實數域與復數域下初等函數的異同研究

楊立星，李玉霞

(泰山科技學院，山東 泰安 271038)

1 實數域與復數域下函數的定義

1.1 實數域下函數的定義

定義1：設x和y是兩個變量，D是一個給定的非空實數集，如果對于每個x∈D，變量y按照一定的法則，f總有確定的數值和它對應，則稱y是x的函數，記為：y=f(x)，其中數集D稱為函數的定義域，記為D(f)，x稱為自變量，y稱為因變量。

1.2 復數域下函數的定義

定義2：設點集D是一個給定的非空復數集，如果對于每個z∈D，按照某一法則(某一規律)，f得確定的一個或幾個復數w和它對應，則稱復數w是復數z的函數，記為：w=f(z)，其中數集D稱為函數的定義域，記為D(f)，z稱為自變量，w稱為因變量。

由定義1與定義2可以看出，實數域與復數域下函數的定義是類似的，不同之處為：

(1)定義1是在實數域上給出的函數定義，此處函數為實變函數(實函數)，定義2是在復數域上給出的函數定義，此處函數為復變函數(復函數)。

(2)實函數是單值函數(一個x與一個y對應)，復函數可以是單值函數也可以是多值函數(一個z與多個w對應)。

可以看到，對于自變量z的不同取值，w可能是單值也可能是多值，這與實函數只能是單值是不同的。

2 初等函數

2.1 復指數函數

定義3：w=ez=ex+iy=ex(cosy+isiny)稱為z的復指數函數。

復函數w=ez與實函數y=ex的相同點：

(2)可加性。ex1ex2=ex1+x2；ez1ez2=ez1+z2

復函數w=ez與實函數y=ex的不同點：

性質：復函數w=ez是以2πi為周期的周期函數。

證明：w=ez+k2πi=eze2kπi=ez(cos2kπ+isin2kπ)

=ez

可見復函數w=ez為周期函數，而實函數y=ex不具有周期性。有了復函數具有周期性的性質，顯然由ez1=ez2是得不出來結論z1=z2的。

例2：

2.2 復三角函數

復正弦函數與復余弦函數的相同點：

(1)可微性(解析性)。(sinz)′=cosz;(cosz)′=-sinz

(2)周期性。復正弦函數sinz與復余弦函數cosz都是以2π為周期的周期函數，即sin(z+2kπ)=sinz,cos(z+2kπ)=cosz

復正弦函數與復余弦函數的不同點在于奇偶性，復正弦函數sinz為奇函數，復余弦函數cosz為偶函數。

復正弦(余弦)函數與實正弦(余弦)函數的不同點：

實正弦函數sinx與實余弦函數cosx均為有界函數，而復正弦函數sinz與復余弦函數cosz沒有此性質，這是因為若令z=iy，則

2.3復對數函數

定義5：若ew=z(z≠0)，得w=f(z)，記為w=Ln(z)，稱為復對數函數。

事實上，z=|z|eiArg(z)=eln(|z|eiArg(z))=eln|z|+iArg(z)，ew=z=eln|z|+iArg(z)，所以w=Ln(z)=ln|z|+iArg(z)

類似于y=lnx，復對數函數w=Ln(z)具有如下性質：

(2)運算性質。Ln(z1z2)=Ln(z1)+Ln(z2)

根據定義，

Ln(z1z2)=ln|z1z2|+iArg(z1z2)

=ln|z1|+ln|z2|+i(Arg(z1)+Arg(z2))

=ln|z1|+iArg(z1)+ln|z2|+iArg(z2)

=Ln(z1)+Ln(z2)

復對數函數w=Ln(z)與實對數函數y=lnx的不同之處：

(1)復函數中復數具有對數，如Ln(-1)是有意義的，而實對數函數無此性質。

(2)由于輻角Arg(z)具有多值性，因此Ln(z)=ln|z|+iArg(z)為多值函數。

例3：Ln(-1)=ln|-1|+iArg(-1)=i(π+2kπ)(k=0,±1,±2,…)

基于此，對于實函數顯然成立的結論而對復函數不一定成立，如Lnz+Lnz≠2Lnz，因為Lnz+Lnz=Lnzz=Lnz2≠2Lnz

2.4 復冪函數

定義6：若w=za=eaLnz(z≠0,a為復常數)，稱為z的復冪函數。

說明：

(1)當z=0時，za=0(a為正實數)。

(2)根據定義5可知，因為Lnz為多值函數，所以復冪函數w=za=eaLnz也為多值函數。

例4：若復冪函數f(z)=z1+i，求f(2),f(i)

解：由定義得

f(2)=21+i=e(1+i)Ln2=e(1+i)(Ln|2|+iarg2+i2kπ)

=e(1+i)(ln2+i2kπ)

=e(ln2-2kπ)+i(ln2+2kπ)

=2e-2kπ(cosln2+isinln2)

f(i)=i1+i=e(1+i)Lni

=e(1+i)(Ln|i|+iargi+2kπi)

=e(1+i)(lni+2kπi)

(k=0,±1,±2,…)

復冪函數有如下性質：

(2)當α取特殊實數時，可得到一些常用的公式：

①當a=n時(此處n為自然數)：

zn=enLnz=en(ln|z|+iargz+i2kπ)

=|z|n(cosnθ+isinnθ)

③當a=-n時(此處n為自然數)：

z-n=e-nLnz=e-n(ln|z|+iargz+i2kπ)

=e-nln|z|e-inargze-2kπin

在k=0,1,2,...,n-1處有n個不同的值。

3 實函數與復函數的極限

定義7與定義8分別是實函數和復函數在一定處的極限，從定義上來看，在形式上是完全類似的，但需要注意的是定義7中實函數的極限定義，x→x0只能從x0左右兩側來趨近，而在定義8中復函數的極限定義中，z→z0時，趨近于z0是從任意方向來趨近，對于實函數導數和復函數導數的定義有同樣的區別。

例5：當z→k(k<0,k∈R)時，討論w=argz的極限是否存在。

4 結語

從上面的比較可以看出，復數域的函數概念可以看成是實數域函數概念的一種推廣，既有很多類似之處也有不同之處，可以通過類比的方法進行學習，加深學生對復變函數概念的理解，通過新舊知識的比較會更容易掌握知識。