開展跨學科STEM教學，培養對數學的好奇心

唐依婷 袁智強 戴颯英

摘要：立足數學學科開展跨學科STEM教學，可以培養學生對數學的好奇心。《翻轉的數學》一課主要帶領學生探究四面體翻轉環，可以安排在初二下學期教完“平行四邊形”一章之后。本節課采用“6E”教學模式，教學過程包括情境引入、折紙探究、折紙工程、原理解釋、模型精致和總結評價6個環節，通過開展以學生為主體的基于問題、基于探究、基于設計、基于協作的學習，彰顯數學學科的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值。

關鍵詞：STEM教育;好奇心;折紙;四面體翻轉環;“6E”教學模式

本文系教育部人文社會科學研究青年基金項目“創新型STEM教師培養的探索性研究”（批準號：18YJC880115）的階段性研究成果，也系本刊連載的袁智強副教授團隊開發的第6個具有STEM教育特征或跨學科背景的中學數學課例。近年來，交叉融合的STEM教育理念在國內外盛行。其中，跨學科STEM教育往往基于問題，采用STEM相關課程整合模式。也就是說，把科學（Science）、技術（Technology）、工程（Engineer）和數學（Mathematics）等STEM學科分別看作單獨的學科，在學習過程中獨立運用，以實現學科交叉融合，但各科教學內容的安排會注重彼此之間的聯系。袁智強.交叉融合的STEM教育：背景、內涵與展望[J].教育研究與評論（中學教育教學），2019（3）：35。《義務教育數學課程標準（2022年版）》順應國際潮流，多處強調了“跨學科主題學習”“跨學科的應用意識與實踐能力”和“跨學科背景”。我們認為，立足數學學科開展跨學科STEM教學，有助于學生認識數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值，從而培養對數學的好奇心。《義務教育數學課程標準（2022年版）》第一次把“對數學具有好奇心和求知欲”列為課程總目標之一。

基于這樣的想法，我們設計并實施了《翻轉的數學》一課，引導學生探究四面體翻轉環。

一、設計思路

因為教學內容主要涉及四面體及其展開圖、三角形全等、特殊三角形、勾股定理、鑲嵌等數學知識，STEM情境主要涉及氣體密度、浮力、重力等科學知識，根據人教版數學教材和物理教材的內容，本節課安排在初二下學期教完“平行四邊形”一章之后最為合適。

本節課采用“6E”教學模式，教學過程包含以下6個環節：情境引入（Engage）、折紙探究（Explore）、折紙工程（Engineer）、原理解釋（Explain）、模型精致（Elaborate）和總結評價（Evaluate）。李雪琴，袁智強，戴颯英.基于STEM教育理念的初中數學“綜合與實踐”一例——《飛翔的數學》教學及啟示[J].教育研究與評論（中學教育教學），2020（6）：3439。各個環節的總體設計如下：

第一個環節：教師通過一個專注于仿生技術和氣動自動化的公司研發的智能翻轉飛行器創設情境，將STEM相關學科知識融入飛行器模型的呈現和原理的講解中，展示充滿未來感的科技產品，從而激發學生的好奇心和求知欲，提高學生的學習主動性;引導學生聚焦并探索飛行器特殊的飛行模式及其背后的幾何特征，培養學生用數學的眼光觀察現實世界，用數學的思維思考現實世界，用數學的語言表達現實世界的意識。

第二個環節：教師通過折紙工藝呈現飛行器迷你模型，引導學生觀察、分析并總結模型的幾何特征，通過拆解折紙模型了解折疊步驟，得到模型展開圖，理解“拆解”和“制作”是兩個互逆的過程，培養學生的觀察能力和動手能力，增強學生的體驗感;引導學生以學習小組為單位，探究展開圖中的三角形與立體模型中的三角形的對應關系，并通過拆解和展開四面體的實踐操作，簡單、直觀地呈現出單個四面體展開圖與整體展開圖之間的聯系，讓學生關注和感受從平面圖紙向立體模型轉化的過程。

第三個環節：教師帶領學生制作折紙模型，請完成的學生上臺分享作品，未完成的學生上臺分析問題。通過作品對比，培養學生觀察、分析和歸納推理的能力;讓學生在“玩”中學，在感受折紙魅力的同時，思考翻轉中蘊含的數學知識;通過“失敗”的作品，培養學生直面困難的勇氣，激發學生探究原因的好奇心，提高學生主動思考的積極性。

