例談波利亞“怎樣解題表”在初中數學解題教學中的運用

邰桂琴

【摘要】解題是初中數學的重要部分，其在數學教育中占據著重要地位.波利亞“怎樣解題表”作為在解題中有著較強實用的模型，既呈現給學生相應的解題步驟，又呈現給教師相應的教學思路.本文主要以一道二次函數題為例，對波利亞“怎樣解題表”在數學解題教學中的運用進行探究.

【關鍵詞】初中數學;波利亞;怎樣解題表

1 引言

波利亞對于解題通常有著獨特的理論以及見解，并將其理論與見解以“怎樣解題表”的形式展示給學習者，具體來說，其將數學試題解答的全過程劃分為四個階段：弄清題目、確定方案、實施方案、回顧反思.將其運用于具體解題中，不僅能促使中學生更完整、系統地解題，而且還能使中學生在數學解題時，形成相應的思維習慣，從而使學生自身的解題能力得到切實提高.

2 波利亞“怎樣解題表”在初中數學解題中的運用策略

例1 如圖1，平面直角坐標系當中，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點A（-1，0），B（3，0），C（6，4）三個點.

（1）求二次函數的解析式及其頂點D的坐標;

（2）E是拋物線對稱軸上的點，經過點E作出FG∥Ox，與拋物線相交于F、G兩個點，如果DEFG=157，求E點的坐標.

依據波利亞的“怎樣解題表”開展解題分析：

第（1）題，依據題意中的三個點可的到二次函數的解析式為：y=421x2-821x-47，其頂點的坐標為D（1，-1621）.

第（2）題的解題思路為：

第一步：理解題意，明確問題.其條件是經過拋物線的對稱軸上的點E，作出FG∥Ox，且DEFG=157;問題則是求坐標E.

第二步：確定解題方案.引導學生回憶其先前是否見過相似的問題，并通過設坐標的形式進行求解思考給出的條件DEFG=157如何運用，分別將DE與FG都呈現出來，由于E點位于拋物線的對稱軸上，由于第（1）題中已經求解出坐標D（1，-1621），因此，假設坐標E為（1，t），與平面直角坐標系進行關聯，可知DE=t+1621.除此之外，FG為水平線段，其長度為橫坐標相減，而右邊橫坐標則與左邊相減，此時，考慮F、G和點E（1，t）位于相同水平線，因此，F、G縱坐標是t.由此可知，t=421（x+1）（x-3），經過化簡與整合可知，4x2-8x-12-21t=0，這種參數方程通常能解答出兩個根，即x1、x2，然后，依據FG=x1-x2則能夠求解出長度表達式.通過相關思考后可知，求取x1、x2并非是本題要求的答案，主要是解答過程需求取出其差，以求解出具體長度，通過聯想系數和根之間的關系，可采取設而不求的方式進行解答，即x1+x2=2，x1×x2=-12-21t4，此時，可知x1-x2=16+21t，以此列出方程，就能求解出答案.

第三步：實施解題方案.

解 設E（1，t），可知，DE=t+1621.

設t=421（x+1）（x-3），整理后可知：4x2-8x-12-21t=0.

那么，x1-x2=（x1+x2）2-4x1x2=16+21t，

即FG=x1-x2=16+21t，

則t+1621=15716+21t，解得：t=173，

因此，E點的坐標為E（1，173）.

第四步：回顧反思.

假設點E位于拋物線的對稱軸上，且對稱軸為直線，此時，點E是否會位于點D下面？DE的長度能否通過DE=-1621-t進行表示？通過審題可知，不會出現該狀況，由于題目要求FG∥Ox，且交于F、G，如果點E位于D的下面，就不會出現交點F、G.

例2 某商場銷售的某種商品，其進價降低了10%，利潤率則提高25%，求取原先利潤率為多少？

第一步：理解題意，明確問題.已知條件有進價降低10%，利潤率提高25%，問題是求解出商品原有的利潤率.

第二步：確定解題方案.將題目中包含的知識點進行聯系，寫在草稿紙上進行整理，總結出大概的思路.原先的利潤率=原來的售價-原來的進價原來的進價×100%，題目中并沒有直接說明，可將原先的進價設成x，將原先的售價設成y，求取x與y，就能解決問題.根據已知的條件，對x與y的等量關系實施分析，從“當前的進價比原先的降低了10%”可以得出“當前的進價為x（1-10%）”，再從“當前利潤率比原先利潤率提高25%”可以得出“當前利潤率=原來利潤率×（1+25%）”，因為售價是不變的，即當前利潤率=y-x（1-10%）x（1-10%）=y-xx（1+25%），最后是求取出原有利潤率，其等于y-xx×100%，兩個式子進行變形，可得出yx-1×100%，雖然不可以直接求取x與y具體值，只要求出yx的值或者是x與y的關系，就能實現問題有效解決.

第三步：實施解題方案.

解 設商品原先的進價是x，其售價是y，依據題意可得：進價是x（1-10%），根據等量關系組建方程關系：

y-x（1-10%）x（1-10%）=y-xx（1+25%），化簡得：y0.9x-1=1.25yx-1.25，-536×yx=-14，yx=95，因此，原先利潤率是y-xx×100%=yx-1×100%=80%.

第四步：回顧反思.

思考還有其他方法進行解題嗎？能否找出其他等量關系列方程？

本題能通過“原先售價=現在售價”將原先的利潤率設成x，原先進價是a，進行列方程求解;還能依據商品“原先的進價：原來的進價x（1-10%）”列方程進行求解，這些解題法根本上就是有相同的等量關系，能否看出來？即利潤率=（售價-成本）/成本×100%.另外，需注意的是，對多個未知數的方程題目進行求解時，雖然無法求解出具體數值，但能夠通過求取其關系量，實現問題的解決.

3 結語

綜上所述，波利亞“怎樣解題表”屬于啟發解題思路的一種提問，并非是固有的解題方式，并不是要涉及全部的問題，還需依據實際狀況靈活應用，對“怎樣解題表”開展創造性的應用，通過問題的逐漸轉變，直到其成為學生所熟悉的知識，以便于學生更好的理解問題，實現數學問題的高效解答.

參考文獻：

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