)設(shè)計方法是文中的研究重點。此外，非線性控制算法在四旋翼飛行控制中也已得到大量的研究與應(yīng)用，例如模型預(yù)測控制、自適應(yīng)滑模控制等。

主要創(chuàng)新點包括：1)針對四旋翼的前飛模態(tài)，開展了細化的動力學(xué)建模，并采用頻域系統(tǒng)辨識的方法完成模型參數(shù)的測量；2)從頻域分析角度，基于極點配置法推導(dǎo)出四旋翼姿態(tài)串級PID控制參數(shù)的解析表達，對比仿真及降落實驗驗證了設(shè)計后系統(tǒng)的整體控制性能。

1 四旋翼前飛動力學(xué)建模

1.1 布局與坐標系

為了提高四旋翼的機動能力，降低機身和螺旋槳對光電吊艙的干擾，研究采用“X”型布局結(jié)構(gòu)。4個槳葉的編號順序和轉(zhuǎn)動方向如圖1所示，其中，槳葉1和2逆時針轉(zhuǎn)動，槳葉3和4順時針轉(zhuǎn)動，飛行過程中通過控制其轉(zhuǎn)速變化來生成相應(yīng)的力和力矩。

圖1 四旋翼的槳葉布局和坐標系

1.2 前飛模態(tài)動力學(xué)模型

令B系下四旋翼的飛行速度和轉(zhuǎn)動慣量分別為=[,,]和=diag(,,)，則可建立其動力學(xué)模型：

(1)

(2)

設(shè)=[,,]和=[,,]分別表示B系下三軸方向的合力和合力矩，并且力和力矩模型的變化是導(dǎo)致四旋翼前飛和懸停模態(tài)動力學(xué)存在顯著差異的主要原因。在前飛過程中，其機身氣動特性和槳葉的相互擾動不再是小量，因而不能被忽略，通過Δ和Δ來描述槳葉拉力和反扭距作用之外的非建模動力學(xué)及外界擾動，并且通過頻域辨識實驗來測量其系數(shù)值。

(3)

根據(jù)先驗知識，槳葉轉(zhuǎn)動產(chǎn)生的拉力和反扭距[,,,]與控制指令[,,,]之間呈線性關(guān)系，即：

(4)

其中：=diag(,,,)，控制分配矩陣與四旋翼的結(jié)構(gòu)布局相關(guān)，直接影響滾轉(zhuǎn)、俯仰和偏航運動的控制效率。

上述分析初步建立起四旋翼的前飛動力學(xué)模型，但是由于該工況下機身和槳葉的詳細氣動特性較難測量，因此基于頻域系統(tǒng)辨識原理，采用文獻[11]中的模型結(jié)構(gòu)形式，將姿態(tài)運動解耦成縱向和側(cè)向兩個子系統(tǒng)，如式(5)和式(6)所示。其中，狀態(tài)矩陣和控制矩陣中氣動和控制偏導(dǎo)數(shù)的具體物理意義可參考文獻[4]，這些系數(shù)能夠較為精確地描述四旋翼前飛模態(tài)的運動特性，,,為某一特定前飛平衡狀態(tài)下的狀態(tài)量值。

(5)

(6)

1.3 頻域辨識實驗設(shè)計

由于缺乏前飛動力學(xué)的先驗知識，采用兩步法進行四旋翼的系統(tǒng)辨識實驗設(shè)計，并根據(jù)頻域響應(yīng)結(jié)果，來擬合得到模型中的待定系數(shù)，即氣動和控制偏導(dǎo)數(shù)。

基于Pixhawk飛控姿態(tài)控制器的“stabilized”模式，自研四旋翼將按照圖2所示的框架進行4個通道(滾轉(zhuǎn)、俯仰、偏航、垂向)的解耦控制，遙控器的操縱信號和設(shè)計的掃頻信號作為期望的姿態(tài)角輸入，綜合對控制系統(tǒng)進行激勵，并且與傳感器反饋的實時狀態(tài)測量作差得到控制偏差，進而通過飛控中串級PID控制器處理，形成介于0～1之間的電機控制指令[,,,]，再經(jīng)混控模塊Mixer分配縮放成PWM信號，以穩(wěn)定驅(qū)動4個槳葉實現(xiàn)相應(yīng)的轉(zhuǎn)動，形成控制力和力矩來操縱四旋翼前飛。

