非對稱憶阻誘導的吸引子非對稱演化與機理研究

武花干 周 杰 陳勝垚 陳 墨 徐 權(quán)*

①(常州大學微電子與控制工程學院 常州 213164)

②(南京理工大學電子工程與光電技術學院 南京 210094)

1 引言

由于納米級制備工藝的限制，憶阻器尚不能像電阻器、電容器和電感器一樣以獨立元件形式走向市場。為便于科學研究，學者們采用物理器件近似建模[1,2]、數(shù)學理論建模[3,4]、仿真電路建模[5]和等效電路建模[6,7]等方法構(gòu)建了多種憶阻模型，用以模擬憶阻物理器件的主要特性，從而探索憶阻器在人工智能[8]、計算神經(jīng)科學[9,10]、電子信息科學[11,12]等領域的潛在應用。

憶阻器是含有內(nèi)部狀態(tài)變量的特殊非線性元件，具有不同非線性特征的憶阻模型，在振蕩電路中誘發(fā)的動力學效應是有所差異的[13,14]。例如，文獻[15]提出了一種非理想多分段3次憶阻模型，并將其引入Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡，新構(gòu)建的憶阻Hopfield神經(jīng)網(wǎng)絡可以產(chǎn)生不同奇、偶數(shù)量的雙渦卷吸引子。在一個Sallen-Key低通濾波電路引入憶阻二極管橋模擬器，可觀察到周期與混沌簇發(fā)振蕩現(xiàn)象[16]，在特殊參數(shù)條件下還可能存在超級慢通道效應[17]。文獻[18]構(gòu)建了一個基于流控型多項式憶阻的混沌振蕩電路，生成了2×3-翼、2×2-翼與2×1-翼混沌吸引子。利用具有周期憶導函數(shù)的憶阻模型，文獻[19,20]發(fā)現(xiàn)了周期切換的憶阻初值位移調(diào)控現(xiàn)象，為混沌信號無損切換控制提供了一種有效的實現(xiàn)思路。

端口緊磁滯回線是評測物理器件或數(shù)學模型是否為憶阻的關鍵依據(jù)[21]，其對稱特性也是憶阻的重要特征之一。受到極板材料選擇、介質(zhì)反應機制等因素的影響，憶阻物理器件的端口緊磁滯回線存在著明顯的非對稱性，而多數(shù)憶阻數(shù)學理論模型、仿真電路模型與等效電路模型的端口緊磁滯回線則是對稱的。通過破壞憶阻二極管橋中正向與反向電流流通路徑的對稱性，文獻[22]提出了一種并聯(lián)型非對稱憶阻二極管橋(Parallel-type Asymmetric Memristive Diode-bridge, PAMD)模擬器，其端口緊磁滯回線具有非對稱性特征。非對稱非線性項的引入會造成動力學系統(tǒng)的對稱性缺失，從而誘導出更加豐富而復雜的動力學現(xiàn)象[23,24]，如非對稱同宿分岔、多穩(wěn)定模態(tài)共存、氣泡現(xiàn)象與臨界轉(zhuǎn)移等。鑒于此，本文提出一種有源PAMD模擬器，將其耦合到Sallen-Key高通濾波電路中，構(gòu)建基于高通濾波器的無感憶阻蔡氏電路。研究無感憶阻蔡氏電路的復雜動力學現(xiàn)象，從而揭示有源PAMD模擬器的動力學效應及其產(chǎn)生機理。

2 有源PAMD模擬器及其指紋特征

受到雙極性正弦電壓激勵時，憶阻二極管橋模擬器的端口伏安關系曲線呈現(xiàn)對稱緊磁滯回線特征[6,16]。通過改造憶阻二極管橋模擬器中二極管整流橋的電路結(jié)構(gòu)，比如在其中的一對橋臂上串聯(lián)或者并聯(lián)多個二極管，破壞整流橋電流正向和反向通路的對稱性，獲得了一個具有非對稱的端口緊磁滯回線特征的憶阻模擬器[22]。本文將PAMD模擬器與負阻RN并聯(lián)，得到了一個有源PAMD模擬器，如圖1所示。其中，PAMD模擬器的二極管整流橋B1和B3橋臂上各并聯(lián)m個二極管，m可作為PAMD模擬器的對稱度控制參數(shù)。負阻RN由1個集成運算放大器和3個電阻Ra, Rb, RN連接而成，且Ra=Rb。有源PAMD模擬器的端電壓為v，流經(jīng)有源PAMD模擬器、負阻RN和PAMD模擬器的電流分別記為I, iN, iM，電容C0的端電壓為v0。

