改頭換面 變出精彩

文／陳 建

相信同學們平時做題時都有這樣一種感覺，總有做不完的題目和層出不窮的方法。可是，你知道許多問題都是教材例題或習題“改頭換面”后出現的嗎？下面，我們做個嘗試，看看“改頭換面”的問題你能否看出來。

一、原題呈現

（蘇科版數學教材八年級下冊第91 頁復習題4）如圖1，△ABC和△ADE都是頂角為45°的等腰三角形，BC、DE分別是這兩個等腰三角形的底邊。圖中的△ACE可以看成由哪個三角形通過怎樣的旋轉得到的？證明△ACE與這個三角形全等。

圖1

根據條件，同學們不難發現AB、AD分別繞點A逆時針旋轉45°可得AC、AE，所以△ACE可以看成由△ABD繞點A按逆時針方向旋轉45°得到。條件又告訴我們∠BAC=∠DAE=45°，所以∠BAD=∠CAE，再根據“SAS”就可證得△ABD≌△ACE了。下面，我們對這個問題“改頭換面”。

二、改頭換面

變式1如圖2，若把原題中兩個等腰三角形的頂角45°改為90°，請問BD與CE有什么關系？請說明理由。

圖2

【思路】眼尖的同學已經看出來了，這里僅僅改變了頂角的度數，將“證明三角形全等”改為“探究一組邊的關系”。

線段BD與CE的數量關系為BD=CE。變式后的問題證明方法有變化嗎？沒有變化！其實，兩個等腰三形的頂角是45°還是90°無關緊要，我們主要是用其“相等”的特點，證明方法不變。由原題的思路易得△ABD≌△ACE，由此可見BD=CE，∠ABD=∠ACE。再來看看BD與CE的位置關系，延長BD交CE于點F，由∠ABC+∠ACB=90°，可 得∠FBC+∠ACE+∠ACB=90°，即∠BFC=90°。由此可見BD與CE的關系不僅有BD=CE，還有BD⊥CE。

【點評】線段關系一般要從“數量關系”和“位置關系”兩個角度思考。

變式2在原題的條件下，連接CD，把△ADE繞點A旋轉至DE⊥AC的位置時（如圖3），試證明BD=CD。

圖3

【思路】由于旋轉時△ABD和△ACE始終保持全等，故BD=CE。要證明BD=CD，只要說明CD=CE即可。當DE⊥AC且垂足在線段AC上時，由AD=AE，根據“三線合一”可得AC垂直平分DE，所以有CD=CE，從而得BD=CD。當DE⊥AC且垂足在CA延長線上時，同理可得CD=CE。

【點評】給出DE⊥AC這一條件，意味著圖形的相互位置關系被部分“鎖定”。原來不確定的元素被部分確定，圖形必然出現更特殊的性質，探究時要充分利用這些特殊性質。

變式3如圖4，把兩個等腰三角形的頂角45°改為90°，且AB=AC=2 10，AD=AE=2 2，把△ADE繞點A進行旋轉，DE與線段AC相交于點F，當B、D、E三點共線時，求CE的長。

圖4

【思路】從條件看，該圖形的位置與大小均被“鎖定”。由∠ADE=∠AED=45°得∠ADB=135°。根據勾股定理，得DE=4，BC=4 5。由△ABD≌△ACE，可得∠AEC=∠ADB=135°，BD=CE，所以∠BEC=90°。在Rt△EBC中，BC=4 5，BE與EC的差為4，設CE=x，根據勾股定理，有x2+（x+4）2=（4 5）2，解得x=4，即CE的長為4。

【點評】勾股定理是求線段長常用的方法。如果所求線段不在同一直角三角形中，我們應選擇條件較多的直角三角形，或設法將分散的條件集中到同一直角三角形之中。

變式4在變式3 的條件下，將“DE與線段AC相交于點F”改為“DE與直線AC相交于點F”，當B、D、E三點共線時，求CE的長。

【思路】DE與直線AC相交，旋轉時點F可能在線段AC上，也有可能在線段CA的延長線上。當點F在線段AC上時，思路見變式3。當點F在線段CA延長線上時，如圖5，由△ABD≌△ACE，可得∠AEC=∠ADB=45°，CE=BD，又∠AEB=135°，所以有∠BEC=90°。設CE=x，根據勾股定理，有x2+（x-4）2=（4 5）2，解得x=8。所以CE的長為4或8。

圖5

【點評】在解決動點問題時，如果涉及與直線、射線相交的情況，一般要分類討論，考慮一題多解。若問題沒有給出完整圖形，則需要自己嘗試作圖后思考解決。

同學們，通過上面變式問題的分析，你有什么新的收獲與啟示呢？許多數學變式問題是“形變而神不變”。同學們解題時要透過“變化”的表象看到“不變”的本質，達到“穿上馬甲也能認出”的境界。