展開過程：彰顯運算教學的價值

【摘要】運算能力是個體數學素養的組成部分。基于發展數學運算素養的要求，教師在教學中不應僅僅滿足于學生能夠“正確、合理簡潔”地進行運算，還應充分展開教學過程，彰顯運算教學的“過程價值”。教學實施過程中需要關注估算與精算的融合，已知向未知的遷移，直觀向抽象的過渡，具體向一般的躍升以及抽象回歸具體的演繹。

【關鍵詞】教學過程；運算能力；素養；直觀；抽象

【中圖分類號】G623.5【文獻標志碼】A【文章編號】1005-6009（2022）33-0055-03

【作者簡介】侯紅梅，南京市六合區馬鞍學校（南京，211500）教師，一級教師。

運算能力是個體重要的數學能力之一，運算能力作為小學數學課程內容的核心，不僅要求“正確運算”，也要突出“合理簡潔”地運算。在發展學生核心素養的背景下，需要進一步認識和優化運算教學過程，彰顯教學的價值。

估算能力是個體在具體情境中，能夠根據解決問題的需要，借助比較、判斷、推理等認知過程，獲得概略化結果的能力。教師在教學中應該意識到估算能力與精算能力是運算能力的兩種不同形式，重視兩種形式的協同配合，激活兒童不同的腦部區域，促進學生的全面發展。

蘇教版三年級下冊“兩位數乘兩位數”的筆算第一課時是乘法的精算教學，主要引導學生能夠學會并運用兩位數乘兩位數（不進位）的運算方法。教材創設的情境是：幼兒園購進 12箱迷你南瓜，每箱24個。一共有多少個？這是一個精算的問題，通常學生不太會進行估算。因此，在教學時教師可以先提出估算的要求，引導學生估算一下大約有多少個。這樣做一方面是增強學生估算的意識，另一方面也可以使估算為檢驗精算的結果服務。有的學生聯系近似數的知識，能容易地估算出結果大約是200個；也有的學生能聯系口算的方法，想到10×24= 240（個），12大于10，所以比240個多。有了估算的過程，當學生嘗試用豎式計算出結果之后，可以反過來和估算的結果進行比較，體會估算可以得到概略化的計算結果。當然，在解決實際問題的練習中也應該逐步引導學生有意識地先估算，再精算。

數學知識是一個縱橫聯系的知識體系。在學習兩位數乘兩位數的筆算之前，學生已經學習過兩、三位數乘一位數的筆算和兩位數乘十以及整十數相乘的口算。教學時應該重視引導學生自主探索，讓學生從已知逐步走向未知。

在學生探索24×12的計算方法時，教師要鼓勵學生觀察如下的情境圖，思考可以怎樣算出結果，并與同學交流。

學生借助直觀可能想到：6個2箱是12箱，先算2箱有24×2=48（個），再算6個2箱有48×6= 288（個）；也可能想到12箱可以分成10箱和2箱，先算10箱有24×10=240（個），再算2箱有24×2=48（個），最后算出12箱有240+48=288（個）。當然，學生還可能把24個作類似的拆分。教學時不能僅僅滿足于學生運用已有的知識經驗探索出運算結果，還要重視引導學生對這些方法進行分析、比較，從而提取出對新的運算方法有價值的經驗。學生通過比較能夠體會到，這些運算方法都是將新知轉化成已知：可以把一個數拆成兩個一位數相乘，再和另一個數連乘；也可以把一個數根據其組成拆成幾個十和幾個一，再分別和另一個數相乘。上述兩種不同的拆分方法，在獲得24×12的結果時無所謂優劣，但是分析、比較的過程孕伏了乘法的結合律和乘法對加法的分配律。以此為基礎，教師可以出示新的問題：如果是13箱迷你南瓜，一共有多少個呢？學生自然會延續先前的拆分方法，通過交流發現沒有學生把其中的13拆成兩個一位數相乘，只能拆成10加3。由此引導學生體會到：兩個兩位數相乘并不總是可以拆成一個兩位數連續乘兩個一位數，但總可以拆成幾十加幾，再分別去乘。在此基礎上，啟發學生思考，能不能在豎式中進行計算呢？這就自然地引導學生從已知走向未知，體會數學規則的合理性。

