非凸稀疏約束的多快拍壓縮波束形成

丁飛龍 遲 騁 李 宇* 黃海寧

①(中國科學院聲學研究所 北京 100190)

②(中國科學院先進水下信息技術重點實驗室 北京 100190)

③(中國科學院大學 北京 100049)

1 引言

基于壓縮感知(Compressive Sensing, CS)理論的波達方向(Direction Of Arrival, DOA)估計方法，在近十年里相當流行，該方法最早由Malioutov等人[1]提出。相對于離散化的方位角數目來說，感興趣的信源數目是少量的。基于這個事實，DOA估計被描述成了一個具有稀疏約束的欠定線性系統，稱為壓縮波束形成(CompreSsive BeamForming, CSBF)[2]。與傳統的常規波束形成(Conventional BeamForming, CBF)相比，CSBF即使在單快拍下也具有穩健的高分辨精度。因此，CSBF被廣泛應用于地震波反演、聲學、雷達以及無線通信等領域。

CSBF的經典策略是施加l1范數的稀疏約束[3]，因為在稀疏信號處理中l1范數具有特殊的意義，它是l0范數的凸松弛近似，并且凸問題的可靠求解相對容易[4]。然而，自然的稀疏度量仍是l0范數，使用l1范數近似，會導致由于稀疏性不足，使得CSBF的性能下降[5]。使用非凸的懲罰函數約束，具有比l1范數更強的稀疏性，可以提高算法的性能[6,7]。但是，非凸的懲罰函數在求解過程中需要解決一系列的平滑問題，不能直接最小化懲罰函數，可能出現局部最小化問題[8]。為了增強稀疏性且同時避免局部最小化問題，Selesnick[9]提出一種極小極大凹懲罰(Minimax Concave Penalty, MCP)函數，在趨近l0范數稀疏性的同時保持了整體懲罰函數的凸性質。Yang等人[10]將MCP函數應用到CSBF中，并證明了其優于l1范數約束方法的強大性能。

然而在低信噪比下，文獻[10]的算法DOA估計性能不佳，多快拍聯合估計可以提高低信噪比下的DOA估計結果。傳統多快拍方法，如最小方差無失真方法(Minimum Variance Distortion-less Response, MVDR)[11]和多重信號分類方法(MUltiple SIgnal Classification, MUSIC)[12]等，對快拍的數量有著最低限制，且在低信噪比下性能不佳。基于l1范數的多快拍壓縮波束形成(Multiple Snapshot Compressive BeamForming based onl1norm,l1-MCSBF)[13]雖然對快拍數沒有要求，但在低信噪比下，由于稀疏性不足，會導致偽源的產生。

基于MCP約束的多快拍壓縮波束形成(Multiple Snapshot Compressive BeamForming based on MCP, MCP-MCSBF)可以提供比l1-MCSBF的更好的性能。但是，求解MCP-MCSBF的困難在于需要證明MCP-MCSBF具備整體凸性質的前提條件，因為MCP函數本身是非凸的，只有滿足整體凸性質，才能收斂到全局最小值，這也是其與其他非凸稀疏約束相比的優勢所在。另外，類似文獻[11]的常規多快拍壓縮波束形成求解方法，是對每一個快拍單獨處理并將結果求均值，其計算成本隨著快拍數目的增大而增大。

因此對于上述問題，本文的貢獻在于證明了MCP-MCSBF的整體凸性質條件，提出了一種低計算成本的MCP-MCSBF求解方法，實現了增強稀疏性的同時，在低信噪比情況下獲得更穩定的DOA估計結果。本文提出的MCP-MCSBF首先對陣列接收的觀測矩陣數據進行SVD分解，并將其投影到信號子空間上；然后再根據Boyd等人[14]的凸優化理論，將投影后的觀測矩陣所有列加權疊加成一個新的向量；最后，再將這個新的向量代入計算，得出精確的DOA估計結果。

