重載6+3型液壓冗余驅動六自由度運動模擬平臺優化設計

劉國軍

（湖南理工學院 機械學院，湖南 岳陽 414006）

0 引言

由于精度高、有效載荷大及具有高速運動能力，Gough-Stewart平臺被廣泛用于運動模擬器[1]。大部分六自由度運動模擬平臺只有6個支路，但當負載很重時，會導致支路的驅動力會很大。為了解決這個問題，有很多公司在6個支路Gough-Stewart平臺的基礎上添加了3條被動氣動缸，即為氣源輔助式重載六自由度運動模擬平臺，如Moog公司氣源輔助式重載六自由度運動模擬平臺的總移動載荷高達28 t[2]；天津福云天翼科技有限公司氣源輔助式重載六自由度運動模擬平臺的總移動載荷高達15 t[3]。但有時負載會特別重，如重載坦克運動模擬的負載會高達40 t。此時，采用氣源輔助式重載六自由度運動模擬平臺將不可行。由于冗余驅動可以減小支路驅動力的大小[4-5]，本文將在6個支路液壓驅動Gough-Stewart平臺的基礎上再添加3條主動液壓缸，即構成6+3型液壓冗余驅動六自由度運動模擬平臺。

很多學者對冗余驅動并聯機器人的動力學建模和優化設計進行了研究[5]。Wang L.等[6]首先利用牛頓-歐拉方程對一個三自由度平面運動冗余驅動并聯機器人建立了動力學模型，然后對一個與驅動力相關的目標函數最小進行了尋優。Wu J.等[7]利用虛功原理對平面運動三自由度4-RRR、3-RRR和2-RRR并聯機器人建立了動力學模型，然后利用一個動力學性能指標函數對它們的性能進行了比較。Chen H.等[8]利用拉格朗日方程和達朗貝爾原理對冗余驅動并聯機器人建立了動力學模型。趙和高等[9]首先利用虛功原理和支路雅可比矩陣對8-PSS冗余驅動并聯機器人建立了動力學模型，然后通過提出新的動態性能指標對其動態性能進行評估。

據我們所知，關于6+3型冗余驅動六自由度運動模擬平臺的動力學建模和優化設計的文獻很少。本文將對6+3型液壓冗余驅動六自由度運動模擬平臺的系統進行描述，并建立動力學模型。提出優化設計方法，通過一個案例研究，說明了所提出的優化設計方法的有效性。

1 系統描述

如圖1所示，6+3型液壓冗余驅動六自由度運動模擬平臺由1個動平臺、1個靜平臺和9條支路組成。每條支路由1個液壓缸通過虎克鉸Ai（i=1…9）連接于動平臺和虎克鉸Bi（i=1…9）連接于靜平臺上。分別在動平臺和靜平臺上建立了體坐標系{L}（即直角坐標系OL-XLYLZL）和慣性坐標系{W}（即直角坐標系OW-XWYWZW）。

圖1 6+3型液壓冗余驅動六自由度運動模擬平臺

上、下鉸點分別都在2個不同的平面上。它們的布置圖如圖2所示。其中rA是1～6號上鉸點構成圓的半徑，圓心為點O1；dA是1～6號上鉸點構成的對稱六邊形短邊的距離；rB是1～6號下鉸點構成圓的半徑，圓心為點O；dB是1～6號下鉸點構成的對稱六邊形短邊的距離；A7、A8和A9在以O1為圓心的另外一個圓上，它們分別為對稱六邊形長邊的中點。B7、B8和B9在以O為圓心、半徑為rB′的圓上，它們分別在對稱六邊形短邊的中垂線上。

圖2 鉸點位置示意圖

2 動力學建模

根據動平臺上控制點的位置、速度和液壓缸的位移和速度之間的關系，可以求得9個液壓缸的伸縮速度為式中：pi為Ai在坐標系{L}中的位置矢量在坐標系{W}中的表示；bi為Bi在坐標系{W}中的位置矢量；l˙i為第i個液壓缸的伸縮速度大小；t為坐標系{L}的原點O1在坐標系{W}中的位置矢量；vP為動平臺上控制點在坐標系{W}中的平移速度；ωP為動平臺在坐標系{W}中的轉動角速度。