學生學習運算的過程也是感悟抽象思想的過程。這里的抽象表現在：從運算的對象來看，先是對具體數量的運算，逐步過渡到數的運算；從運算方法的學習來看，先是直觀的表征算法，逐步過渡到形式化的算法。教學時應注意引導學生經歷抽象的過程，理解數學知識和方法的本質。

在學生嘗試用豎式計算24×12之后，教師可以結合學生嘗試的計算過程，引導學生理解關于具體數量的運算過程：第一步2乘24算出的是什么？第二步算的是幾乘24？算出的是什么？最后一步算出的是什么？形成如下板書：

為了突出第二步算出的是10箱的個數，在這個階段的豎式中仍然寫出實際運算的結果240。

為了引導學生經歷由具體數量的運算抽象到數的運算的過程，教學時可以穿插如下這個問題：24×12除了可以表示12箱迷你南瓜的總數量，還可以表示其他的問題嗎？能不能舉些例子？學生可能舉出類似的實例：團體操表演時有12組，每組有24人，一共有多少人？一箱礦泉水有24瓶，12箱一共有多少瓶？等等。這樣，學生就可能感悟24×12能夠表示很多具體的問題，具有一般性。

在此基礎上，引導學生在一般的數的意義下討論形式化的算法。教師可以提出問題：如果用24個點表示24，24×12怎樣表示？引導學生構造點陣圖，并思考在豎式計算時每一步算的是什么，將豎式計算的過程與直觀的點陣圖聯系起來，形成如下板書：

此時，再引導學生思考豎式中哪里可以簡化，得出簡便的豎式寫法。

在學生初步學習兩位數乘兩位數的計算方法之后，可以讓學生先完成“想想做做”第1題，以熟悉剛剛學會的兩位數乘兩位數豎式計算的操作程序。這時需要提醒學生思考每一步算出的是什么，讓學生將運算的幾個步驟連貫起來，獨立地進行計算，從而逐步內化算法。

教學時應注意兩個問題：一是引導學生比較例題和后面的3道算式，說說今天學習的是怎樣的計算，順勢解釋課題；二是引導學生比較豎式計算的過程，說說兩位數乘兩位數應該怎樣計算。第一個問題相對比較容易，但是以這樣的方式揭示課題，更便于學生在頭腦中留下深刻的印象，也體現了課題本身表達的學習內容的一般性。第二個問題對于學生而言往往是學習的難點，很多學生對具體算式的計算方法是清楚的，但是無法從更一般的高度對運算方法進行總結概括。教師可以提示學生用“先算……再算……最后算……”的方式表述運算方法，逐步提高語言概括和表達能力。缺失概括的過程，算法永遠都是具體化的，無法上升到一般。當然，算法的形成過程隨著運算的對象逐步變化，也存在逐步完善甚至更新的過程。

運算教學既要讓學生掌握正確運算的方法，還要通過現實情境的應用感悟運算方法學習的意義，并在解決問題的過程中學會合理靈活地進行運算。

這一階段的應用也可以分為兩個層次：一是在應用中進一步內化算理。教材“想想做做”第2題就是這樣的實際問題：

這里最容易出現錯誤的是運算過程的第二步，它表示買20個熱水瓶的總價。學生聯系具體情境更容易理解這一步的運算意義。

二是在解決問題的過程中內化算法。教材“想想做做”最后一題就是這樣的問題：

學生可以先通過估算解決問題，再利用精算得到問題的答案，這樣就使得學生在解決問題的過程中體會到學習的價值。以此為基礎，教師改變情境中的某一個數，如此，新的問題在應用中自然生成了，成為伴隨學生自主探索的新的動力源泉。

學生在運算過程中可能會隨時出現各種錯誤，這是正常的。教師要重視讓學生養成驗算的習慣，有錯誤及時改正，培養嚴謹的學習態度，這也是運算教學過程價值的重要組成部分。