單元整體視角下的概念起始課教學設計

吳潔慧

[摘要]概念課是初中數學教學中的一類重要課型，一個單元起始概念的學習是整個單元至關重要的一個環節.對于概念課，教師應從單元整體視角解析概念的結構，如從定義到表示，從分析到建模，幫助學生理解概念的本質，掌握學習概念的一般策略，從而提高知識遷移能力，提升思維品質，發展核心素養.

[關鍵詞]單元整體;概念起始課;類比;建構;表示;建模

2021年10月，筆者參加了浙江省教育廳組織的“百人千場”送教下鄉活動，前往建德新安江一中講解了“認識不等式”一課.現以該課為例，談一談初中代數基于單元整體視角的概念起始課的課堂設計.

備課過程中的思考

為了更好地開展教學，筆者先梳理了如下幾個要注意的關鍵問題.

1.思考1：什么是單元整體教學？

單元，是依據課程標準或課程綱要，圍繞某個主題或者專題、問題開展一系列活動，選擇不同的學習素材，并進行結構化組織的學習模塊.它具有相對獨立，同時集目標、任務、教學評價于一體的特征.一般來說，以單元主題為線索，聚焦單元目標，遵循學生學習的一般規律，統籌、設計相關的教學內容、作業內容、評價內容等，并保持這些要素之間的和諧統一，開展連續課時、循序漸進的教學，就是單元整體教學.

2.思考2：本單元的核心概念是什么？

不等式具有深刻的數學內涵、豐富的實際背景，它既是代數的研究對象，又是刻畫客觀世界的重要數學模型，是生活中基本的數量關系，還與方程和函數有著非常緊密的聯系.本單元的內容是方程的延伸，核心概念有不等式的概念及其性質，不等式的解集，不等式組的概念和解集.

3.思考3：本單元的學科思維是什么？

不等式主要研究不等關系，從內容上看，包括不等式和一元一次不等式的基本概念，一元一次不等式的表示、性質、解法（程序性知識）和簡單應用.教材從大量的實際背景中抽象出不等式的定義和表示，體現了數學核心素養中的數學抽象，并從研究等式（方程）的方法中類比出研究不等式的基本路徑，最后和方程的應用一樣建立數學模型去解決實際問題，體現了數學核心素養中的數學建模思想.本單元還借用了數軸這一工具，滲透了數形結合思想.

4.思考4：本課的教學目標是什么？

單元起始課是學生體悟單元教學“大概念”的重要載體，它的教學過程設計的依據是教學目標.在單元整體視角下，本課“認識不等式”作為單元的起始課、概念課，既要體現等式（方程）的延續性，又要考慮代數模型邏輯的一致性，還要對后續函數學習起到啟示作用.基于等式（方程）的學習經驗，類比等式（方程）的學習，筆者覺得本節課的教學目標可以定為如下幾方面.

（1）知識與技能：能夠從現實問題中抽象出不等關系，并類比等式理解不等式的概念，包括它的定義和三種表示方法.

（2）數學思考：經歷由具體實例建立不等式模型的過程，進一步發展學生的符號意識，會建立文字語言、符號語言、圖形語言之間的聯系，體會建模和數形結合的數學思想.

（3）問題解決：利用不等式的圖形語言去解決簡單的現實問題.

（4）情感態度：通過小組討論、合作交流，培養學生的合作意識，并讓他們在生生互動中獲得成功體驗.

單元起始概念課教學設計

1.單元教學中“大概念”的把握，需要足夠豐富的教學情境，并用數學的眼光看世界

單元整體教學是在“大概念”的引領下進行的，數與代數的“大概念”是其核心的數與數、數與式、式與式內在的聯系和規律的高度概括.其中不等式概念的生成需要足夠豐富的情境，既要有生活中的，也要有足夠數學味的;既要有代數方面的，也要有幾何領域的.所以教師要盡可能地提供豐富的數學資源，讓學生找出盡可能多的數量關系，從而從“等”的概念、性質遷移到“不等”的相關內容.