2 單快拍 DOA估計

2.1 信號模型

2.2 非凸稀疏約束的壓縮波束形成

3 多快拍DOA估計

表1 基于MCP函數約束的壓縮波束形成算法步驟

顯然，可以參考2.2節的單快拍算法，將式(24)看成兩個交替求解的多快拍稀疏約束問題求解。但問題在于傳統求解多快拍稀疏約束的算法，如多快拍交替方向法(Multiple snapshots Alternate Direction Method, M-ADM)[23]等，本質上只是對每一個快拍單獨運算并求和平均。這樣的做法存在兩個問題：(1)本質上仍未脫離單快拍運算的范疇，只能一定程度上減少估計結果的誤差，對于高噪聲環境下導致的稀疏約束能力不足，從而產生的估計偏差，并沒有得到真正的解決；(2)計算成本與K?成正比。

本文提出MCP-MCSBF算法將降維后的觀測矩陣YK?通過加權求和，進一步表示成M×1維向量yK?，然后將其代入單快拍求解算法中求解。且可以通過定理2證明，當權數w?1+w?2+...+w?K?=1，ΣTΣ ≤1/εAHA時，目標函數仍具備整體凸性質。

本文所提MCP-MCSBF算法如表2所示。本文算法的收斂性證明可見文獻[10,24]，因此這里不再重復說明。

表2 MCP-MCSBF算法步驟

4 仿真結果

本節主要探討基于MCP約束的多快拍壓縮波束形成的DOA估計性能。考慮了一個傳感器數量M=24且半波長分離的均勻線性陣列，源信號為載波頻率3000 Hz的窄帶信號，噪聲為服從高斯分布點的白噪聲信號。傳感矩陣A定義在一個間隔為1o，從-90°～90°的角度網格中，并使用均方根誤差(Root Mean Squared Error, RMSE)量化DOA估計的性能。

4.1 本文算法的性能

其次，比較MCP約束的傳統多快拍與提出多快拍壓縮感知算法的性能。這里的傳統多快拍壓縮感知算法指的是，通過對每一個快拍單獨處理，然后將結果求和平均的方法，見文獻[11,23]。仿真設置與上文相同，仿真結果如圖2所示。圖2(a)展示了傳統多快拍壓縮感知算法的估計性能。由于該算法只是對每個快拍分別計算然后求和平均，沒有根本上解決強噪聲背景下，稀疏性不足的問題，因此可以看到圖2(a)中盡管估計出了準確的方位角度，但是存在兩個較強的偽源，干擾了目標判斷。圖2(b)為提出多快拍算法的估計結果，展示了穩健而精確的方位估計性能。

圖1 信噪比-10 dB下的DOA估計結果

圖2 信噪比-10 dB下多快拍的DOA估計結果

4.2 與傳統多快拍DOA估計算法的性能對比

為了進一步驗證MCP-MCSBF算法的性能。本文將其與CBF, MUSIC以及l1-MCSBF對比。首先，考察SNR為-10 dB下不同的算法的DOA估計結果。令3個能級相同的獨立源信號，入射角分別為[-4°, 0°, 20°]，快拍數為50，仿真結果如圖3所示。在圖3(a)和圖3(b)中由于-4°和0°的兩個源間隔較小，CBF和MUSIC均無法有效地區分這兩個目標源；而圖3(c)中l1-MCSBF雖然能夠區分這兩個目標源，但由于l1-MCSBF的稀疏性不足，所以出現了許多的偽峰。MCP-MCSBF具有比l1-MCSBF更強的稀疏性，因此在圖3(d)中，不僅能區分間隔較近的兩個目標源，且除了估計的目標源外，不存在別的偽峰。

圖3 -10 dB下不同算法的DOA估計結果對比

其次，分別考慮獨立源和相干源情況。SNR從-10 dB變化到10 dB，其余設置與上文相同，每次均進行400次蒙特卡羅仿真模擬，得到的RMSE結果如圖4所示。圖4(a)表示獨立源情況下RMSE隨SNR變化的情況。可以看出，隨著SNR的增大，這4種算法的DOA估計精度都逐漸提高。因為CBF波束寬度近似為1 02°/M=4.25°，大于- 4°和0°的兩個源的角度間隔，所以CBF的估計精度要明顯低于另外3種算法。MUSIC估計精度在高信噪比下較好，但在低信噪比下估計精度較差。l1-MCSBF和MCP-MCSBF估計精度相似，但在低信噪比下MCP-MCSBF具備的估計精度更高。圖4(b)表示相干源情況下RMSE隨SNR變化的情況。由于MUSIC算法在估計DOA過程中，涉及接收信號協方差求逆，因此相干源會導致DOA估計精度大大降低。CBF，l1-MCSBF以及MCP-MCSBF則不受相干源影響，仍具備很高的DOA估計精度。