圖2 四旋翼姿態(tài)控制框架和頻域系統(tǒng)辨識原理

根據(jù)上述控制邏輯，頻域辨識實驗需要保證四旋翼事先達到預(yù)期的前飛狀態(tài)，即保持某一穩(wěn)定的期望前飛速度飛行，從而利用覆蓋其穿越頻率范圍的掃頻信號來依次充分激勵各控制通道，使其在當(dāng)前控制通道下的姿態(tài)響應(yīng)跟蹤輸入的變頻率正弦曲線，經(jīng)過串級PID控制器和混控模塊的共同作用，電機的轉(zhuǎn)速也隨之變化。在此過程中，我們借助飛控板中的SD卡來記錄姿態(tài)解算指令和四旋翼的運動狀態(tài)，包括加速度、姿態(tài)信息、飛行高度等，即圖2中紅色標記處的辨識輸入采集點和系統(tǒng)的狀態(tài)輸出信號。最后，基于前飛模態(tài)開環(huán)模型的輸入輸出信息，使用CIFER軟件與頻域傳遞函數(shù)辨識算法，對數(shù)據(jù)進行擬合處理，得到四旋翼在前飛模態(tài)下的開環(huán)動力學(xué)模型。

實驗中，我們采用對數(shù)掃頻信號作為系統(tǒng)輸入，輸入信號設(shè)計為：

(7)

=(exp()-1)

(8)

其中：為掃頻信號的幅值；為信號持續(xù)時間，且在各次辨識實驗中均設(shè)計在40～70 s，和分別表示最小頻率值和最大頻率值，通常，四旋翼的穿越頻率介于10～20 rad/s，為了使信號掃頻范圍完全覆蓋感興趣的頻率段，故設(shè)定最小和最大頻率值分別為0.6 rad/s和62.8 rad/s。另外，根據(jù)文獻[15]中的設(shè)計準則，選取=4，=0.018 7。

2 前飛模態(tài)PID控制器設(shè)計

2.1 姿態(tài)控制的串級PID框架分析

得益于結(jié)構(gòu)相對簡單和容易理解實現(xiàn)的優(yōu)點，PID算法被廣泛地應(yīng)用于四旋翼的飛行控制。完整的PID控制器傳遞函數(shù)()如式(9)所示，其參數(shù)整定決定了控制系統(tǒng)性能的好壞。采用圖3所示通道解耦后的串級PID結(jié)構(gòu)來控制四旋翼的姿態(tài)運動，并基于線性化后的SISO模型進行整體控制回路的極點配置解析。設(shè),,分別為角速率環(huán)的比例、積分和微分環(huán)節(jié)的控制參數(shù)，為角度環(huán)的比例環(huán)節(jié)控制系數(shù)。

圖3 四旋翼姿態(tài)控制單通道結(jié)構(gòu)(以俯仰為例)

(9)

通過頻域數(shù)據(jù)擬合，可以處理得到解耦后各通道的傳遞函數(shù)模型如式(10)所示，用于后續(xù)的單輸入單輸出(single-input single-output, SISO)設(shè)計。由分析可知，其分母中存在不穩(wěn)定的極點，且除偏航通道之外，模型階次較高，動力學(xué)特性在不同頻段內(nèi)受到多組極點的共同作用。因此，角速率控制采用完整的PID形式來解決穩(wěn)定性問題，包括響應(yīng)的收斂情況和頻域下的穩(wěn)定裕度，而角度控制由于積分環(huán)節(jié)的存在，姿態(tài)響應(yīng)不會出現(xiàn)穩(wěn)態(tài)誤差，故僅采用比例控制來實現(xiàn)對角度指令的快速穩(wěn)定跟蹤。

(10)

