基于LMI優化法的多VSC接入弱網下的鎖相環同步暫態穩定性分析

何 平，張德政，李 慧，宣文博，羅 濤，閆大威

（1.國網天津市電力公司，天津 300010；2.國網天津市電力公司經濟技術研究院，天津 300171）

2021年3月15 日召開的中央財經委員會第九次會議，首次明確提出要構建以新能源為主體的新型電力系統這一目標。電力系統中的新能源比例必將越來越高，新能源運行控制特性對電力系統穩定性的影響也將越來越大[1]。基于鎖相環PLL（phase-locked loop）同步的電壓源換流器VSC（volt?age source converter）具有響應速度快、諧波水平低、控制靈活、成本低等優點，已廣泛應用于新能源并網領域[2]。但由于我國新能源和負荷分布不均衡，對集中式新能源不可避免地要進行遠距離輸送，導致系統的連接程度變弱，使并網點電壓易受擾動，進而惡化PLL的動態特性并引起系統同步暫態失穩，因而分析VSC接入弱網系統的同步暫態穩定性具有十分重要的意義[3]。

目前，PLL同步暫態穩定性分析的相關工作主要關注于兩類問題：一是遭受大擾動后系統是否存在平衡點；二是系統能否由擾動前的運行狀態穩定過渡到擾動后的可行平衡點。對于第一個問題，文獻[4]表明VSC無功電流注入過大是導致擾動后系統沒有平衡點的主要原因，并給出了無功電流的電流極限；為進一步揭示擾動后系統失去平衡點的機理，文獻[5]將PLL的輸入分解為電網同步項和自同步項，并提出自同步項大于電網同步項會導致系統失去平衡點。實際上，擾動后系統存在滿足小擾動穩定的平衡點是系統穩定運行的前提，然而考慮到PLL的非線性動態，即使擾動后系統存在小擾動穩定平衡點，系統仍有可能暫態失穩。因而研究擾動后系統暫態穩定性非常必要。

針對第二個問題，目前較為成熟的分析方法是基于李雅普諾夫直接法構建VSC并網系統的最大估計吸引域LEDA（largest estimated domain of at?traction），然后通過判斷擾動前工作點與擾動后平衡點LEDA的位置關系進而判斷系統的暫態穩定性，即將由擾動前的平衡點過渡到擾動后平衡點這一暫態過程的穩定性判斷轉化為比較Lyapunov能量函數值與臨界值的大小關系。文獻[6]將PLL動態方程變換為搖擺方程的形式，在此基礎上基于等面積定則從機理上揭示了系統暫態失穩的機理，并基于勢能界面法PEBS（potential energy boundary surface）構建系統的LEDA，分析系統控制參數和主電路參數對LEDA的影響。但文獻[6]未考慮PLL的PI控制器的比例環節引入的不定阻尼項，導致無法利用該LEDA定量分析系統性能。為解決這一問題，文獻[7]運用LaSalle不變集定理將文獻[6]構建的LEDA限定于正阻尼區域，如此雖保證了所構建LEDA的有效性，但也大大增強了所構建LEDA的保守性。為進一步降低所構建LEDA的保守性，使基于LEDA的分析結果更接近系統實際的穩定結果，文獻[8]運用平方和SOS（sum-of-square）規劃法構建VSC并網系統的LEDA，該方法本質是基于最優化理論構建系統的多項式Lyapunov函數和LE?DA，因此相比文獻[6-7]所提的方法，其求得的LE?DA保守性將更低。

文獻[4-8]只對單VSC接入弱網系統的暫態穩定性進行了研究與分析。針對更加復雜的弱連接條件下的多VSC并網WG-MVSC（weak-grid con?nected multi-VSC）系統相關的穩定性研究，目前主要集中在小擾動穩定分析，文獻[9]提出了耦合同步項的概念來描述多VSC之間的相互影響，并在工作點處將WG-MVSC系統進行線性化處理，然后基于阻抗分析法分析WG-MVSC系統的小擾動穩定性。但文獻[10]表明，當WG-MVSC系統遭受大的擾動，如故障點電壓大幅迭落時，PLL的非線性特性是導致系統PLL同步暫態失穩的主要原因，即WGMVSC系統遭受大擾動時，小信號穩定分析的結果可能并不適用[11]。因而分析WG-MVSC系統暫態穩定性顯得尤為重要，且目前幾乎沒有涉及針對該問題進行研究的文獻。