第四個環節：教師引導學生以學習小組為單位，探究四面體翻轉環實現翻轉的關鍵。先讓學生自主觀察、相互提問、交流解答、記錄過程并整理結論，再對學生的總結進行評價和補充;使用動態數學軟件GeoGebra進行3D建模，使學生能直觀形象地看到翻轉的臨界位置，并細致地觀察和分析，培養學生的直觀想象核心素養;同時，關注學生受挫時的心理狀態，強調“失敗是成功之母”，對學生進行挫折教育，并給予及時的鼓勵。

第五個環節：讓學生自主繪制圖紙、設計具有萬花筒效果的四面體翻轉環，引導學生深度認識翻轉環中每個面與平面圖紙中每個三角形的對應關系，讓學生在動手實踐中再次感悟平面圖形與立體圖形之間的聯系;以四面體翻轉環為鑰匙，開啟折紙領域的大門，開拓學生視野，發散學生思維，促進學生自主學習折紙藝術并探究其中的數學奧秘，從而寓教于樂，既完成知識的遷移與應用，又激發學生的好奇心，同時培養學生自主學習的能力。

第六個環節：以提問的形式帶領學生回顧課堂學習過程，幫助學生梳理學習內容，總結思想方法，方便學生對課堂知識進行遷移應用和自主探究。

二、教學流程

（一）情境引入：根據現實應用，抽象幾何模型

師今天，老師要向大家介紹一個很特別的飛行器，請大家仔細觀察視頻中飛行器的飛行方式，看看到底“特別”在哪里。（播放視頻）大家觀察到特別的地方了嗎？

生和我們一般見到的飛機的飛行方式不同，它是翻轉飛行的，而且好像沒有發動機。

師這位同學的觀察非常到位。視頻中的智能翻轉飛行器是一個專注于仿生技術和氣動自動化的公司生產的面向未來的科技產品。（出示圖1、圖2）飛行器采用的極輕量化材料內部充滿了氦氣，由于氦氣的密度比空氣小，所以飛行器受到的浮力比重力大，以此實現懸浮。通過電動驅動元件和智能控制面板的組合裝置，實現對飛行器飛行狀態的調控。再結合其特殊的幾何結構，實現翻轉飛行。大家想學習制作這個飛行器的模型嗎？

生想！

師想要完整地復制出這個飛行器，我們需要豐富的跨學科知識。今天，我們主要用數學的眼光觀察和分析它的幾何特征，并用折紙工藝完成模型的制作。

（二）折紙探究：觀察幾何特征，探索折疊步驟

師（出示模型，如圖3所示）老師利用折紙工藝，制作出了這個飛行器的迷你模型。

（教師提出問題1：請同學們仔細觀察折紙模型，你發現它具有哪些幾何特征？）

生我觀察到它的幾何特征有：①具有對稱性;②是由6個完全相同的四面體組成的環狀幾何體;③相鄰2個四面體有且僅有1條公共棱;④可以實現360°翻轉。

師這位同學總結得非常到位。根據以上特征，我們稱這樣的幾何體為“四面體翻轉環”。要想知道這個四面體翻轉環的折紙模型是如何制作的，首先要解密它的設計圖紙，也就是畫出它的展開圖。而拆解模型是最直接的方式。下面，我們一起將它拆開看看。

（教師用折紙模型向學生展示拆解過程：解開固定層—逐層外推—得到直筒—剪開粘合處—得到如圖4所示的展開圖。）

師通過剛剛的拆解，同學們知道大致的折疊步驟了嗎？

生就是拆解的逆過程。

（教師提出問題2：請同學們仔細觀察模型展開圖，圖中的三角形有什么特征？與折紙模型中的三角形有怎樣的對應關系？）

師請大家帶著問題，以學習小組為單位，先自主觀察，再相互提問交流想法。請每組的組長安排一位成員記錄，最后老師將請一些代表上臺，分享小組交流的成果。

生圖紙的正反面因為折疊有明顯的凹陷和凸起，這些痕跡是折疊的關鍵。圖紙中最基本的圖形是直角三角形和等腰三角形。直角三角形兩直角邊的比為2∶1，等腰三角形底邊和底邊上的高的比為1∶1，兩個直角三角形可以拼成一個等腰三角形。