2.2 PID參數(shù)的極點配置解析

如圖4中橙色陰影區(qū)域所示，在實際工程應(yīng)用中，內(nèi)環(huán)的微分項直接作用于反饋的角速率信息，而非控制偏差，這是因為反饋的角速率信息頻率要高于控制誤差的頻率(飛控的運算頻率為50 Hz)，又因為微分項主要影響系統(tǒng)的高頻環(huán)節(jié)，即執(zhí)行機構(gòu)動力學(xué)，故可簡化代碼直接使其作用于前者。此外，考慮到該改變會在開環(huán)模型處形成一個為負反饋的內(nèi)回路，分析可知，表征電機動力學(xué)的極點會明顯左移，即從理論上拓寬執(zhí)行機構(gòu)的帶寬，加快其響應(yīng)速度，為后續(xù)設(shè)計指標的選取提供更加充裕的頻域區(qū)間，在參數(shù)極點配置解析式的推導(dǎo)中仍視作常規(guī)PID表達形式來處理。

考慮到四旋翼控制系統(tǒng)與導(dǎo)彈自動駕駛儀設(shè)計的主要區(qū)別——硬件性能和飛行環(huán)境，導(dǎo)致其執(zhí)行機構(gòu)的響應(yīng)速度較慢，且對氣動參數(shù)變化的魯棒性要求較低，因而角度控制環(huán)與角速率控制環(huán)的頻帶差異并不明顯，故將其內(nèi)外環(huán)視作整體來總體設(shè)計兩環(huán)的PID參數(shù)。

以滾轉(zhuǎn)通道為例進行PID參數(shù)的極點配置解析表達式求解，其開環(huán)傳遞函數(shù)模型如式(11)所示。

(11)

參數(shù)設(shè)計前，考慮到未校正的分子中含有一個零點和微分環(huán)節(jié)，其中微分環(huán)節(jié)恰好與PID控制器的積分相抵消，而零點仍會存在，并且值得注意的是，該零點部分在求解滾轉(zhuǎn)通道整體閉環(huán)傳遞函數(shù)時仍將存在于分子中，不隨控制參數(shù)變化而變化。

=-(-)

(12)

結(jié)合和控制回路結(jié)構(gòu)，推導(dǎo)得滾轉(zhuǎn)通道整體的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

(13)

其中，分母中的(=0,1,2,3,4)為求解過程中的簡化系數(shù)，由動力學(xué)系數(shù)和控制參數(shù)組成。

(14)

由式(13)可知，閉環(huán)系統(tǒng)共有3個零點，其中兩個零點由內(nèi)環(huán)PID參數(shù)決定，另一個零點為。因此可以通過將一個低頻極點設(shè)計為接近該恒定零點的數(shù)值，使其在頻域響應(yīng)中發(fā)揮的作用盡可能地被削弱，即設(shè)計其為一對偶極子，以達到近似零極點對消的效果，假設(shè)該極點對應(yīng)的時間常數(shù)為，其數(shù)值可確定為=(-)。

該組零極點對消后，結(jié)合期望的時域和頻域特性，選擇將最終的閉環(huán)響應(yīng)系統(tǒng)的極點配置為一個低頻的主導(dǎo)極點和一對高頻共軛極點，故校正后的閉環(huán)傳遞函數(shù)模型表示為：

(15)

其中：為低頻主導(dǎo)極點的時間常數(shù)，且<；為共軛極點的無阻尼自然頻率；為其阻尼比；′為校正后的系統(tǒng)閉環(huán)增益。

對比極點配置前后的特征方程，可得：

(16)

根據(jù)對應(yīng)系數(shù)原則，解算得到待設(shè)計參數(shù)與期望指標之間的解析表達式，即:

(17)

由式(17)可見，方程組等式左邊由5個系數(shù)構(gòu)成，共包含串級PID中的4個待求參數(shù)，等式右邊為4個與閉環(huán)控制系統(tǒng)性能相關(guān)的設(shè)計指標。由此可見，只要確定了設(shè)計指標：時間常數(shù),,阻尼比以及無阻尼自然頻率便可通過聯(lián)立式(13)和式(16)解算出一組滿足時域和頻域設(shè)計要求的串級PID參數(shù)，求解過程可借助Wolfram Mathematica軟件中的solve函數(shù)。

2.3 極點指標選取準則

控制系統(tǒng)閉環(huán)極點大小的選取與頻域、時域設(shè)計指標是緊密聯(lián)系的，綜合考慮，上述極點配置過程的4個參數(shù)指標的設(shè)計方法如下。