綜上所述，本文基于文獻[12]提出的線性矩陣不等式LMI（linear matrix inequality）優化法構建了WG-MVSC系統的LEDA，在此基礎上分析故障前、后系統存在小擾動穩定平衡點但系統仍暫態失穩的原因。主要工作包括3個方面：

（1）建立WG-MVSC系統的等效降階數學模型，并通過電磁暫態仿真軟件PSCAD/EMTDC對該等效降階模型與詳細開關模型進行對比分析，驗證了降階模型的有效性；

（2）運用LMI優化法構建WG-MVSC系統的LEDA，并基于該LEDA分析系統暫態失穩的原因；

（3）最后，基于PSCAD/EMTDC仿真軟件驗證了本文所構建LEDA的有效性和可行性。

1 WG-MVSC系統的結構與數學模型

1.1 WG-MVSC系統結構

本文研究的WG-MVSC系統結構如圖1所示，其中，udc1、udc2分別為VSC1和VSC2左側直流母線的電壓；2臺變流器經過LC濾波器接入右側的無窮大電網，Lf1、Lf2和Cf1、Cf2分別為VSC1、VSC2的濾波電感和電容；V?PCC、V?F和V?s分別為并網點、故障點和無窮大電網電壓；ZF、Zs分別為并網點至故障點和故障點至無窮大電源之間的等效阻抗，且并網點至故障點F處的等效阻抗ZF可以計及嚴重故障下的弱連接特性對系統同步暫態穩定性的影響。

圖1 WG-MVSC系統的結構Fig.1 Structure of WG-MVSC system

雖然VSC1與VSC2由同一并網點接入無窮大系統，但當PLL1和PLL2的控制參數不同時，暫態過程中其輸出相角不同，因而其輸入也不相同，分別記作VPCC_q1和VPCC_q2，如圖1虛線框所示。PLL1和PLL2經過各自的比例積分PI控制器后，分別輸出角頻率ωpll1、ωpll2，以及相角θ1、θ2和相對相角θpll1、θpll2，需要指出的是θpll1、θpll2均以無窮大電網電壓頻率對應的角頻率ωs為參考軸；ω0為額定角頻率。Id_ref1、Id_ref2和Iq_ref1、Iq_ref2分別為VSC1、VSC2電流環的d和q軸電流參考值；I?1、I?2分別為VSC1和VSC2注入電網電流；Id1、Id2和Iq1、Iq2分別為I?1、I?2的d軸和q軸分量。

1.2 僅計及PLL動態的WG-MVSC的數學模型

為了對大量現有VSC接入弱網系統的PLL同步暫態穩定性進行研究[4-8]，在建模過程中可作如下簡化：

（1）忽略LC濾波器和交流網絡的電磁暫態；

（2）考慮內環電流控制動態響應遠快于PLL動態響應，故忽略電流內環動態，認為注入電流能近似實時跟蹤電流參考值。

在上述簡化條件下，VSC1和VSC2的外特性表現為電流源，因而可將圖1所示的拓撲結構等效為如圖2（a）所示的電路等值模型。其中，θPCC為并網點電壓的相角，選故障處F點的電壓為相角基準。本文建模采用的坐標系包含3個參考坐標系：①電網公共基準坐標系即DQ同步旋轉坐標系；②PLL1的參考坐標系即d1q1旋轉坐標系；③PLL2的參考坐標系即d2q2旋轉坐標系。圖2（b）分別呈現了穩態和暫態時3個參考坐標系間的關系。

圖2 WG-MVSC系統等效模型及向量圖Fig.2 Equivalent model of WG-MVSC system and vector diagram

在DQ坐標系下，根據圖2（a）所示的VSC接入弱網系統電路等值模型，可將并網點電壓表示為

式中：VPCC_D、VPCC_Q分別為并網點電壓的D軸和Q軸分量；ID1、IQ1、ID2和IQ2分別為并網點電壓V?PCC和VSC1、VSC2注入電流的D軸分量和Q軸分量；RF、XF分別為并網點至故障點之間的等效電阻和電抗。

