淺談函數思想在高中數學解題中的應用

張宏斌

摘要：數學思想是人類在長期的社會實踐以及理論推理中得出來的現實世界與數學公式之間的關系.而函數思想就是數學思想中的一種，在高中學習中，函數思想對學生們的解題做題有很重要的影響.可以這樣說函數思想貫穿學生高中學習的整個階段，數列問題、空間幾何問題，以及三角函數等學生們都可以轉化為函數進行解決.老師要養成學生們運用函數解題的思想，在遇到新題型之后，探索是否能運用函數解決問題.同樣函數教學在高中階段也非常的重要，因為它是很多問題解題的基礎.

關鍵詞：高中數學;函數思想;問題轉化

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）18-0026-03

在高中學習一開始，學生們就會學習到各種函數，函數的各種性質需要學生們熟練的掌握理解運用.這些函數是學生們高中學習的基礎，一元二次方程中韋達定理和求根公式，指數函數與對數函數的運算法則等的應用.

1 在數學學習中應用函數思想的意義

1.1 培養學生的數學邏輯思維

學習數學最重要的就是要培養學生的數學思維，也就是培養學生運用數學思想解題的能力，常見的數學思想有數形結合、函數等，學生如果能夠運用這些數學思想進行解題，便能夠在一定程度上提高自身的數學解題能力，促進自身的全面發展.如果教師在教學的過程中能夠滲透函數思想，那么學生不僅能夠更好的理解函數的意義，還能夠綜合不同的數學知識點，讓學生以一種系統的方式學習復雜的數學內容.也就是說，學生將函數作為線索串聯了不同的數學知識，這有助于學生掌握復雜的數學知識，幫助學生學好數學，同時也能夠鍛煉學生運用函數思維解決數學題目的能力，有助于學生更好的學習數學知識.

1.2 提高學生的數學解題能力

學習數學最重要的就是要培養學生的解題能力，也是學生應用數學知識的能力.如果教師在教學的過程中能夠滲透函數思想，那便意味著學生能夠逐步理解函數的基本內涵，并且能夠將其應用在解決數學題的過程之中，函數是一種數學思想，運用這種思維進行解題能夠提高學生的解題能力，這對學生而言是一種高效學習數學知識的方法.所以，高中數學教師在教學的過程中要善于運用函數思想進行解題，并以此為范例讓學生知曉解題的過程和步驟，從而讓學生具備運用函數思想進行解題的意識，當學生獲得這種解題意識之后，他們會在做題的過程中運用函數思想，這有助于學生多個角度尋找解題的方向，有助于培養學生的解題能力.

2 在高中數學學習中應用函數思想的措施

2.1 函數思想在數列中的應用

在高中階段學生們會接觸到數列，關于數列的題型大致分為數列的通項公式、數列的前n項和這兩個.在每年的高考試卷中第17題不是數列題型就是解三角形，大多數情況下都是數列題型.在試卷的前面部分的選擇和填空題中也會出現數列的題型.可見，數列是高中數學中的重要內容，相對其他題型而言，數列題也容易拿分，但是需要注意的是，不少數列題的難度較大，較為抽象，教師如果在數列教學的過程中滲透函數思想，有助于幫助學生更好地理解知識點，學習數列.

數列教學中最簡單的就是等差數列和等比數列，整兩個數列的通項公式很容易表示出來，并且也有相對的求和公式.其實我們可以把等差數列看做不連續的一次函數，等比數列則是不連續的指數函數，兩種數列對應的前n項和公式也是如此.在學習數列的過程中，老師都會把數列給學生們寫在黑板上，但是在以后的解題過程中，更多人會把數列當做一個函數來進行解題.等差數列{an}的前n項和為Sn，Sn>0，Sn+1<0，問當n為何值時Sn最大？這是一個非常常見的數列題型，當然，在實際的案例中也會有真正的數據.首先我們要對解題中需要的數據進行假設，之后再寫出Sn和Sn+1的表達式，判斷公差d的正負，根據題意解出答案.在這個過程中，就相當于解函數題型.其實完全可以把這個數列的前n項和Sn畫成圖像，圖像的兩個零點分別是原點和點A，n取值范圍在為（12，13）.

2.2 函數思想在三角函數中的運用

三角函數是高中數學重要的知識點之一.在必修四第一單元和一五第一單元都是對函數的講解，前者關于對三角函數的圖像以及規律，三角函數也是函數的一種，但是也有自己的特點.如果將函數思想運用到解決三角函數題型之中，學生對該題型的理解會更加深刻，在解題的過程中也會更加游刃有余.

一般在填空題最后一小題，選擇題中都會出現三角函數.在選擇題中主要考察三角函數的二倍角公式的運用以及函數圖像的平移問題;但是在填空題中，對于三角函數的考察難度較高，令很多學生望而生畏.函數的圖像平移規律都是一樣的，只不過在三角函數中增加了圖像的拉伸與壓縮，這對于學生們來說是一個新的知識點.學生們要熟練地掌握二倍角公式，把題目中所有的角度都換成一個角度，之后再用換元進行解決問題.這就要求學生們在掌握二倍角公式的基礎上，還要了解正弦角、余弦角以及正切角之間的關系.在解三角形問題中，學生們要熟練的掌握邊角互換公式.這部分題型比較抽象，學生們僅靠思考可能沒有沒有正確的思路，在必要時候學生們可以通過畫圖加深對題型的理解.在運用正弦定理和余弦定理的時候，通常需要確定三角形邊長或者角度范圍，學生們可以運用二次函數圖像確定范圍.在換元過程中，學生們要注意三角函數的取值范圍，在很多情況下學生們往往會忘記自己所設參數的取值范圍，而造成解題錯誤的情況.