利用凱恩方程[10]，得到6+3型液壓冗余驅動六自由度運動模擬平臺的動力學模型方程為

式中：J1i和J2i分別為支路i中液壓缸活塞桿端和缸筒端質心處廣義速度到控制點廣義速度的雅可比矩陣；m1i和m2i分別為支路i中液壓缸活塞桿端和缸筒端的質量；I1i和I2i分別為支路i中液壓缸活塞桿端和缸筒端相對于各自質心處的慣量矩陣在坐標系{W}中的表示；a1i和a2i分別為支路i中液壓缸活塞桿端和缸筒端質心在坐標系{W}中的加速度；ωi和αi分別為支路i在坐標系{W}中的角速度和角加速度；JC為負載和動平臺綜合體質心廣義速度到控制點廣義速度的雅可比矩陣；g為重力加速度；fe和Ne分別為作用于負載和動平臺上各外力等效到綜合質心處的合力和合力矩；mC為負載和動平臺的綜合質量；aC為負載和動平臺綜合質心在坐標系{W}中的加速度；αP為動平臺在坐標系{W}中的角加速度；IC為負載和動平臺綜合體相對其質心的慣量矩陣在坐標系{W}中的表示。

3 優化設計

由于液壓伺服系統設計時，需要負載匹配[11]，此時需要得到液壓缸的出力和伸縮速度大小。本文采用在12種工況下液壓缸出力和伸縮速度最大值的最小化作為優化目標。即優化目標函數為：

式中：f1為在12種工況下液壓缸伸縮速度絕對值的最大值；f2為在12個工況下液壓缸出力絕對值的最大值。

由于同時需要對2個目標函數進行優化，本文將采用進化算法NSGA-II[12]進行尋優，迭代次數設為1000，其它參數與文獻[13]設置一樣。

4 實例分析

本節中，利用1個設計實例來驗證本文所提出優化設計方法的可行性。假設用戶要求設計一臺六自由度運動模擬平臺。假設負載為20 t，并假設用戶具體的運動要求如表1所示。

表1 用戶的要求

把dA、dB、rA、rB、rB′和H0作為優化變量。其中H0是中位時上鉸平面到下鉸平面的垂直距離。dA和dB最小距離分別不能小于0.26 m和0.35 m。1 m≤rB≤4 m，1 m≤rA≤4 m，rA≤rB，1 m≤H0≤7 m，0.35 m≤dB≤rB，0.26 m≤dA≤rA，0.35 m≤rB′≤rB。

尋優結束后，優化結果如圖3 所示。在50組優化參數中選擇了f1最小和f2最小的兩組參數，如表2所示。

圖3 最終優化結果

當只有1號～6號液壓缸（沒有7號～9號液壓缸），其它參數與表2中第一組參數一樣時，采用非冗余驅動的六自由度運動模擬平臺在12種工況下的液壓缸的伸縮速度絕對值和出力絕對值最大值分別為f1=0.4597 m/s和f2=170.98 kN。非冗余驅動時比冗余驅動時液壓缸的出力絕對值最大值多56.13 kN，即采用6+3型液壓冗余驅動六自由度運動模擬平臺比非冗余的液壓缸最大出力減少了約32.8%，從而導致非冗余的液壓缸缸徑比冗余驅動的要大很多。根據負載匹配[11]，非冗余的液壓伺服閥最大流量比冗余驅動的要大很多。

當只有1號～6號液壓缸（沒有7號～9號液壓缸），其它參數與表2中第二組參數一樣時，采用非冗余驅動的六自由度運動模擬平臺在12種工況下的液壓缸的伸縮速度絕對值和出力絕對值最大值分別為f1=0.5512 m/s和f2=162.72 kN。非冗余驅動時比冗余驅動時液壓缸的出力絕對值最大值多55.27 kN，即采用6+3型液壓冗余驅動六自由度運動模擬平臺比非冗余的液壓缸最大出力減少了約34.0%，從而導致非冗余的液壓缸缸徑比冗余驅動的要大很多。根據負載匹配[11]，非冗余的液壓伺服閥最大流量比冗余驅動的要大很多。

表2 選擇的兩組參數

5 結語

本文首先利用凱恩方程對6+3型液壓驅動六自由度運動模擬平臺建立了動力學模型，然后利用進化算法對具有明確物理意義的2個目標函數同時進行優化，能得到多組優化解。通過實例分析， 采用6+3型液壓冗余驅動六自由度運動模擬平臺比非冗余的液壓缸最大出力能減少30%以上，從而能選擇較小缸徑的液壓缸和較小流量的液壓伺服閥。從本文分析得到6+3型液壓冗余驅動六自由度運動模擬平臺可以作為重載運動模擬平臺使用。