由PLL的原理可知，通過坐標旋轉將式（1）分別變換到d1q1和d2q2坐標系下，可得VPCC_q1和VPCC_q2，即式中：a1=RFIq1-XFId1；b1=RFId1+XFIq1；a2=RFIq2-XFId2；b2=RFId2+XFIq2。本文重點考慮VSC1和VSC2的dq軸電流參考值皆大于零的情況，故有b1>0，b2>0成立。

基于圖1中PLL的控制框圖可得PLL的動態模型，即

式中，kp1、ki1和kp2、ki2分別為PLL1和PLL2的PI控制器的比例、積分系數。

對于無窮大系統而言，頻率恒定，故ωs=ω0。結合式（2）～（4），并基于文獻[5]可得僅計及PLL動態的WG-MVSC系統的模型示意如圖3所示。

圖3 WG-MVSC系統的模型示意Fig.3 Schematic of model of WG-MVSC system

由圖3可知，每一個PLL的輸入項均由3部分組成：①隨PLL輸出正弦變化的負反饋量，即電網同步項；②由參考電流決定且不發生改變的正反饋量，即自同步項；③由2個PLL的相角差引起的輸入量，即耦合項。

當PLL1與PLL2控制參數相同時，二者輸出相角相同，二者之間無相互影響；當二者控制參數不一致時，它們通過兩者間的相角差相互影響，此時系統的穩定性較為復雜，而這也是本文要重點研究的。

結合式（2）～（4）和圖3，可得WG-MVSC系統的數學模型，即

式中，x1、x2和x3、x4是狀態變量，分別表示θpll1、∫VPCC_q1dt和θpll2、∫VPCC_q2dt。此外，該數學模型的小擾動穩定平衡點為xe=(xe1,xe2,xe3,xe4)=(A,0,A,0)，其中A=arcsin{[RF(Iq1+Iq2)-XF(Id1+Id2)]VF}。

由于數學模型式（5）中含有正余弦是非線性的，因而其小擾動穩定平衡點xe是局部穩定平衡點，當電網側發生嚴重故障大擾動時，如果故障前系統的運行狀態xe,0在故障后系統平衡點xe,1的吸引域內，則隨著時間趨于無窮大，數學模型式（5）的解即系統的軌跡將收斂于xe,1。否則故障后即使系統存在小擾動穩定平衡點，系統仍會暫態失穩。因而判斷故障后WG-MVSC系統由xe,0過渡到xe,1所對應的暫態過程的同步暫態穩定性的關鍵在于構建xe,1的吸引域或LEDA。

為此，本文將運用LMI優化法構建WG-MVSC系統平衡點的LEDA，并在此基礎上分析WG-MVSC系統的PLL同步暫態穩定性。

2 基于LMI優化法的WG-MVSC系統平衡點的LEDA

本節將運用LMI優化法構建WG-MVSC系統的LEDA，并給出判斷系統由xe,0過渡到xe,1所對應的暫態過程同步暫態穩定性的判據。

針對一般多項式動力系統，文獻[12]提出LMI優化法以構造系統的Lyapunov函數，并基于此構建相應的LEDA。但對于本文分析的WG-MVSC系統，其數學模型式（5）中包含三角函數。因此，首先在系統平衡點xe的某一鄰域內將模型式（5）中的三角函數泰勒展開為多項式。

由泰勒展開式與原三角函數的關系可知，當三角函數展開到8階時，泰勒展開式與原三角函數在區間[-π，π]內幾乎重合。考慮到一般情況下，VSC1和VSC2的相角差，以及VSC1和VSC2各自的相角偏離平衡點的角度不超過π，故本文將式（5）所示的數學模型?=f(x)中的 sin(x1-x3)、 cos(x1-x3)和sinx1、sinx3展開到8階，可得其等效多項式模型，記作?=g(x)，具體表達式為