圖1 有源PAMD模擬器原理圖

根據(jù)基爾霍夫電流定律，有

選擇電路元件參數(shù)為RN= 700 Ω, Ra= Rb=1 kΩ, R0= 100 Ω, C0= 330 nF, IS= 5.84 nA,n = 1.94和VT= 25 mV，此時ρ = 10.3093 V-1。

在有源PAMD模擬器的輸入端施加一個雙極性正弦電壓激勵v = Vmsin(2πft)，其中Vm為激勵幅值、f為激勵頻率。固定激勵幅值Vm= 4 V，激勵頻率f分別設置為10 kHz, 20 kHz, 40 kHz和60 kHz時，以m = 4為例，繪制出了有源PAMD模擬器的端口伏安關系曲線，如圖2(a)所示。觀察圖2(a)可知，有源PAMD模擬器的端口伏安關系曲線呈現(xiàn)類“8”字的緊磁滯回線，且隨著激勵頻率的增大，緊磁滯回線的旁瓣面積逐漸減小。當激勵頻率繼續(xù)增大時，緊磁滯回線收縮為一條單值函數(shù)。因此，該模擬器的端口伏安關系滿足憶阻的3個指紋特征[21]。

固定Vm= 4 V, f = 40 kHz。當二極管橋B1和B3橋臂上并聯(lián)的二極管數(shù)量m分別設置為1, 4, 8和16時，有源PAMD模擬器的端口伏安關系曲線，如圖2(b)所示。隨著并聯(lián)二極管數(shù)量的增多，該模擬器的端口伏安關系曲線始終保持非對稱的類“8”字形的緊磁滯回線特征。此外，從圖2中的細節(jié)圖可以看出，該模擬器的緊磁滯回線有部分線段進入了第2, 4象限，表明其具有局部有源性。

圖2 緊磁滯回線數(shù)值仿真結(jié)果

采用有源PAMD模擬器端電流i的峰值與谷值之比來度量緊磁滯回線的非對稱度AS，即

不同激勵參數(shù)與對稱度控制參數(shù)下，有源PAMD模擬器的非對稱度演化情況如圖3所示，其中圖3(a)的參數(shù)設置為Vm= 4 V, m = 4以及激勵頻率f =[1, 60] kHz，而圖3(b)的參數(shù)條件是Vm= 4 V, f =40 kHz以及m = [1, 16]。觀察圖3(a)可以發(fā)現(xiàn)，當激勵頻率在[1, 5] kHz區(qū)間內(nèi)逐漸增大時，緊磁滯回線的非對稱度AS慢慢減小；而當激勵頻率增大至5 kHz后，緊磁滯回線的非對稱度AS將隨著激勵頻率的增加逐漸增大。從圖3(b)可知，隨著m的遞增，緊磁滯回線的非對稱度AS逐漸增大，但其變化率逐漸減小。

圖3 隨f和m變化的緊磁滯回線非對稱度演化情況

3 無感憶阻蔡氏電路的非對稱演化

3.1 電路結(jié)構(gòu)與數(shù)學模型

通過電阻R耦合Sallen-Key高通濾波器與MC振蕩網(wǎng)絡，構(gòu)建了一個新型的無感憶阻蔡氏電路，如圖4所示。圖4左側(cè)暗紅色虛線框內(nèi)電路為Sallen-Key高通濾波器，右側(cè)綠色虛線框內(nèi)為MC振蕩單元絡。與經(jīng)典蔡氏電路相比，圖4所示電路中不含有電感元件，更利于硬件電路實現(xiàn)與測試。

圖4 無感憶阻蔡氏電路原理圖

無感憶阻蔡氏電路中包含4個動態(tài)元件，即電容C1, C2, C3以及有源PAMD模擬器GM。選取電路中各電容的兩端電壓作為狀態(tài)變量，并應用電路基本理論對無感憶阻蔡氏電路進行數(shù)學建模。無感憶阻蔡氏電路的數(shù)學模型可以描述為

其中，v3= v, k = 1+Rf/Ri。各電路元件的典型參數(shù)值為C1= C2= 100 nF, C3= 6.8 nF, C0=330 nF, R0= 100 Ω, R1= R2= 150 Ω, Ri= 3 kΩ, Rf= 6.6 kΩ, R = 1.2 kΩ, RN= 700 Ω和Ra= Rb= 1 kΩ。