1)時間常數(shù)影響零極點對消后的主導(dǎo)極點位置，主要決定閉環(huán)模型的瞬態(tài)響應(yīng)時間，結(jié)合位置控制環(huán)對姿態(tài)控制環(huán)響應(yīng)速度的要求和實際工程經(jīng)驗，通常選擇為0.3～0.6 s。

2)時間常數(shù)的選取應(yīng)當(dāng)盡可能的使該極點接近恒定零點=-(-)，因此解算得=(-)，此時該組零極點實現(xiàn)對消，故可忽略該極點所對應(yīng)的瞬態(tài)分量對姿態(tài)控制過渡過程的影響。

3)阻尼比主要影響系統(tǒng)的振蕩特性，通常，對于控制系統(tǒng)的設(shè)計，當(dāng)阻尼比為0.707時，頻域響應(yīng)的幅值特性最為平緩，故選取阻尼比為=0.7。

4)無阻尼自然頻率主要影響系統(tǒng)的增益和響應(yīng)速度，通常與系統(tǒng)的開環(huán)穿越頻率相近。因此，當(dāng)其他3個指標都已確定后，會影響高頻共軛極點距離虛軸的遠近，對于研究的某一通道閉環(huán)傳遞函數(shù)而言，與存在一定的函數(shù)關(guān)系，即：

=()

(18)

因此，可預(yù)先設(shè)定一頻率值，根據(jù)校正后系統(tǒng)的開環(huán)Bode圖來分析其穿越頻率和相位裕度，通過多輪設(shè)計迭代最終確定出滿足預(yù)期的值。

據(jù)此，便可根據(jù)極點配置解析的方法設(shè)計迭代出姿態(tài)控制內(nèi)外環(huán)的PID參數(shù)，并得到最終的閉環(huán)控制系統(tǒng)。

3 仿真與飛行實驗

3.1 前飛模型辨識結(jié)果

基于1.3節(jié)中設(shè)計的頻域辨識實驗，得到自研四旋翼在10 m/s前飛模態(tài)下的氣動和控制偏導(dǎo)數(shù)如表1所示，其相對不確定性均小于20%，不靈敏度均小于10%，因此，可認為辨識得到的前飛模型較為準確。

表1 10 m/s前飛模型的辨識參數(shù)

通過飛行路徑重構(gòu)，解算出10 m/s平衡狀態(tài)下3個通道的狀態(tài)量如表2所示。

表2 10 m/s前飛模態(tài)的狀態(tài)量值

3.2 姿態(tài)控制PID整定結(jié)果

基于上述實驗得到的前飛模型和第2節(jié)中的極點配置解析方法，10 m/s前飛模態(tài)下設(shè)計整定后的姿態(tài)控制PID參數(shù)如表3所示。同時，為了對比提出的參數(shù)設(shè)計方法與根據(jù)經(jīng)驗和實驗手動調(diào)參的姿態(tài)控制性能差異，表4給出了相同前飛模態(tài)下采用手動調(diào)參得到的PID控制參數(shù)。

表3 文中設(shè)計的PID控制參數(shù)

表4 手動調(diào)參的PID控制參數(shù)

3.3 姿態(tài)控制仿真對比實驗與分析

基于MATLAB/Simulink環(huán)境搭建自研四旋翼姿態(tài)控制系統(tǒng)的仿真模型，分別采取提出的極點配置解析法與根據(jù)經(jīng)驗和實驗的手動調(diào)參法得到的PID參數(shù)，對姿態(tài)各解耦通道進行階躍信號(幅值為15°，即0.261 rad)和正弦信號(0.261sin(0.2π)，單位:rad)的激勵，對比分析系統(tǒng)的控制性能。

同時，考慮到實際飛行過程中執(zhí)行機構(gòu)對控制系統(tǒng)的影響，在仿真中加入電機動力學(xué)環(huán)節(jié)，如式(19)所示，通過電機辨識實驗測量可知，=0.04。

(19)