（活動1：學生介紹自己的年齡、身高、體重，以及初一時的期末成績.）

問題1：你們能從上面的介紹中找到盡可能多的數量關系，并用盡可能多的方式表示這些數量關系嗎？

追問1：你們打算怎么表達？

追問2：“≠”表示什么？

教學解讀我們的生活中總存在相等關系或不等關系，于是在數學符號里便有了等號和不等號.其中，不等號除了以前學過的“>、<、≥、≤”，還有一個，那就是“≠”.上述活動能激發學生學習興趣的同時導入新課，活躍課堂氣氛.教師通過提問引發學生思考，讓他們充分感受生活中既有等量關系又有不等關系，從而引出課題.

（活動2：從圖片中找不等關系.）

問題2：觀察圖1，你能找到哪些與角度或者線段長度有關的數量關系？

教學解讀新課標指出，數學教學的課程內容要反映社會的需要，要符合學生的認知規律.這幅圖是建德航空小鎮的圖片，既貼近學生生活，又能引出等量關系以及不等關系.上面兩個活動，一個是從代數的角度出發，另一個是從幾何的角度出發，能讓學生感受到不同背景下都存在等與不等的關系.在學生回答問題的時候，教師可以把他們所說的不等式寫在黑板上.特別地，不等式的類型越豐富越好，這能讓學生加深對不等關系的感悟.

問題3：你能給上面的關系分一分類嗎？說一說你的分類標準.

教師進一步引導學生對這些關系進行分類.在分類中，類比等式的概念能得到不等式的概念，類比等式的研究路徑能得到不等式以及其他代數概念的研究路徑.

問題4：下列各式，哪些是不等式，哪些不是不等式？

（1）3<2;

（2）x>2x+1;

（3）x-6;

（4）x=2x-5;

（5）a+b≠c;

（6）2x-y≥7;

（7）2021≤2021.

教學解讀概念的學習需要學生親歷概念的發生過程.在分類、類比的過程中，學生能形成不等式的概念，并根據不等式的定義來判斷式子是否是不等式.對于問題4（7），教師提問2021臆2021是否正確，引發學生思考，從而加深他們對不等號的理解.在這里，有些學生會問“‘≤包括等于的情況，那是不是當它取等號時其實是等式”，對此，教師可以講一下嚴格不等式和非嚴格不等式，適當做拓展.

2.單元教學中概念的表示，要有足夠豐富的語言翻譯，要用數學的語言表達世界

概念的定義和表示，要通過不同的數學語言進行表達，包括文字語言、符號語言、圖形語言，教師教學時要建立這些語言之間的對應關系.學生應掌握這些語言的互相翻譯和轉化，這一點始終貫穿整個單元的學習.

問題5：根據下列數量關系列不等式，并小組討論.你能歸納出列不等式的一般步驟嗎？

（1）a是正數;

（2）y的2倍與6的和比1小;

（3）x²減去10不大于10;

（4）x除以2的商加上2至少為5;

教學解讀概念的學習離不開概念的表示，在將文字語言翻譯為符號語言的過程中，教師要讓學生感受到不等式概念的兩種語言表示方法.那學生討論什么呢？他們討論的不僅是步驟，還有問題.比如第（5）小題寫“x≠3”可以，那寫“x-3≠0”行不行？寫“x>3或者x<3”行不行？這些問題的設計對于單元中后面課時的不等式的求解，都有鋪墊作用.

問題6：你可以在數軸上表示不等式嗎？歸納其基本步驟.

（1）已知x₁=1，x₂=-2，請在數軸上標出x₁，x₂的位置.

（2）x<1表示怎樣的數的全體？如何在數軸上表示？

（3）x≥-2如何在數軸上表示？

（4）-2

（5）x≥b如何在數軸上表示？b≤x

教學解讀不等式概念的表示有三種形式：文字語言、符號語言、圖形語言.通過列舉x<1中的各個數，能讓學生討論并歸納出x<1的數的特征，并提問“是否包括1？”.若學生認為不包括1，那應怎樣表示？接著思考x≥-2是否包括-2，進而得出結論：小于a是數軸上a的左邊，大于a則是數軸上a的右邊;當包括a時用實心點表示，不包括a時用空心點表示.