引入新變量并作無量綱處理，即

設系統(tǒng)式(7)的狀態(tài)初值(x0, y0, z0, w0) =(0.01, 0, 0, 0)，有源PAMD模擬器的對稱度控制參數(shù)m = 1。選用MATLAB-ode45算法，并將“MaxStep”與“RelTol”分別設置為“10-3”和“10-7”，時間長度為[50 s, 100 s]，時間步長為1 ms。仿真得到系統(tǒng)式(7)的典型混沌吸引子如圖5所示，表明無感憶阻蔡氏電路可產(chǎn)生與經(jīng)典蔡氏電路類似的對稱雙渦卷混沌吸引子。

圖5 系統(tǒng)式(7)的典型混沌吸引子

3.2 非對稱演化現(xiàn)象

選擇系統(tǒng)參數(shù)a3與憶阻對稱度控制參數(shù)m作為控制參數(shù)，固定系統(tǒng)的其他參數(shù)。通過改變憶阻對稱度控制參數(shù)m控制憶阻對稱度發(fā)生變化，從而揭示系統(tǒng)式(7)的動力學行為隨著憶阻對稱度變化而誘發(fā)的吸引子的演化特征。利用數(shù)值仿真方法繪制的系統(tǒng)式(7)在3種不同穩(wěn)定模態(tài)下的吸引子演化情況如圖6所示，其中紅色軌跡的狀態(tài)初值為(0.01, 0,0, 0)，藍色軌跡的狀態(tài)初值為(-0.01, 0, 0, 0)。

由圖6可知，當m = 1(對稱憶阻)時，系統(tǒng)式(7)可產(chǎn)生關于原點對稱的雙渦卷混沌吸引子、共存單渦卷吸引子以及共存周期4極限環(huán)。當m = 4, 8和16(非對稱憶阻)時，系統(tǒng)式(7)產(chǎn)生的(共存)吸引子關于原點的對稱性也被破壞了。此外，當m = 4時，雙渦卷吸引子的右側(cè)渦卷退化至消失，右側(cè)軌跡遍歷區(qū)域逐漸縮小；同樣地，右側(cè)的共存單渦卷吸引子與周期4極限環(huán)也發(fā)生了萎縮；3類吸引子的穩(wěn)定模態(tài)與m = 1時一致。當m = 8時，吸引子右側(cè)、右側(cè)共存吸引子遍歷區(qū)域進一步縮小，且a3=1.7142對應的吸引子的穩(wěn)定模態(tài)變?yōu)橹芷趹B(tài)，表明了周期窗的出現(xiàn)。當m = 16時，吸引子右側(cè)、右側(cè)共存吸引子遍歷區(qū)域繼續(xù)縮小；特別地是，a3=1.2766對應的左、右共存吸引子穩(wěn)定模態(tài)不一致，左邊是周期6極限環(huán)，而右邊是混沌態(tài)；類似地，a3= 1.2245對應的左、右共存吸引子穩(wěn)定模態(tài)也不一致，左邊是周期4極限環(huán)而右邊是周期2極限環(huán)。左、右吸引子共存狀態(tài)的不一致，說明此時系統(tǒng)式(7)發(fā)生了非對稱共存分岔。

圖6 3組不同穩(wěn)定模態(tài)吸引子隨m的演化情況

綜上所述，憶阻模擬器對稱特性的變化會導致系統(tǒng)吸引子拓撲結(jié)構(gòu)及對稱特性發(fā)生變化，形成非對稱雙渦卷吸引子或者非對稱共存吸引子；此外，憶阻的對稱度逐漸增大后，系統(tǒng)的分岔行為也會變得更加復雜，可能出現(xiàn)更多的周期窗，且存在明顯的非對稱共存分岔行為。

4 非對稱演化的機理分析

4.1 平衡點與穩(wěn)定性

以a3= 1.7142為例，討論憶阻對稱度控制參數(shù)m對系統(tǒng)平衡點位置的影響。利用數(shù)值方法分別繪制出m = 1, 4, 8, 16對應的f1(·)和f2(·)函數(shù)曲線，兩條曲線的交點即為非零平衡點坐標zˉ 與wˉ的解，如圖7所示。m變化時，平衡點E0和E1的位置始終不變，而平衡點E2的位置發(fā)生了遷移。為了圖示清晰，將圖7中不同m值對應的左側(cè)平衡點與零平衡點分別記為E1和E0，而將右側(cè)平衡點記為E2,m。從圖7中的局部放大圖可以清晰地觀察到，隨著參數(shù)m的增加，右側(cè)平衡點的位置向左下方遷移，逐漸向零平衡點E0靠攏。