師知道了這些基本信息，同學們就可以自己畫出圖紙了。我們可以清晰地看到，圖紙被分為6列，每列有4個等腰三角形，共24個。這是從平面圖紙中得出的結論，是否能通過其他方法得出等腰三角形的數量？

生從折紙模型中可以看出，一個四面體翻轉環中含有6個四面體，四面體的每個面都是等腰三角形，所以有24個等腰三角形。

師觀察得非常到位，這位同學已經脫離平面的束縛，能從立體的角度思考問題了。由此可知，這張圖紙中包含了6個四面體的展開圖。

（教師提出問題3：四面體展開圖與整體展開圖有怎樣的對應關系？然后使用動態數學軟件GeoGebra展示四面體展開過程，如圖5所示。）

師這是大家容易想到的一種展開方式，底面不動，側面展開，狀如開花。大家覺得這種展開方式是不是就是我們這個四面體翻轉環中每個四面體的展開方式呢？為什么？

生不是，6個這樣的展開圖無法拼接成圖紙的形狀。

師那它的展開方式到底是怎樣的呢？實踐出真知。我們請一位同學上臺，從四面體翻轉環中剪下一個四面體，并將它展開。

（學生操作，得到如圖6所示的展開圖。）

師我們可以看到，單個四面體的展開圖為4個等腰三角形加上2個起固定作用的直角三角形共同組成的一個小矩形。6個這樣的小矩形就構成了四面體翻轉環的展開圖。

（三）折紙工程：制作折紙模型，展示交流作品

師知道了折紙模型及其展開圖的基本幾何特征和對應關系，我們就可以開始制作四面體翻轉環的折紙模型了。請大家拿起新的圖紙，跟著老師一起來制作。

（教師展示制作步驟，同步進行制作——①圖紙預折：將圖紙中每一條描線折成統一的山形折痕，如下頁圖7所示;②粘合成筒：將圖紙順著豎直的折痕方向圍成筒狀并用透明膠粘合，注意上下對齊，如圖8所示;③內折成形：輕按紙筒一端相間的三點，向內折疊壓下，并重復以上過程直至成形，注意始終從同一端向內折疊，如圖9所示。學生跟著制作。）

師請完成的同學上臺展示一下你們的作品，未完成的同學分析一下自己遇到的問題。

（教師展示三個學生的作品，如圖10所示。）

（教師提出問題4：請同學們仔細觀察，并說一說成功的作品有什么不同？沒成功的作品出現了什么狀況？）

生我的是2號作品，我們小組另一位同學的是1號作品。我發現，1號作品可以翻轉，但中間始終留有空隙;2號作品也可以翻轉，且中間沒有空隙。

生我的是3號作品。我遇到的問題是，紙在折疊過程中因為擠壓而變形，導致難以繼續折疊。

（四）原理解釋：對比模型差異，探究翻轉原理

（教師提出問題5：四面體翻轉環滿足什么條件時可以實現翻轉？具體來說，到底是什么原因導致1、2號作品的差別？又是什么原因使得3號作品無法順利折疊？）

師（展示三種圖紙，如圖11所示）老師給每個小組都發放了三種圖紙，所以才會有這三種作品。請大家以小組為單位，對比圖紙與圖紙、作品與作品、圖紙與作品之間的差異和聯系，一起尋找背后的原因。

師哪一組同學愿意分享一下你們的發現？

生我們發現，2號圖紙中等腰三角形的底邊∶底邊上的高=4∶4，而1號圖紙中相應的比是4∶4.5，3號圖紙中相應的比是5∶4。所以，我們猜測：當這個比值小于或等于1時，可以完成折疊并實現翻轉。

師這一組同學有一個很重要的發現，他們對比測量了圖紙中等腰三角形的數據，發現造成差異的原因是等腰三角形的底邊與高的比值不同。其他組同學有不同的發現嗎？

生我們對比作品發現，1號作品在翻轉過程中一直留有空隙;2號作品在翻轉到側棱與桌面垂直時，6個四面體的頂點重合，縫隙恰好消失;3號作品在折疊過程中，6個四面體的頂點重合過早，導致繼續折疊下壓就會發生變形。所以，我們猜測：2號作品中6個四面體頂點重合的位置和縫隙的有無是實現翻轉的關鍵。

