綜合除法在求解矩陣多項式的逆矩陣中的應用

摘要：綜合除法是代數(shù)學中一種常用于解決多項式除以多項式，或多項式的因式分解等問題的簡便算法，結(jié)合教學實踐，本文將綜合除法應用于除式為一次矩陣多項式和二次矩陣多項式情形下的求解其逆矩陣的實例中來，進行了例題驗證，進而培養(yǎng)學生多角度、多思路創(chuàng)新融合知識點解決數(shù)學問題的能力和興趣。

關鍵詞：矩陣多項式;逆矩陣;綜合除法

1.引言

若 為 階方陣， 是關于方陣 的矩陣多項式，且滿足 ，同時給定矩陣多項式 ，且，其次數(shù)不高于 的次數(shù)，若存在多項式 ，使得 ，則稱 和 互為逆矩陣。

而綜合除法是代數(shù)學中一種常用于解決多項式除以多項式，或多項式的因式分解等問題的簡便算法[2]。所以在滿足 的條件下，求解給定矩陣多項式 的逆矩陣時，可引入綜合除法進行求解，具體算法如下：

（1）將被除式 按 的降冪次序進行排列（如有缺項以“0”補充），將各項的系數(shù)依次取出排列在綜合除法算式的第一行（如圖1所示）;

（2）（以除式 為一次矩陣多項式為例）將 改寫為 ，則 即為綜合除法算式左側(cè)的除數(shù);

由此可見， 是關于方陣 的三次多項式， 是關于方陣 的二次多項式，關于 的逆矩陣求解依然可通過綜合除法得以實現(xiàn)。

2.結(jié)論

本文主要是針對于整系數(shù)矩陣多項式，在多項式除法的理論基礎性上，采用綜合除法對一次矩陣多項式和二次矩陣多項式求解逆矩陣進行了例題驗證，說明了綜合除法在矩陣多項式求解逆矩陣方面的可行性。進而培養(yǎng)學生多角度、多思路創(chuàng)新融合知識點去解決數(shù)學問題的能力，培養(yǎng)學生的數(shù)學學習興趣。至于矩陣多項式的可逆性判別，尤其是高次矩陣多項式的逆矩陣是否存在及存在條件，本文將不再進行詳盡討論。

參考文獻：

[1]楊海霞，張會凌，吳應琴.用多項式除法求矩陣多項式的逆[J].科技風，2021（11）：65-66.

[2]何麗亞.綜合除法及其應用[J].西華師范大學學報（自然科學版），2011，32（3）：298-302.

[3]同濟大學數(shù)學系.線性代數(shù)（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2019：39-54.

[4]謝澤嘉.矩陣多項式的綜合除法及其應用[J].汕頭大學學報（自然科學版），2010，25（2）：16-22.

[5]徐大樹.矩陣及其多項式的若干問題研究[J].高等數(shù)學研究，2019，22（04）：101-102.

[6]原子霞.矩陣多項式的逆矩陣的計算[J].教育教學論壇，2018（52）：161-162.

[7]張羽馳.矩陣多項式的逆矩陣求解方法[J].黑龍江科技信息，2016（25）：80.

[8]劉洋.綜合除法的推廣及在多項式問題中的應用[J].大慶師范學院學報，2019，39（3）：83-87.

作者簡介：高銘，男，河南濟源，漢族，1991.10，助教，碩士研究生，昆明城市學院，研究方向：應用數(shù)學。