基于fgoalattain函數的齒輪傳動多目標優化設計

王純， 韓加好，張燕， 盧建國

（連云港職業技術學院，江蘇 連云港 222000）

0 引言

齒輪傳動因其具有傳動效率高、可靠性高等優點，被廣泛應用在機械設備的傳動系統中，隨著工業的發展，機械結構向著大型化、復雜化方向發展，采用傳統優化設計方法設計出來的結構綜合性能一般不能達到理想狀態，很難滿足優化設計要求。為解決以上問題，本文以二級斜齒圓柱齒輪傳動系統作為研究對象，運用最優化理論和方法，建立齒輪傳動多目標優化模型，并采用Matlab優化工具箱（Optimization Tool）提供的函數fgoalattain進行參數優化計算，其計算結果為多目標齒輪傳動優化設計提供一定的參考[1-5]。

1 多目標優化數學模型

1.1 多目標優化設計模型設計變量的選取

對于圖1所示的二級齒輪傳動系統來說，涉及到很多的設計參數及影響因素，為了簡化問題，我們將設計的主要參數作為優化設計變量：

圖1 二級齒輪傳動系統示意圖

式中：mn1、mn2分別為高、低速級齒輪法向模數，mm；z1、z2分別為高、低速級的小齒輪齒數；i1為高速級傳動比；β1、β3分別為斜齒輪的螺旋角，（°）。

1.2 多目標優化模型目標函數的確定

1.2.1 二級齒輪傳動系統體積

1.2.2 二級齒輪傳動系統重合度

對兩級齒輪傳動系統來說，重合度具有更重要的意義，重合度越大，傳動越平穩。我們將嚙合齒輪的重合度的相反數作為第二個優化目標，即目標函數[7]為

1.3 多目標優化模型約束函數的確定

約束條件主要分為幾何和性能兩種約束。幾何約束一般有齒數約束、模數約束、齒寬系數等；性能約束一般包括齒輪齒面接觸疲勞強度約束、齒根彎曲疲勞強度約束[8-12]。

1.3.1 幾何約束

1）齒數約束。根切現象的產生是因為用展開法加工漸開線齒輪時，被加工齒輪的齒數過少，切削刃把齒輪的根部已展成出的漸開線切去一部分。因此，要避免根切，必須是刀具的齒頂線不超過嚙合極限點。綜合考慮傳動效果和結構尺寸的合理性等因素。因此，齒數z取值范圍為

1.3.2 性能約束

1）齒面接觸疲勞強度約束。根據齒輪的齒面接觸疲勞強度校核公式σH≤［σH］，得：

式中：YFa為齒形系數；YSa為應力修正系數；Yβ為螺旋角影響系數；［σF］為許用彎曲應力。

1.4 多目標優化函數—fgoalattain函數

函數fgoalattain是基于序列二次規劃法（SQP）的一種求解非線性約束優化問題的函數，其適用于求多變量有約束非線性的最小值問題。其常用的調用格式為

2 計算實例及結果分析

2.1 已知條件

以某二級斜齒減速器為例，輸入功率為7.4 kW，轉速為1450 r/min，總傳動比i=25.9。齒輪材料及熱處理為：大齒輪選用45鋼，其硬度為240 HBS；小齒輪選用45Cr鋼，其硬度為260 HBS；每天工作12 h，使用壽命為10 a，希望節省材料。

2.2 確定參數

2.3 建立約束條件

根據式（4）～式（12）建立15個約束條件：

2.4 優化求解

本實例是多目標約束優化問題，可選用Matlab優化工具箱中用于求解約束優化問題的fgoalattain函數進行求解。函數fgoalattain是基于序列二次規劃法（SQP）的一種求解多變量非線性約束優化問題的函數。根據設計要求及經驗確定初值、目標值、權重系數及變量上下界：

X0＝［2，2，18，18，5.32，15，15］；goal＝［4×106，－4］；

weight＝［4×106，－4］；Ub＝［3，4，19，19，5.47，20，20］；Lb＝［2，2，16，16，5.05，8，8］。

2.5 優化結果分析

采用fgoalattain函數對本實例中的齒輪傳動系統數學模型進行求解，并對優化結果圓整，得到優化結果，如表1所示。

根據表1齒輪優化前后數值的對比可知：齒輪傳動系統體積從4.2×106mm3減小到2.81×106mm3，體積減小了33.1%，優化效果明顯。同時，齒輪重合度從5.15 增 大 到5.20，增 加了0.97%。優化結果表明，fgoalattain函數對該齒輪傳動系統優化結果合理，效果明顯。

表1 優化前后參數對比

3 結論

本文通過分析，得到了二級斜齒圓柱齒輪傳動系統優化設計的目標函數及約束條件，確立了該系統的設計變量，建立二級斜齒輪傳動的多目標優化模型，并將該模型應用到工程實際中，對該齒輪傳動系統進行合理優化。由優化結果可知，該設計滿足要求，同時節約材料，降低制造成本。