由上述分析可知，在區域ψ={x?R4|-π≤x1+xe1≤ π，-π≤x3+xe3≤π，-π≤x1-x3≤π}內，數學模型式（5）中的三角函數與數學模型式（6）中的相應多項式幾乎是等效的，也就是說，若WG-MVSC系統的數學模型x?=f(x)與泰勒展開后的等效多項式模型x?=g(x)的運行軌跡位于ψ內，則x?=g(x)與x?=f(x)的運行軌跡高度一致。為說明這一點，本文在PSCAD/EMTDC中分別搭建了數學模型式（5）和多項式等效模型式（6）的仿真算例，并對以下工況進行仿真驗證，仿真結果見圖4，其系統參數見表1。

圖4 工況A1和工況A2的仿真結果Fig.4 Simulation results under working conditions A1 and A2

表1 系統參數Tab.1 System parameters

（1）工況A1：故障點電壓跌至0.1 p.u.，仿真結果如圖4（a）所示。

（2）工況A2：故障點電壓跌至0.7 p.u.，仿真結果如圖4（b）所示。

在上述兩種工況下，VSC1和VSC2的電流設定值均從故障前的 0.5 p.u.、0 p.u.調整至0 p.u.、0.5 p.u.，以進行故障限流和無功支撐模擬。

圖4的仿真結果表明，當系統運行軌跡位于ψ內時，即使系統最終暫態失穩，數學模型式（5）和多項式等效模型式（6）的系統軌跡也高度一致。由此可知，若Ωv∈ψ是x?=g(x)的最大估計吸引域，則Ωv同時也是x?=f(x)的最大估計吸引域。

由于多項式等效模型式（6）中的非線性全部為多項式，故而可基于文獻[12]提出的LMI優化法進行求解，得到模型式（6）的Lyapunov函數v(x)和最大估計吸引域Ωv={x∈R4|v(x)≤c}。如果Ωv∈ψ，則由上述分析可知Ωv同時也是x?=f(x)的LEDA。但有些情況下，Ωv可能超出ψ，此時無法保證Ωv是x?=f(x)的LEDA。對于這種情況，可系統性地縮小Ωv使其包含于ψ，此時的Ωv即為x?=f(x)的LEDA。

綜上，本文提出了構建WG-MVSC系統模型x?=f(x)的LEDA算法（算法1），具體步驟如下。

步驟1基于文獻[12]提出的LMI優化法構造x?=g(x)的v（x）和Ωv。

步驟2求出v（?ψ）的最小值λ，其中?ψ是ψ的邊界。將λ和c進行比較，如果λ>c，說明Ωv?ψ，令λ=c。

步驟3最后得到WG-MVSC系統的最優Ly?apunov函數V(x)=v(x)/λ及其LEDA：Ωv={x∈ R4|V(x)≤1} 。

由算法1得到WG-MVSC系統的LEDA（Ωv）后，對于系統由故障前的運行狀態xe,0過渡到故障后的平衡點xe,1所對應的暫態過程的同步暫態穩定性可以通過比較V(xe,0-xe,1)與1的數值關系實現，即

如果式（7）成立，則有xe,0位于xe,1的LEDA內或邊界上，系統必然同步暫態穩定；如果式（7）不成立，則有xe,0位于xe,1的LEDA外，由李雅普諾夫直接法所固有的保守性可知，此時系統有可能暫態失穩，也可能暫態穩定。增加V(x)的最高次冪可以在一定程度上降低LEDA的保守性，但會顯著增加計算量。因此，在本文后續的計算和分析中，針對所研究對象和問題，V(x)的最高次冪選擇為2。

3 WG-MVSC系統同步暫態穩定分析及仿真驗證

3.1 WG-MVSC系統暫態失穩現象和數學模型驗證

為驗證數學模型式（5）的有效性和本文所提算法1構建的LEDA的有效性和可行性，在PSCAD/EMTDC中分別搭建如圖1所示的基于詳細開關模型的WG-MVSC系統和數學模型，并對以下工況進行仿真驗證，仿真結果見圖5，其系統參數見表1。

