從“兩位數(shù)相乘”回到“乘法的意義”

【摘要】豎式計算“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”是小學階段乘法計算教學的重要內(nèi)容，學生“知算法卻不明算理”則是教師教學過程中面對的主要困境，引導(dǎo)學生多次回溯到“乘法的意義”具有一定的必要性和重要性。從課堂評價的角度分析可知，“起點型核心知識”的教學具有重要價值。教師應(yīng)注意形成重視起點型核心知識的意識，落實“慎重初教”和“多次回歸”的策略。

【關(guān)鍵詞】小學數(shù)學；起點型核心知識；課堂評價；乘法的意義；兩位數(shù)乘兩位數(shù)

【中圖分類號】G623.5【文獻標志碼】A【文章編號】1005-6009（2022）33-0011-04

【作者簡介】趙曉燕，南京師范大學（南京，210046）教師教育學院講師，教育學博士，主要從事課堂評價、數(shù)學課程與教學論、教師教育研究。

*本文系全國教育科學“十三五”規(guī)劃2020年度教育部重點課題“小學數(shù)學核心知識建構(gòu)的教學研究”（DHA200370）階段性研究成果。

蘇教版三下第一單元是“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”，該內(nèi)容是學生繼乘法意義、表內(nèi)乘法、多位數(shù)乘一位數(shù)學習后再一次認識乘法，也是學生進一步解決任意兩數(shù)相乘問題，通往代數(shù)領(lǐng)域多項式相乘的關(guān)鍵樞紐。在實際教學中，引導(dǎo)學生掌握標準化算法及其算理是主要教學目標之一。教師通常都非常重視學生對算理的理解，但仍有不少學生會列豎式計算、能得到正確結(jié)果，卻說不清楚為何這樣做。為了幫助教師從不同角度透視學生對算理的掌握情況，形成改進教學的建議，筆者曾設(shè)計如下兩道課堂評價題目。

該題根據(jù)教材第5頁例4的進位乘法“24×53”改編。請學生填空，將“24×53”分解為順序不同的“四個乘法算式之和”。第一組四個乘法算式“3×4和3×20和×4和×20”按照“53為第二個乘數(shù)”的豎式計算順序排列；第二組“4×和4×和×3和20×50”是調(diào)換乘數(shù)位置進行豎式驗算的順序；第三組“20×50和20×和4×50和×3”則“從左向右”考慮，先算兩個乘數(shù)“十位上的數(shù)”的乘積。在實際教學中，教師先講解例4，進而規(guī)范算法。完成“想想做做”的練習后，才使用“分解乘法問題”檢測學生。

從“評”的角度出發(fā)，該題測試時學生已經(jīng)積累了一定的豎式計算、驗算兩位數(shù)相乘的經(jīng)驗，對“24×53”解決過程的記憶尤為清晰深刻。所以題目明確“無需計算結(jié)果”，進而將考察重點聚焦于學生對這個乘法問題的理解。面對適當陌生的測試題，學生僅靠機械記憶就能正確作答的可能性降低，題目因而更有利于揭示學生理解層面的信息。此外，測試安排在單元中段，如若學生對算理的理解存在不足，也便于教師針對性地調(diào)整教學。

從“學”的角度出發(fā)，“分解乘法問題”能夠促進學生思考，幫助他們從另一個層面理解并回答“為什么計算‘53×24’能夠驗證‘24×53’？”“為什么兩位數(shù)的乘積可能是四位數(shù)？”“為什么兩位數(shù)‘乘積’的個位數(shù)就等于兩乘數(shù)的個位數(shù)相乘之積的個位數(shù)？”“為什么四個乘法算式可以交換順序”等一系列問題。此外，它還將為學生后續(xù)學習代數(shù)運算“（a+b）×（c+d）”奠定基礎(chǔ)。

這道題請學生解決“59×62”這個問題，但明確要求“不能使用豎式計算的方法”。兩個乘數(shù)分別接近整十數(shù)，為學生借助較為簡單的兩位數(shù)乘整十數(shù)“60×62”或“59×60”、聯(lián)系乘法意義靈活計算提供機會。在實際教學中，該測試題在單元總復(fù)習階段使用。

從“評”的角度出發(fā)，該題測試時學生已在較長時間內(nèi)集中練習豎式計算，多數(shù)學生能較為熟練地列豎式得結(jié)果。但很可能發(fā)生的情況是，學生一看到乘法問題就列豎式，下筆前完全不考慮題目的特點以及算法的選擇。事實上，如果學生在不允許使用豎式計算的情況下束手無策，即使他能熟練無誤地列豎式得結(jié)果，對兩位數(shù)相乘問題及標準化算法的認識也不深刻。

從“學”的角度出發(fā)，在以豎式計算為主的單元“反其道行之”，引導(dǎo)并鼓勵學生跳出以標準化算法解題的主導(dǎo)思維，將視線重新聚焦于“乘法的意義”。這樣做有助于提醒學生挖掘運算信息，提高解題的靈活性，同時能促使學生從更大的范圍回頭審視標準化算法，深刻體會其作為通法通則的普遍意義，以及它將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為一系列簡單子問題的核心思想。

來自九所學校的二十余位教師試用了這些測試題。針對測試題“分解乘法問題”，教師的典型反饋大致可分為三類，舉例如下。

教師A：班上大多數(shù)學生能夠完成，部分學生在第三組出錯。這道題實質(zhì)上就是在考察兩位數(shù)相乘的意義，或者說是計算過程中每個步驟的算理。

教師B：對學生來說，分解“24×53”比計算更難，通過這道題能清楚地看出不同學生理解上的差異。平時教學我只引導(dǎo)他們分解為“24×50”“24×3”兩部分的和，學生沒有見過類似的題目，只有幾個學生能進一步細化分解。我個人很受啟發(fā)，對學生來說也很有思考價值。

