論數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的優(yōu)勢與應(yīng)用

陶政國

摘要：在新的教育教學(xué)改革目標(biāo)下，高中的教育教學(xué)主要面向的是高考，要讓學(xué)生在牢固掌握基本的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)之外，還需要掌握對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，要能夠?qū)?shù)學(xué)思想應(yīng)用到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，這樣能夠提高學(xué)生的解題能力.數(shù)形結(jié)合思想作為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到的思想，有著很大的應(yīng)用優(yōu)勢.本文將從高中數(shù)學(xué)解題中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用優(yōu)勢進(jìn)行分析，提出有效的應(yīng)用措施.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合思想;高中數(shù)學(xué);應(yīng)用措施

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）16-0078-03

在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，數(shù)與形是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，在解數(shù)學(xué)題過程中，要將數(shù)與形結(jié)合應(yīng)用，這也就產(chǎn)生了數(shù)形結(jié)合思想.數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一種重要思維模式，通過數(shù)形結(jié)合思想將數(shù)學(xué)問題進(jìn)一步簡單化，可以最終解決問題.在教育教學(xué)進(jìn)行有效改革之后，學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，對(duì)解數(shù)學(xué)題中應(yīng)用到的各種思維方法進(jìn)行分析和掌握，能夠更好地應(yīng)用這些思維模式解決數(shù)學(xué)問題，可以有效解決數(shù)學(xué)中的一些抽象知識(shí)，簡化數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí).1 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用優(yōu)勢

數(shù)形結(jié)合包括數(shù)學(xué)語言、集合、邏輯語言和函數(shù)等，在解題中可以充分應(yīng)用圖形對(duì)抽象的數(shù)學(xué)問題簡單化，該種方法在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中應(yīng)用比較普遍，可以使得抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)具體化.

一是可以提高解題效率.高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)難度進(jìn)一步加深，而且有著很強(qiáng)的抽象性和邏輯性，在進(jìn)行數(shù)學(xué)題目的講解過程中，如果有效應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)方法，可以將抽象的數(shù)學(xué)題目通過數(shù)形結(jié)合表示出來，可以使得題目的解答更加客觀，也能夠?qū)⑿枰v解的知識(shí)點(diǎn)及時(shí)傳達(dá)給學(xué)生.

二是促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展.數(shù)學(xué)問題的解答主要是通過直觀的圖形對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解剖，學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，會(huì)結(jié)合圖形解決數(shù)學(xué)問題，在學(xué)習(xí)方法方面加強(qiáng)優(yōu)化，培養(yǎng)學(xué)生有效的邏輯思維能力.

在對(duì)數(shù)形結(jié)合方法進(jìn)行有效應(yīng)用時(shí)，還需要遵循一定的原則.等價(jià)原則和雙向原則是最基本的兩種原則，等價(jià)原則指的是解題中要有代替性的思維，建立的圖形要與題目對(duì)應(yīng).雙向原則注重的是將抽象的題目進(jìn)行轉(zhuǎn)變，利用數(shù)形將抽象的題目具體化，要將數(shù)的基本思想和形的直觀性結(jié)合起來，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡單化.

2 數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

2.1 在高中函數(shù)中的應(yīng)用

函數(shù)的學(xué)習(xí)是高中數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)和重點(diǎn)，函數(shù)題型很容易出錯(cuò)，如果在解函數(shù)題時(shí)采用常規(guī)的解題思路和方法，整體的解題效率會(huì)降低，而且速度也較慢.因此，解決函數(shù)題目時(shí)，就需要應(yīng)用到數(shù)形結(jié)合思想，要將題目中的問題與圖形有效結(jié)合起來，可以通過圖形將題目中的問題具體化，也能夠抓住題目中的解題要點(diǎn).函數(shù)中的解題思路是主要抓住函數(shù)的運(yùn)動(dòng)軌跡和變化規(guī)律分析函數(shù)中的數(shù)量關(guān)系，能夠快速解決函數(shù)問題.

例1直線y=-2x+2與x軸和y軸相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C則在y軸的負(fù)半軸，而且OC=OB，求AC的解析式.

分析先根據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出A（1，0），B（0，2），再利用C在y軸的負(fù)半軸上，且OC=OB得到C（0，-2），然后利用待定系數(shù)法求直線AC的解析式.

解析當(dāng)y=0時(shí)，-2x+2=0，解得x=1，則A（1，0）.當(dāng)x=0時(shí)，y=2，則B（0，2）.

因?yàn)辄c(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上，且OC=OB，所以C（0，-2）.

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，

把A（1，0），C（0，-2）代入，

得出直線AC的解析式為y=x-2.

在該函數(shù)的解題中，需要應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，同時(shí)要對(duì)題目的條件充分理解，這樣學(xué)生才可以找出解題的突破口，將數(shù)形結(jié)合的規(guī)律應(yīng)用到其中，快速解出題目.

2.2 在集合問題中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，集合的學(xué)習(xí)也是比較重要的一個(gè)章節(jié)，考試內(nèi)容中也會(huì)出現(xiàn)相關(guān)的集合題目，多是針對(duì)集合的交、并問題出題目，解該類問題時(shí)也是需要注重應(yīng)用數(shù)形結(jié)合方法，可以將題目匯總的數(shù)學(xué)問題直接轉(zhuǎn)化為圖形的方式，使得對(duì)題目的理解更加簡單.

例2A={x|-1<x≤2}，B={x|-1≤x<a，a∈R}，若AB，求a的取值范圍.