師這一組同學是從立體的視角來探究問題的。那么，我們怎么把兩組同學的發現聯系到一起？平面圖紙中等腰三角形的底邊與底邊上的高的比值是怎樣影響立體模型的翻轉的？下面，我們一起利用動態數學軟件GeoGebra做進一步的探究。（同步操作GeoGebra，展示圖12）這是2號作品的3D模型，顯示的就是剛才這位同學所描述的關鍵位置。（展示圖13）從正視圖來看，四面體最外側的棱EF與桌面是垂直關系;（展示圖14）從俯視圖來看，四面體內側的6個頂點重合于點D，6個四面體無縫銜接。作平行于桌面的動平面α，請問：當α過點D時，它截四面體翻轉環形成的截面是什么形狀？

生六邊形。

生正六邊形，因為三角形是全等的。

師這位同學觀察得非常細致。（展示圖12）因此，我們可以知道，2號作品中心的橫截面是由6個邊長為4的正三角形組成的正六邊形，它們是無縫拼接的，我們稱這樣的拼圖方式為平面鑲嵌或密鋪。鑲嵌的關鍵點是：在公共頂點處，各角的和是360°，6個正三角形的底角之和正好是360°。（稍停）△ACD是等邊三角形，所以CD=CA。而CD是等腰△EDC的底邊，CA是等腰△CEF的高，△EDC和△CEF全等，因此，△CEF的底邊∶高=1∶1。所以，平面展開圖中等腰三角形底邊與高的比值是控制橫截面三角形能否鑲嵌的關鍵。老師給出了2號作品的截面，有同學能類比2號作品，對1號作品作出相應的分析嗎？

生1號作品截面的三角形沒有鑲嵌。因為截面中三角形底邊與腰長的比值為4∶45，根據“大邊對大角”，三角形底角大于60°，所以底角之和大于360°，因此無法鑲嵌;但因為留有縫隙，所以可以翻轉。

師很好！（展示圖15）我們來對比一下1號作品和2號作品的截面。（稍停）那么，3號作品呢？

生3號作品在點D的上方就會實現鑲嵌，因此，若再強行下壓，就會發生形變。

師總結得非常到位！我們通過截面將平面圖紙中等腰三角形底邊與高的比值與立體模型的翻轉情況聯系起來，發現了控制模型空隙和實現翻轉的關鍵：最大橫截面處6個三角形中指向中心的內角和要大于或等于360°，圖紙中等腰三角形底邊與高的比值要小于或等于1。有了這個發現，大家就可以自己去繪制圖紙，制作出各種各樣的四面體翻轉環了。拿到3號圖紙的同學課后可以來領取1號、2號圖紙，重新制作模型。雖然我們沒有順利完成折疊，但在科學試驗中，失敗往往是成功之母。制作過程中出現的阻礙，可以激發我們的好奇心，激勵我們進一步思考，從而解決問題。

（五）模型精致：遷移課堂知識，自主設計模型

（教師布置如下課后學習任務。）

任務1四面體翻轉環的英文名稱為kaleidocycle，靈感來自“kaleidoscopic cycle”（萬花筒一般的環）。請大家以小組為單位，自己繪制圖紙，設計具有萬花筒視覺效果的四面體翻轉環作品。

任務2折紙藝術起源于中國，其歷史可追溯到公元583年。折紙藝術不僅具有審美價值，還蘊含數學運算和空間幾何原理。請同學們尋找或制作其他具有特殊幾何特征的折紙作品，自主探索其中的數學奧秘，并撰寫一份學習報告。

師我們一起來觀看一個折紙工程的科普視頻。（播放視頻）從這個視頻中，我們可以了解到，折紙不僅是生活中常見的手工藝品，它在生物學、建筑學、航空航天、機械工程、服裝設計等諸多領域都有很高的應用價值。一個小小的折紙作品尚且蘊含如此多的數學知識，更不用說我們所處的大千世界。生活處處皆數學，希望大家都會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界。