圖5 工況B1和工況B2的仿真結果Fig.5 Simulation results under working conditions B1 and B2

（1）工況B1：故障點電壓在t=3 s時跌至0.1 p.u.，將此時系統的平衡點記作xe,1，然后在t=17 s時進一步跌落至0.075 p.u.，將此時系統的平衡點記作xe,2，仿真結果如圖5（a）所示，而將故障前系統的平衡點記作xe,0。

（2）工況B2：故障點電壓在t=3 s時跌至0.075 p.u.仿真結果如圖5（b）所示。

在上述兩種工況下，VSC1和VSC2的電流設定值均從故障前的 0.5 p.u.、0 p.u.調整至0 p.u.、0.5 p.u.，以進行故障限流和無功支撐模擬。

由圖5（a）可得出：①開關模型和本文所提的數學模型式（5）具有較好的擬合度，驗證了模型式（5）的準確性；②故障點電壓分別跌落至0.1 p.u.和0.075 p.u.時，系統存在小擾動穩定平衡點，即系統是小擾動穩定的。

由圖5（b）可得出：①開關模型和本文所提的數學模型式（5）在系統暫態失穩的情況下仍具有較好的擬合度，進一步驗證了模型式（5）的準確性；②當WG-MVSC系統遭受大的擾動時，例如故障電壓直接跌落至0.075 p.u.，即使擾動后系統存在穩定平衡點，系統仍有可能暫態失穩，即WG-MVSC系統存在PLL同步暫態穩定問題；③當故障點電壓跌落較為嚴重時，如果變流器無功電流設定值選為各自的額定電流以進行電壓無功支撐，系統可能會暫態失穩。這是當前大部分故障穿越控制研究中未曾考慮的，需要引起特別注意。

本文將基于第2節介紹的算法1對工況B1和B2進行暫態穩定性分析，從而解釋工況A2出現的暫態失穩現象并驗證本文所構建的WG-MVSC系統的LEDA的有效性和可行性。

3.2 WG-MVSC系統暫態失穩現象分析和基于LMI優化法構建的LEDA驗證

在三維相平面x1x2x3上，圖6分別給出了xe,1和xe,2的LEDA和工況B1與工況B2的相軌跡。

圖6 工況B1和B2的相軌跡及局部放大圖Fig.6 Phase trajectory under working conditions B1 and B2,and partial enlarged figure

由圖6可知，xe,0∈Ωv(xe,1)、xe,1∈Ωv(xe,2)且工況B1對應的系統軌跡最終收斂到xe,2，這與基于李雅普諾夫穩定性第二定理分析結果一致。此外，上述理論分析結果與圖5（a）所示的電磁暫態仿真結果也一致。圖6和圖5（a）分別從理論上和仿真驗證了本文所提算法所構建的LEDA的有效性與可行性。

此外，將xe,0代入V2(x)可得V2(xe,0-xe,2)=2.313 1>1，這表明xe,0在xe,2的LEDA（Ωv(xe,2)）外，因而故障點電壓直接跌落至0.075 p.u.時，WGMVSC系統可能暫態失穩，理論分析結果與圖5（b）所示電磁暫態仿真結果和圖6所示的工況B2的軌跡，以及xe,0和Ωv(xe,2)的位置關系一致，進一步驗證了基于本文所提算法1構建的LEDA的有效性和可行性。

4 結論

本文利用LMI優化法構建了多VSC接入弱網系統的LEDA，然后在此基礎上分析了WG-MVSC系統的同步暫態穩定性，最后通過電磁暫態仿真驗證了理論分析的正確性，主要結論如下。

（1）故障點電壓跌落較為嚴重時，即使故障后的WG-MVSC系統存在小擾動穩定平衡點，系統仍有可能暫態失穩，且出現該現象的原因在于故障前系統的運行狀態位于故障后系統平衡點的LEDA外。

（2）當故障點電壓跌落較為嚴重時，如果變流器無功電流設定值選為各自的額定電流以進行電壓無功支撐，系統可能會暫態失穩

綜上，本文得到的WG-MVSC系統的LEDA對工程應用具有一定的借鑒意義。