第（5）小題的設計，由數變成了字母，在這一從特殊到一般的過程中，教師要注意——表示x≥b時，數軸上沒有標原點.最后，教師可帶領學生回顧不等式的三種表示方法：文字語言→符號語言→圖形語言.并解釋：文字語言比較通俗易懂，圖形語言比較直觀，符號語言則便于記錄和運算，各有優勢.在數學中，要經常進行三種語言之間的轉化.

另外，b≤x

3.單元教學中概念的理解落地，需要直接的應用體驗，要用數學的思維思考世界

從生活實際入手，最后落回實際問題，要求學生會用數學的思維方式分析問題、解決問題.在整個單元中，求解不等式的方法有很多，不等式組的解集需要借助數軸來幫助理解，因此，考慮到單元教學的整體性和延續性，我們不妨設置下面的簡單應用.

問題7：你能用我們今天學過的方法解釋下面的問題嗎？（即課本例題2中水電站的水位問題，請用不等式和數軸給出解釋.）

教學解讀教材中本課時的文本引出部分就是水庫水位問題，本例反映了在數軸上表示不等式的實際應用.在前面環節的鋪墊下，特別是對問題6中數軸表示不等式的深入思考，能讓本例的完成達到預想效果.

4.單元教學中概念的內涵，要有足夠有趣的數學文化素材，要用數學文化吸引學生

數學文化有悠久的歷史，符號的演變往往經歷了一些有趣的過程，介紹相關的數學文化，往往能更好地吸引學生的注意，激起他們的興趣，對部分學生會起到激勵的作用.

在教學設計的最后，教師可插入視頻介紹不等式符號的產生歷史，或一些有名的不等式，如柯西不等式、琴生不等式，還可以介紹每四年舉辦一次的國際不等式學術會議，以此鼓勵學生.

教后反思

1.單元整體視角下的起始課，要體現“整體把握，組織建聯”的作用

我們應該遵循學生的認知規律，從已有的認知結構出發，一方面帶領學生回顧已有知識以及已經積累的學習經驗，另一方面，給學生提供新的學習資源，讓學生類比相同的學習路徑，建立更完善的知識結構，整體把握知識體系，以便在后面的課時中進行局部研究.在這個架構的過程中，學生要找到概念或者知識之間的聯系，并找到建立這種聯系的方法，還要找到模型之間的聯系，以及利用模型解決問題的共同策略，起始課起到了積極且關鍵的作用.

在相同的問題中，讓學生用不同的方式（語言）表達，建立不同語言之間的聯系，并互相轉換、翻譯，有利于學生從整體上理解數學知識，構建認知結構.其不管是在不等式知識的學習中，還是在其他代數知識的學習中，甚至是幾何知識的學習中，都起著不可估量的作用.

2.單元整體視角下的起始課，要強化學生的主體地位，要重視教學的呈現過程

教師的有效引導，能促進學生的積極思考和思維發展.豐富的情境可以激發學生的聯想，且追問的過程能讓學生具有一定的思維深度，特別是列不等式的步驟和用數軸表示不等式的步驟，其歸納過程能充分發揮學生的主觀能動性.特別地，“問題6”的連續發問將圖形語言的發生過程展現得淋漓盡致，使得學生自然而然地學會用數軸這一工具解決不等式問題，為單元后續不等式的解的概念及表示做了鋪墊.

3.單元整體視角下的起始課，要重視數學思想的滲透，要提升學生的數學核心素養

單元起始課要類比，要歸納.類比的不僅僅是知識、技能，更是蘊含其中的思想、方法和研究路徑.歸納的不僅僅是方法、步驟，更是研究事物的一般規律，解決問題的一般策略.

在教學過程中，教師要讓學生學會使用數學語言，學會將文字信息、符號表達和圖形表征聯系起來，樹立完整的數與式觀念，這對大單元的學習起著積極的影響.在教學過程中，教師只有重視研究過程中數形結合、類比轉化等思想的滲透，才能幫助學生提升數學核心素養.

4.單元整體視角下的起始課，要改變思維層級，需要更加開放的問題和形式

本節課如果在最后的拓展問題中能設置一些更加開放的問題，布置一些更具創造性的任務，比如讓學生自主編題，那么會給學生創造更多的思考空間，對他們形成良好的思維品質更有幫助.