解析A={x|-1

在解答該類數(shù)學(xué)問題時(shí)，需要應(yīng)用到數(shù)軸進(jìn)行題目的簡化，對(duì)題目內(nèi)容進(jìn)行理解，將題目中的內(nèi)容一一列舉出來，這樣就有了清晰明確的條件，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)題目的簡化，可以高效解決數(shù)學(xué)問題，集合問題在高中數(shù)學(xué)中也是一個(gè)重要的內(nèi)容，需要重點(diǎn)學(xué)習(xí)，有效掌握，應(yīng)用范圍比較廣泛.

2.3 在解析幾何中的應(yīng)用

高中解析幾何的學(xué)習(xí)中，主要是學(xué)習(xí)點(diǎn)、線、面組成的數(shù)學(xué)問題，解析幾何的學(xué)習(xí)對(duì)很多學(xué)生來講都有一定的難度，因?yàn)榻馕鰩缀沃邪臻g幾何的內(nèi)容，有三視圖和直觀圖，在解析幾何的學(xué)習(xí)中，也會(huì)有空間幾何的面積和體積計(jì)算，解析幾何的難度也加大了.在空間幾何的學(xué)習(xí)中，首先需要具備一定的空間思維能力，這樣才可以借助圖形解答幾何問題.在解空間幾何題目時(shí)，可以將空間幾何理解成多個(gè)平面圖形重疊而成，要將幾何圖形準(zhǔn)確畫出來，才可以充分了解空間圖形的特點(diǎn)，從中找出有利于解題的條件.數(shù)形結(jié)合的解題方法可以將條件之間的關(guān)系呈現(xiàn)出來，使得解題思路更加明確，也能夠快速解出題目.

例3當(dāng)三個(gè)平面兩兩垂直，它們的三條交線交于點(diǎn)O，空間一點(diǎn)P到三個(gè)平面的距離分別為3，4，5，則OP長為多少.

解析假設(shè)構(gòu)造的長方體棱長分別是

a，b，c，點(diǎn)P到三個(gè)平面的距離即為長方體的共頂點(diǎn)的三條棱的長，則

a2+b2+c2=32+42+52=50.

因?yàn)镺P是長方體的對(duì)角線，

所以O(shè)P=52.

2.4 在排列組合中的應(yīng)用

在解排列組合數(shù)學(xué)題目時(shí)，應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”思想可以使得題目解答更加容易，需要從題目中給出的條件畫出對(duì)應(yīng)的圖形，題目的解答會(huì)比較簡單.

例4A={-1，0，1}，B={2，3，4，5，6}，映射f：A→B，使對(duì)任意屬于A的x，都有x+f（x）+xf（x）是奇數(shù)，則這樣的映射有（）個(gè).

解析由題意分析知，要使x+f（x）+xf（x）是奇數(shù)，則x與f（x）要么同是奇數(shù)，要么一奇一偶，不能同時(shí)為偶數(shù).

當(dāng)x為奇數(shù)時(shí)，f（x）奇偶均可，所以為52.

當(dāng)x為偶數(shù)時(shí)，f（x）必為奇數(shù)，所以為22.

根據(jù)映射定義，A中三個(gè)元素都要取到，所以這是分步，應(yīng)用乘法原理，可得52×2=50.

2.5 在位置中的應(yīng)用

通常兩個(gè)點(diǎn)就可以畫出一條線，三個(gè)點(diǎn)就可以畫出一個(gè)面.點(diǎn)、線、面之間存在某種關(guān)系.而且點(diǎn)與直線的關(guān)系，也有點(diǎn)在線上、點(diǎn)在線外兩種情況，但是直線和平面之間存在很多種關(guān)系，如線線相交和線面相交的關(guān)系.又如，當(dāng)一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)都在平面內(nèi)，線與平面之間存在什么關(guān)系.這就需要根據(jù)題目中的條件畫出圖形，再結(jié)合學(xué)習(xí)到的有關(guān)直線和平面的相關(guān)理論，就可以快速進(jìn)行回答.這也是應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，再加上一些公理，才能夠快速理解題目，得出重要的結(jié)論.

例5若直線y=x-2與圓x2+y2=r2相切，

（1）求r;

（2）與兩坐標(biāo)軸都相切且過（1，2）的圓的方程是什么？

解析已知圓心在原點(diǎn)（0，0）上，所以該題就是求原點(diǎn)到直線的距離，套用公式

r=|-2|12+（-1）2=2.

根據(jù)題意可知，圓心到x，y軸距離相等，也就是圓心坐標(biāo)的絕對(duì)值相等.

又因?yàn)榻?jīng)過的點(diǎn)（1，2）在第一象限，所以圓心也在第一象限，設(shè)圓心坐標(biāo)為（a，a），圓的方程為

（x-a）2+（y-a）2=a2，

將（1，2）代入可得

（1-a）2+（2-a）2=a2，

解得a=1或a=5.

所以圓的方程為（x-1）2+（y-1）2=1或（x-5）2+（y-5）2=25.

綜上所述，解答高中數(shù)學(xué)題時(shí)，要靈活應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”的思想，因?yàn)樵摲N思想在數(shù)學(xué)問題中應(yīng)用十分重要，可以使得數(shù)學(xué)題目更加簡單化，將題目中的條件都可以通過圖形表示出來，就可以直接從圖形中得出答案，該種方法的應(yīng)用可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓學(xué)生獲得更多的數(shù)學(xué)解題方法，促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展.

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[責(zé)任編輯：李璟]