（六）總結評價：梳理課堂脈絡，升華活動主題

師本節課，我們主要學習了什么內容？完成了哪些任務？

（教師引導學生總結學習內容：認識了智能翻轉飛行器，觀察、拆解、分析、制作了飛行器的折紙模型;知道了四面體展開圖與整體展開圖的關系;通過對比三類作品及其圖紙，知道了四面體翻轉環實現翻轉的條件;在折紙過程中感受了平面圖形與立體圖形之間的轉換關系;了解了折紙工藝在諸多領域的重要作用。）

師你認為本節課體現了哪些數學思想方法？

（教師引導學生總結數學思想方法：數形結合、化歸與轉化、分類與整合、特殊與一般等。）

三、總結與啟示

（一）彰顯數學的四個價值

關注學科價值的課程內容設計有助于激發學生的學習興趣，培養學生的好奇心。在數學課中開展跨學科STEM教育，要彰顯數學學科的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值。例如，本節課基于智能翻轉飛行器的STEM情境，從數學視角抽象幾何模型、探究翻轉原理，剖析前沿科技中蘊含的數學知識，體現數學的科學價值;在此基礎上，開展數學和折紙在生物學、建筑學、航空航天、機械工程、服裝設計等諸多領域中應用價值的科普，拓寬了學生的視野，有助于學生的職業生涯規劃。本節課的文化價值主要體現在激發興趣和數學育人兩個方面：學生高度參與的數學活動探究課有助于打破學生對數學枯燥無味的刻板印象，即使無法完全扭轉學生的態度，也可以在一定程度上激發學生的好奇心;在折紙過程中，教師將學生面臨的挫折與失敗轉化為學生思考與探究的動力，激起學生直面困難的勇氣。此外，飛行器及其模型展現的簡潔、對稱、和諧的數學美，有助于學生體會從感性美到理性美的轉變。

（二）突出課程的五個特征

培養學生對數學的好奇心的活動課以跨學科STEM教育理念為支撐，開展以學生為主體的基于問題、基于探究、基于設計、基于協作的學習。本節課中，問題的提出源于真實的情境，并產生問題串和相關追問。基于問題的學習強調以學生為中心，引導學生在問題的提出、探究和解答過程中完成知識的自主建構。探究是對科學性問題的探究，即學生圍繞提出的問題開展有針對性的探究活動，尋找解釋問題的依據或解決問題的方法，并對討論結果進行闡述和論證。基于設計的學習關注學生在探究過程中為解決問題而設計的方案或產品，方案或產品的設計和實施過程蘊含著對問題的分析與探索，為創造性地解決問題提供了可能。問題探究過程中，協作是主要的探究形式，也是STEM教育理念和活動理論共同強調的特征。豐富多樣的協作互動形式促進了活動的順利進行，提升了學生的協作探究能力和集體榮譽感。

（三）緊扣教學的六個環節

緊扣“6E”教學模式的六個環節設計教學，有利于激發學生的好奇心。情境引入環節的作用是創設情境，產生刺激，喚醒學生的狀態好奇心②張馨雯.好奇心理論研究綜述[J].時代人物，2020（22）：205。。它是活動課堂的序幕，是后續探究問題、活動內容和活動任務的發源。情境的創設應基于學情分析和現實背景，以便引導學生將面對知識缺口時的積極情緒轉換為解決現有知識缺口的強烈意愿，將好奇心轉化為實際的探究。折紙探究、折紙工程和原理解釋環節的作用是開展干預，維持體驗，呵護學生的特質好奇心②。教師要結合具體的情境提供必要的學習支架，幫助學生明確探究方向，確定探究問題，掌握探究方法;讓學生在沉浸式的活動中開展有方向的自主或合作探究，在實踐操作和可視化的成果中尋找問題的答案;給予學生充分表達的機會，傾聽學生的探究成果，在學生給出解答的基礎上進行必要的糾錯、追問、補充、說明、完善和梳理。模型精致和總結評價環節的作用是遷移拓展、培養習慣，形成特質好奇心。E.G.Peterson，J.Cohen.A case for domainspecific curiosity in mathematics[J].Educational Psychology Review，2019（31）：807832。教師引導學生進行新舊知識的融合，讓學生在新的問題情境中實現對知識的學以致用。教師的評價與反饋滲透在每個環節之中，最后的總結評價既是對重要內容的強調和梳理，更是對思想方法的明確。培養學生對數學的好奇心是一個長期的過程，開展跨學科STEM教學，有利于營造一種培養好奇心的學習環境。