2.3 函數思想在解析幾何中的運用

函數在幾何中的應用是數形結合的完美闡釋，在中學階段學到的所有的圖形，都可以在二維坐標系中用函數的形式表達出來.在必修二、選修1-1第二章、必修五的線性規劃中學生們都需要用到函數方程解決問題.所以，教師在講解幾何知識的時候，要善于將其與函數思想結合起來，并且要注重用深入淺出的方式進行數學教學，幫助學生更好得學習幾何知識，培養學生的數學能力.

在幾何圖形中，最常見的就是用函數解決焦點、切線問題，其實是將問題進行轉化的過程.在高考選擇的后兩題中，會有一道題是幾何題型的焦點問題或者最值問題.第18題多數學生也會選擇建立三維空間坐標系解決問題.第20題被大部分學生稱為試卷上最難的題.這三道題都是將幾何問題轉化為函數問題進行解決，首先幾何問題是抽象的學生們在考場上無法畫出標準的圖形以及焦點，所以學生們只能借助函數解出所求點的坐標.直線與其他圖形相交求焦點，將直線的方程代入其他圖形的方程，通常函數的交點就是所求方程的零點，韋達定理的熟練掌握是解題的關鍵所在.同樣這種問題看似復雜，其實如果學生們有思路，很容易得出答案，但是計算量會比較大.

2.4 函數思想在應用題中的運用

很多學生在思想中高中學習的數學知識和應用沒有關系，在日常的練習中學生們可能會遇到關于統計類問題，這部分題型多以應用題的形式展現，但是在高考中這僅僅作為一個很小的知識點，在填空選擇中出現.所以，教師要能夠意識到函數知識與應用題之間的密切聯系，并在教學的過程中借助例子讓學生親自認識到二者之間的聯系，并幫助學生學會運用函數思想解決應用題，這不僅僅是為了解題，另一方面，這種方式也能夠幫助學生進一步理解函數知識，將其更好地內化于心.

線性回歸方程就是將我們現實生活中的問題，通過統計運用合適的函數表示出來.在選做題的學習中，學生們會了解到，運用參數方程極坐標方程表示不同的圖形，同樣這些方程也是函數在幾何中的應用的一種表現.在學習導數和統計案例的過程中，我們會接觸到一些生活中的優化問題，多數情況下是將生活中的問題進行統計制作表格，之后我們運用二次函數找到其中的最大值或者最小值，其中也可以運用導數解決部分問題.導數的定義是函數在各點處切線的斜率，這就會讓很多學生都不明白.老師可以將物理的知識和數學知識相結合，物理中最簡單的路程、速度、加速度，三者之間的關系就是原函數和導數之間的關系.在路程時間圖像中斜率表示速度，而我們用路程除以時間也是速度，加速度也是如此，這樣學生們可以清楚的了解到導數的含義.在教學過程中學生們可能會遇到一些應用問題，但是將應用問題轉化為函數的思想，需要學生們不斷思考.其實數學主要是對數字的學習，如果學生們能有這樣的思想，那么就會把所有的問題都轉化為函數的形式解決，并且在中學階段，幾乎所有的問題都可以轉化為函數，在高考中90%的題型都可以運用函數解決，這就需要學生們用好函數思想，在遇到題之后能將題中的信息轉化為函數的形式之后再通過函數的知識進行解決.總之，教師要借助數學教學讓學生獲得這樣一種意識，即函數思想可以與應用題相聯系，這對開拓學生的解題思維具有重要的作用.

2.5 函數思想在不等式題目中的應用

構造函數是將不等式知識與函數思想結合的體現方式.比如：求證ab+bc+ca+1≥0.如果只從不等式的角度出發進行解題，那么該題的難度較大，很多學生無從下手.但是如果換個角度思想問題，那么該題的難度會降低很多.這種轉換角度具體而言就是轉換解題思路，借助構造函數的方式將不等式問題轉化成函數問題.在該題目中，教師引導學生將AB+BC+CA+1≥0轉化成函數，構造F（A）=AB+BC+CA+1，在這種情況下，該題便發生了變化也就是說該題從不等式問題轉化成了一個函數問題，這是一個關于A 的函數，A的取值范圍是已知的，只要證明F（1）>F（-1），便能夠證明F（A）≥0.經過這樣的轉化，題目不僅變得容易理解，而且解題過程也變得簡單.從學生的角度考慮問題，他們是樂于接受這種函數轉化的.也就是說，教師要善于將函數知識與不等式知識結合起來，借助構造函數的方式解決復雜抽象的不等式問題.教師要在教學的過程中為學生提供此類例題，從而加強學生的練習，讓學生掌握轉化的方法，提高學生的數學解題能力.總之，解決該題的關鍵就是構造函數，這也就要求學生要具備一定的函數意識，在遇到具體的題目的時候要有一定的敏銳性，能夠靈活進行轉化，簡化做題步驟，降低解題難度.

在中學階段函數思想是一種解題有效的思想之一.多數的題目都可以通過轉化成函數問題，通過函數解題不僅可以拓展學生們的思維，同時也非常的方便，它打破了傳統的學生思考問題的方法，將數字和圖形結合起來，可以清晰明了的讓學生們理解題目.函數思想的運用減少了學生走彎路的情況，將復雜的問題簡單化，幫助學生們找到題目的突破口，學生們提高成績有著非常重要的影響.

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