其中，和分別為理想的和實際的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速。

圖4所示為四旋翼在階躍信號激勵下滾轉(zhuǎn)角、俯仰角和偏航角的響應(yīng)曲線，從對比結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，利用兩種方法設(shè)計的滾轉(zhuǎn)和俯仰通道上升時間較為接近，均位于0.3～0.6 s間，滿足設(shè)計指標要求，同時能夠與電機響應(yīng)速度相匹配，但是偏航通道從機理角度考慮其運動效率偏低，故手動調(diào)參設(shè)計由于依賴飛手對操縱機動的經(jīng)驗，其結(jié)果要明顯慢于文中設(shè)計的控制系統(tǒng)。

圖4 四旋翼在10 m/s前飛模態(tài)下滾轉(zhuǎn)、俯仰和偏航通道的階躍信號響應(yīng)曲線

就過渡過程而言，提出的方法響應(yīng)曲線更加平滑，可等效為一階動力學(xué)模型，不存在超調(diào)和振蕩現(xiàn)象，而手動調(diào)參由于嚴重依賴控制器設(shè)計經(jīng)驗和實驗迭代次數(shù)，過程中無法較好地保證振蕩和超調(diào)的要求，導(dǎo)致系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性和安全性較低。然而，二者均由于更多地考慮了四旋翼姿態(tài)控制的短周期效果，在指令充分響應(yīng)的快速性方面還有待提升，即趨近于穩(wěn)態(tài)過程中，由于受長周期共軛極點的影響，系統(tǒng)到達穩(wěn)態(tài)的速度較慢。

圖5所示為四旋翼姿態(tài)三通道對輸入正弦信號的跟蹤曲線，不難看出，基于極點配置解析法設(shè)計的控制系統(tǒng)對連續(xù)變化信號的跟蹤效果較好，由于考慮了執(zhí)行機構(gòu)的動力學(xué)滯后，響應(yīng)的延遲較為合理，而手動調(diào)參結(jié)果的跟蹤效果在信號跟蹤準確性和延遲方面均較差。此外，由于在設(shè)計中未能解決瞬時指令達到穩(wěn)態(tài)時間較長的問題，因而正弦信號在每個波段上會存在一定的偏差。

圖5 四旋翼在10 m/s前飛模態(tài)下滾轉(zhuǎn)、俯仰和偏航通道的正弦信號跟蹤曲線

3.4 機動平臺自主降落實驗

利用機動平臺降落實驗來驗證設(shè)計的姿態(tài)控制系統(tǒng)對位置環(huán)期望指令的控制性能。實驗中，四旋翼飛行器的初始位置為[0,-20,20]，單位:m，處于懸停狀態(tài)。移動平臺的初始位置為[50,7,2]，單位：m，沿直線運動，過程中控制車輛平臺速度不超過3 m/s。

如圖6、圖7所示，四旋翼能夠安全平穩(wěn)地實現(xiàn)在機動平臺上的自主降落，基于前飛辨識模型進行極點配置解析設(shè)計得到的姿態(tài)控制系統(tǒng)，可以快速準確地跟蹤軌跡規(guī)劃輸出的控制指令，二者的相互協(xié)調(diào)保證了前飛過程的姿態(tài)平穩(wěn)。

圖6 四旋翼降落的三維軌跡圖

圖7 四旋翼的姿態(tài)變化曲線

4 結(jié)論

針對四旋翼前飛模態(tài)尚未建立起精確的動力學(xué)模型以及缺乏系統(tǒng)分析的控制器參數(shù)設(shè)計方法的問題，研究了四旋翼的頻域辨識建模和控制器設(shè)計。首先利用頻域系統(tǒng)辨識原理和實驗，建立較為精確的四旋翼前飛動力學(xué)模型；進而結(jié)合極點配置法，形成一套姿態(tài)控制的內(nèi)外環(huán)整體設(shè)計方案，并且根據(jù)快速性和穩(wěn)定性指標解算出PID參數(shù)的解析表達式。通過姿態(tài)控制仿真和室外降落試驗，驗證了建立的前飛模型較為準確，適用于前飛模態(tài)下的控制器設(shè)計，并且基于極點配置解析設(shè)計的控制器響應(yīng)速度較快，系統(tǒng)穩(wěn)定性較強，信號跟蹤準確，控制性能優(yōu)于常規(guī)基于懸停模態(tài)手動調(diào)參的控制器。