圖7 由曲線交點獲得的平衡點及不同m時平衡點E2位置的演化

進一步地，通過數(shù)值計算得到各平衡點的特征根，并在表1中列出。分析表1中的數(shù)據(jù)可知，m分別為1, 4, 8和16時，平衡點E0和E1的特征根保持不變，且E0為不穩(wěn)定鞍點，E1為不穩(wěn)定鞍焦，而平衡點E2,m為不穩(wěn)定鞍焦，其穩(wěn)定性維持不變，但是其特征根的數(shù)值發(fā)生了變化，即負實數(shù)特征根的數(shù)值變小，共軛特征根的實部數(shù)值變大。這表明隨著m的增大，系統(tǒng)式(7)的平衡點E2,m對其鄰域內(nèi)軌跡的吸引力逐漸減弱而排斥力逐漸增強，導致系統(tǒng)右側(cè)渦卷萎縮且軌跡遍歷范圍減小。因此，平衡點及其穩(wěn)定性分析的結(jié)果與系統(tǒng)相軌圖的演化趨勢是相吻合的。

表1 m取不同值時的系統(tǒng)平衡點穩(wěn)定性

4.2 共存分岔與多穩(wěn)定模態(tài)

選取系統(tǒng)參數(shù)a3作為分岔參數(shù)，并設置其觀測區(qū)間為[1.1, 1.5]。當憶阻對稱度控制參數(shù)m = 1和m = 16時，繪制出系統(tǒng)式(7)的分岔圖與有限時間的李雅普諾夫指數(shù)譜(Lyapunov Exponents, LEs)，如圖8所示。數(shù)值仿真中，分岔圖與相軌圖的仿真參數(shù)設置一致，且紅色軌跡與藍色軌跡的狀態(tài)初值分別為(0.01, 0, 0, 0)和(-0.01, 0, 0, 0)。有限時間的李雅普諾夫指數(shù)譜的仿真參數(shù)中，時間長度與時間步長分別為200 s與1 ms，MATLAB-ode45算法的“options”為默認值。

觀察圖8(a)的分岔圖可知，系統(tǒng)式(7)隨著a3的增大從周期1經(jīng)倍周期分岔路徑進入混沌狀態(tài)，然后受混沌危機的影響，從混沌狀態(tài)進入周期狀態(tài)，中間存在多個周期窗。參數(shù)a3在[0, 1.29)范圍內(nèi)，系統(tǒng)式(7)可產(chǎn)生共存單渦卷吸引子或者極限環(huán)，且每組左、右共存吸引子的狀態(tài)與拓撲結(jié)構(gòu)是一致的，說明在該區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)式(7)存在對稱共存分岔行為；a3在(1.29, 1.50]范圍內(nèi)，系統(tǒng)式(7)可以產(chǎn)生對稱的雙渦卷吸引子。對比兩組不同狀態(tài)初值的李雅普諾夫指數(shù)譜可知，分岔參數(shù)a3變化時，共存吸引子的穩(wěn)定狀態(tài)是保持一致的。

由圖8(b)可以看出，系統(tǒng)式(7)在參數(shù)a3連續(xù)變化下，存在3種分岔路徑，即倍周期分岔、切分岔和逆倍周期分岔；此外，分岔圖中存在著明顯的氣泡現(xiàn)象[26]。參數(shù)a3在[0, 1.29]范圍內(nèi)，系統(tǒng)式(7)可以產(chǎn)生共存單渦卷吸引子，但是共存吸引子的結(jié)構(gòu)大小不同；另外，在多個區(qū)域內(nèi)，左、右共存吸引子的穩(wěn)定狀態(tài)也是不同的，表明在這些區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)式(7)存在非對稱共存分岔行為，以圖8(b)中虛線劃分的區(qū)域為例，在對稱的狀態(tài)初值下，紅色分岔圖呈現(xiàn)出周期狀態(tài)，而藍色分岔圖則是混沌狀態(tài)，兩者穩(wěn)定模態(tài)不一致，表現(xiàn)出明顯的非對稱共存分岔行為。

