同方向同頻率簡諧振動的合成在光的干涉和衍射中的應用

徐紅霞

(上海工程技術大學數理與統計學院，上海 201620)

目前，理工科《大學物理》課堂學習簡諧振動的合成時往往只討論兩個簡諧振動的合成，對兩個以上同方向、同頻率簡諧振動的合成問題不予討論，或是在教材中屬于帶*號內容[1]。但這部分內容卻是定量研究光的干涉和衍射的基礎，其尤為重要。

本研究從多個同方向、同頻率且同振幅的簡諧振動的合成結果出發，給出光的雙縫干涉和衍射的光強的定量表達，分析其條紋特點。

1 多個同方向、同頻率且同振幅的簡諧振動的合成

多個振動方向相同、振動頻率相同的簡諧振動的合運動仍然是同方向、同頻率的簡諧振動，其合運動的復雜程度取決于各分振動的振幅和相位。對于N個同方向、同頻率并且振幅相同、相位依次相差相同的Δφ的簡諧振動，若振動的表達式分別為：

x1=A0cos(ωt)

x2=A0cos(ωt+Δφ)

x3=A0cos(ωt+2Δφ)

……

xN=A0cos[ωt+(N-1)Δφ]

可以用多種方法證明[2]這N個簡諧振動的合振動x=Acos(ωt+φ)的合振幅為：

(1)

當Δφ=2kπ(k=0,±1,±2，…)時，由式(1)可知合振幅為：

(2)

屬于是00型不定式。根據洛必達法則，這時的合振幅最大，有Amax=NA0。

當NΔφ=2k′π(k′=±1,±2，…)且Δφ≠2kπ(k=0,±1,…)時，由式(1)可知合振幅有最小值Amin=0。需要注意的是，在這里k′的取值只能為k′=±1,±2，…，±(N-1),±(N+1)…,±(2N-1),±(2N+1)…，k′不能取值N的倍數(k′≠0,±N,±2N,…)。這表明，對于這N個簡諧振動的合成，在合振幅取兩個最大值之間，有N-1個極小值，同時還有N-2個次級極大值。

2 兩個同方向、同頻率且同振幅的簡諧振動的合成與雙縫干涉

當N=2時，由式(1)得合振幅為：

干涉疊加的光強可寫為：

3 N(=很大)個同方向、同頻率、同振幅且相位差Δφ很小的簡諧振動的合成與光的單縫衍射

(3)

相應的光強為：

(4)

表1 單縫夫郎禾費衍射部分明紋的光強Tab.1 Part of bright light intensity of single slit Flanghefer diffraction

4 N(=很大)個同方向、同頻率、不同振幅且Δφ很小的簡諧振動的合成與光柵衍射

(5)

(6)

相應的光強為：

(7)

當(a+b)sinθ=kλ, (k=0, ±1, ±2, …)時，由式(7)得：

(8)

當N(a+b)sinθ=k′λ但(a+b)sinθ≠kλ時，由式(7)得I=0。這組衍射角光線的匯聚處即為光柵的暗紋。k′不能取N的倍數，k′的取值為k′=±1,±2…±(N-1),±(N+1),…,±(2N-1),±(2N+1)，…。對于有N條縫的光柵，每兩條主明紋之間，光強有N-1個極小，還有N-2個次級極大?？p數N越多的光柵，暗紋和次級明紋越多，主明紋的寬度則越細。

式(8)同時滿足sinNβ=0但sinβ≠0即sinu=0但u≠0可以得到缺級條件，在此不作詳細討論。

5 結語

目前，大多數大學物理課程中關于光的干涉和衍射，一般只討論條紋的位置和定性結果，對光強不給予詳細分析。從以上分析可以看出，在討論光的干涉和衍射問題時，從簡諧振動的合成出發，分析光強問題相對比較簡潔，學生并不難理解。以這條主線學習波的干涉、光的干涉和衍射，有助于學生對物理知識系統性的把握。此部分內容可作為光的干涉和衍射的總結課內容，也可以作為具有“挑戰度”的課外作業布置給學生，有助于學生的分析解決問題能力的提高。