然后，比較信噪比-10 dB，快拍數從1～100變化下的DOA估計結果，如圖4(c)所示。這里考慮到陣元個數為24，因此MUSIC算法的快拍起點為30快拍。圖中所有算法的RMSE都隨著快拍數增多而下降，但是可以清楚地看到本文提出的MCPMCSBF在任何快拍下都要優于CBF，MUSIC以及l1-MCSBF。認為成功區分了兩個獨立源，將成功分辨的次數比上蒙特卡羅仿真次數，得到成功分辨概率，可以用來表示算法的性能。

圖4 不同算法的性能比較

5 實測數據結果

上文已經在仿真中驗證了算法的性能，但是數值的模擬并不能代表真實的水下環境。本節展示算法在水下實測數據中的優良性能。采用湖試數據作為本文提出的MCP-MCSBF算法的實測數據。湖面聲速為1500 m/s，由UUV平臺搭載的舷側均勻水平線陣接收數據，UUV航行深度在水下6 m，陣元數目為24個，陣元之間的距離為0.1875 m。此次試驗中存在兩個聲源信號，一個是位于水下6 m處的靜止聲源信號，發射頻率為1～4 kHz寬帶噪聲信號，另一個為水面運動的小艇發出的輻射聲源，且小艇與靜止聲源之間存在交叉。將每秒的數據分為50快拍，使用全頻帶的信息進行DOA估計。

圖6表示CBF, MUSIC以及l1-MCSBF與MCPMCSBF算法的時間方位歷程圖。圖6(a)表示CBF的方位歷程圖，可以看出當兩個聲源逐漸接近時，由于CBF較寬的主瓣，將兩個聲源合并成了一個聲源，且存在自噪聲和干擾噪聲的影響，導致目標聲源不夠突出；圖6(b)表示已知精確的信號源個數這一先驗信息下的MUSIC的方位歷程圖，MUSIC算法相對于CBF來說主瓣更窄，對自噪聲和干擾噪聲有了很好的抑制，因此目標聲源更加突出，但是對背景噪聲的抑制力不強，最低能量為-10 dB；圖6(c)表示l1- MCSBF的方位歷程圖，顯然l1-MCSBF相對于CBF以及MUSIC來說，在抑制自噪聲和干擾噪聲的同時，大大減弱了背景噪聲，此時最低能量為-100 dB，增強了目標聲源。但是由于稀疏性不足，所以方位歷程圖中存在較多的噪點；圖6(d)表示MCP-MCSBF的方位歷程圖，與l1-MCSBF相比，由于本文提出算法增強了稀疏性，因此圖中存在的噪點很少。且與傳統CBF和MUSIC算法相比，目標聲源更加清晰，對背景噪聲的抑制也更強，此時最低能量為-150 dB。

圖5 成功分辨率隨SNR和角度間隔的變化

圖6 方位歷程圖

通過湖試數據可以看出，本文方法在噪聲背景下保持著穩健的DOA估計性能，抑制了旁瓣的產生；同時由于較窄的主瓣寬度，也提高了目標聲源的分辨率，在目標聲源角度間隔較近時，展現了良好的性能。

6 結論

本文提出一種基于MCP約束的多快拍壓縮波束形成算法，本方法通過非凸函數MCP提高了傳統壓縮波束形成算法的稀疏性，且由于MCP的整體凸性質，不存在局部最小值問題，保證了DOA估計的可靠性；同時利用多個快拍的數據聯合估計，提高了DOA估計的穩定性。仿真分析證明了本文算法與CBF, MUSIC以及l1-MCSBF算法相比，具有更優的精確性和更高的角度分辨率，湖試結果也再一次證明了本文算法的有效性。