圖8 與參數(shù)a3相關的分岔圖和李雅普諾夫指數(shù)譜

進一步地，固定分岔參數(shù)a3= 1.2632，狀態(tài)初值y0= 0, w0= 0，分別繪制出憶阻對稱度控制參數(shù)m = 1和m = 16時，狀態(tài)初值平面x0-z0的局部吸引盆，如圖9(a)和圖9(b)所示。由圖9(a)可知，當m = 1時，系統(tǒng)式(7)的吸引盆是關于原點對稱的，吸引盆對應的兩種穩(wěn)定模態(tài)記為L-CH1和R-CH1，表明此時系統(tǒng)式(7)具有雙穩(wěn)定模態(tài)，可產(chǎn)生關于原點對稱的左、右單渦卷吸引子，如圖10(a)所示。而觀察圖9(b)可知，當m = 16時，系統(tǒng)式(7)的吸引盆則是非對稱的，吸引盆顯示系統(tǒng)式(7)存在著4種不同的穩(wěn)定模態(tài)，分別記為L-P3, R-P3,L-CH2和R-CH2，可產(chǎn)生的左、右周期3極限環(huán)和左、右單渦卷混沌吸引子，如圖10(b)所示，兩組共存吸引子關于原點都是非對稱的。

圖9 不同參數(shù)m時系統(tǒng)式(7)的吸引盆與共存吸引子

圖10 不同參數(shù)m時系統(tǒng)式(7)的共存吸引子

上述分岔分析與多穩(wěn)定性分析的結(jié)果表明，相比于對稱的憶阻二極管橋模擬器，有源PAMD模擬器引入振蕩電路后，促使振蕩系統(tǒng)發(fā)生非對稱演化，可誘發(fā)更加復雜的動力學行為。

5 硬件實驗

根據(jù)圖1和圖3所示的電路原理圖，制作無感憶阻蔡氏電路的實驗電路，主要元器件包括1個精密可調(diào)電阻(RN)、8個金屬膜電阻(R0～R2, R, Ra,Rb, Ri和Rf)、4個獨石電容(C0～C3)、多個1N4148型二極管以及1片AD711JN型集成運算放大器(U)，并采用±15 V的雙直流電源供電。利用Tektronix TDS 3034C數(shù)字示波器采集實驗電路中各電容的兩端電壓，并在X-Y模式下獲得捕捉對應的相軌圖。注意，在采集電容C2的兩端電壓時需要使用一個增益為1的減法電路。

通過調(diào)節(jié)精密可調(diào)電阻RN的參數(shù)值、改變并聯(lián)到二極管橋B1和B3橋臂上的二極管數(shù)量，以改變無感憶阻蔡氏電路的參數(shù)，電路實驗捕捉到的相軌圖如圖11和圖12所示。需要說明一下，系統(tǒng)式(7)是無感憶阻蔡氏電路的歸一化無量綱方程組，兩者對應的狀態(tài)變量滿足(x, y, z, w) = ρ(v1, v2, v3,v0)。對比圖11與圖5可知，實驗測量結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果是一致的。對比圖12與圖6，不同RN值條件下，兩者所反映的隨m值變化的吸引子演化趨勢是一致的。但是，圖12中的非對稱共存吸引子的穩(wěn)定模態(tài)與圖6中的相應吸引子穩(wěn)定模態(tài)存在差異，這可能是實驗電路參數(shù)誤差以及非對稱共存分岔區(qū)間狹窄的原因?qū)е碌摹?/p>

圖11 硬件實驗捕獲的典型混沌吸引子

圖12 實驗捕獲的3組不同穩(wěn)定模態(tài)吸引子隨m的演化情況(橫軸變量均為v3，縱軸變量均為v1)

6 結(jié)論

鑒于憶阻物理器件通常具有非對稱的端口緊磁滯回線特征，本文通過改造憶阻二極管橋模擬器，提出了一種有源PAMD模擬器，并進行了憶阻指紋特征驗證和緊磁滯回線對稱特性分析。結(jié)果表明，有源PAMD模擬器的端口緊磁滯回線的對稱度隨激勵頻率發(fā)生變化，改變并聯(lián)二極管的數(shù)量可以實現(xiàn)對稱度控制。此外，研究了有源PAMD模擬器在無感憶阻蔡氏電路中的動力學效應。當無感憶阻蔡氏電路中憶阻二極管橋模擬器的對稱特性從對稱變?yōu)榉菍ΨQ時，致使系統(tǒng)對稱性缺失，系統(tǒng)動力學行為產(chǎn)生顯著變化：(1)系統(tǒng)參數(shù)分岔路徑復雜化；(2)(共存)吸引子非對稱化；(3)系統(tǒng)穩(wěn)定模態(tài)多樣化。非對稱憶阻建模及其應用電路特性的研究可以為憶阻物理器件的工程應用奠定合適的理論基礎。