教師C：這道題沒幾個人做對。題目把“24×53”分解成四道算式，且順序各異。這與我平時教的順序不同，會干擾正常教學，影響學生記憶，導(dǎo)致混亂。還涉及四年級才學的乘法分配律，現(xiàn)在讓學生回答超范圍了。

針對測試題“不用豎式解決乘法問題”，教師的回答也大致分為三類。

教師D：學生能夠用乘法的意義（指將“59×62”看作“幾個幾加上或減去幾個幾”）、鋪地錦、分解乘法（指將“59×62”分解為四個乘法算式之和）等方法中的至少一種解題，有些綜合能力強的學生能給出兩種解法。數(shù)學學習應(yīng)當是開放靈活的，不是給學生規(guī)定一種方法或一個標準。

教師E：學生遇到此類問題會習慣性地列豎式。看到這個題目，學生根本就不知道從何處下手。個別學生嘗試將問題分解，還有少部分學生認為不用豎式計算就是要估算。這反映出學生的思維定勢以及一些錯誤認識，需要引導(dǎo)學生積極思考。

教師F：本單元就是要讓學生學會列豎式計算，他們能掌握就很好。不需要用高年級的乘法分配律解題。

針對“分解乘法問題”這道測試題，學生表現(xiàn)較好的班級（類似教師A的描述）只有少數(shù)幾個。絕大部分班級的學生在理解題意或分解算式時遇到困難。典型錯誤包括能正確列出豎式完成計算但不會分解，或者分解算式時未能全部體現(xiàn)十位上數(shù)字隱含的位值信息。類似地，當學生“不用豎式解決乘法問題”時，能夠重新回到乘法意義上，或者給出其他“非豎式形態(tài)”解法的學生并不多。很多學生更是直接呈現(xiàn)出與豎式計算算理緊密相關(guān)的誤解或迷思。在此情況下，期待學生能夠自然合理地根據(jù)問題特征選擇算法，就成了更遙遠的目標。除了學生的測試表現(xiàn)以外，不同教師對上述兩題迥異的態(tài)度也值得關(guān)注。這不僅隱含了教師對乘法運算本質(zhì)的理解，也折射出其教學理念和教學過程。例如，乘法交換律和乘法對加法的分配律與乘法運算本質(zhì)上是等價的，它們就是乘法運算的算理，而并不是依附于乘法運算的某種性質(zhì)。相應(yīng)地，運算律的滲透無需也不應(yīng)該等待至四年級再開始。

荷蘭數(shù)學家、數(shù)學教育家弗賴登塔爾在其《數(shù)學結(jié)構(gòu)的教學現(xiàn)象學》一書中提到，“在很多學習過程，尤其是數(shù)學學習中，有一種典型現(xiàn)象：那些深刻洞察的原始出處被阻斷，而算法化和自動化的過程更是讓人們難以回到本源……依我看，在算法化和自動化的學習過程中，甚至是當其成功建立之后，都必須一次又一次地回根溯源。”那么，就“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的學習而言，本源在何處？華羅庚曾說過：“善于退，足夠地退，退到最原始而不失重要性的地方，是學好數(shù)學的一個訣竅。”那么，“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的學習“退”到“兩位數(shù)乘一位數(shù)”就“足夠”了嗎？“最原始而不失重要性的地方”又在哪里？事實上，標準化算法及其算理的教學必須反復(fù)回溯到對運算概念本身的理解。具體地，“兩位數(shù)相乘”的教學必須多次回歸到乘法計算教學序列的起點型核心知識——“乘法的意義”。

作為整個知識結(jié)構(gòu)的生長點，起點型核心知識具有獨特的教育教學價值。重視起點型核心知識的教學可以具體著眼于兩個方面：一是長程設(shè)計、慎重初教，在首次教學起點型核心知識時幫助學生建立起那些能夠不斷遷移到后續(xù)學習中的數(shù)學模型或思想；二是瞻前顧后、多次回歸，在后續(xù)相關(guān)教學中不斷回溯本源，幫助學生深刻理解起點型核心知識，建構(gòu)立足起點的知識體系。以小學階段正整數(shù)乘法的計算教學為例，教學“乘法的初步認識”時，應(yīng)盡早且頻繁呈現(xiàn)更能體現(xiàn)乘法本質(zhì)、更易說明乘法運算律的行列模型（甚至是面積模型），還須加強學生對“幾個幾加（減）幾個幾等于幾個幾”的理解和掌握。在后續(xù)“表內(nèi)乘法”“兩、三位數(shù)乘一位數(shù)”“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的教學過程中，引導(dǎo)學生利用持續(xù)演化的行列模型解釋說明，借助自然數(shù)的位值計數(shù)強化學生對“幾個幾就是幾個幾加（減）幾個幾”的認識，多次頻繁地回歸到對“乘法的意義”的理解。

綜上，本文從兩道三年級“兩位數(shù)相乘”的課堂評價題目談起，詳細介紹其設(shè)計意圖、學生的測試表現(xiàn)和不同教師對測試題的看法，一方面，為教師檢視學生對兩位數(shù)相乘算理的理解提供評價工具；另一方面，為教師反思正整數(shù)乘法教學的長程設(shè)計提供契機；更重要的，是揭示起點型核心知識教育教學的重要意義，希望有更多教師重視“起點”、回到“起點”。

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