基于陣列天線的改進步長抗干擾算法

嚴大雙， 倪淑燕

(1.航天工程大學研究生院， 北京 101400； 2.航天工程大學電子與光學工程系， 北京 101400)

衛星導航系統具有全天候、全天時、精度高、全覆蓋等特點，因此導航系統在軍用及民用領域的作用都非常巨大。隨著導航在日常生活中的普及，人民的生活質量得到了極大的提高[1]。自導航系統產生并運用以來，就因其精準的導航和定位服務得到了廣泛使用，其不僅方便了人們的生活，而且促進了社會的發展。然而隨著社會的不斷發展，電磁環境的復雜度不斷增加，再加上導航衛星的軌道一般都在20 000 km以上，到達地面的信號很弱，因此接收信號時極易因電磁干擾而性能下降。尤其在軍事領域使用導航信號時，其應用的特殊性使得導航信號更容易被人為蓄意地干擾，嚴重影響導航信號的使用甚至導致信號中斷，而且如果導航中斷將會帶來非常嚴重的后果[2-3]。

現如今，自適應陣列天線技術的運用越來越廣泛[4]，在衛星導航方面，該技術對實現有用信號的精確接收、提高系統的抗干擾能力具有非常重要的意義。陣列天線技術通過接收的信號控制各個陣元權值，在保證對期望信號正確接收的同時，有效抑制干擾信號[5]，而其中的自適應抗干擾算法對最終的效果起著關鍵作用。

在自適應算法中，比較常見的有采樣矩陣求逆(sample matrix inverse，SMI)算法、最小均方誤差(least mean square，LMS)算法、遞推最小二乘(recursive least square，RLS)算法、以及功率倒置(power inversion，PI)算法等。趙常亮[6]在進行抗干擾功能實現時，使用SMI算法，其運算速度快，可以較快地在干擾的方向上形成零陷；但該算法直接對矩陣求逆，運算量較大。苑文學[7]選擇了LMS算法進行抗干擾技術研究，針對定步長LMS算法收斂速度與穩態誤差之間的矛盾，提出了一種改進的變步長LMS算法，收斂速度和抗干擾性能得到了提高；LMS算法雖然運算量小，魯棒性較強，但穩定性相對較差。董浩等[8]基于RLS算法，建立了不同天線模型的導向矢量，并對不同天線模型的抗干擾性能進行了仿真對比；RLS算法相對于LMS算法，收斂速度較快，但其運算量變大了。周博海[9]采用PI算法，在高動態環境下，提出了基于零陷展寬的PI算法，完成了抗干擾技術的實現；PI算法無需干擾信號與期望信號的先驗信息，且計算復雜度低，易于實現。

針對以上情況，現運用陣列天線接收技術，采用均勻圓形陣列天線，對抗干擾技術進行研究。在實現時，采用最陡下降法進行權值的逼近。在對步長進行選擇時，選取太大和選取太小都會對算法產生較大影響，為了解決該問題，現提出一種基于步長變化的功率倒置抗干擾算法，以增大輸入信號的動態范圍，提高算法的收斂速度和抗干擾性能。

1 陣列天線模型

對于抗干擾陣列天線而言，天線陣列的陣型可能會影響到抗干擾的效果和成敗。為了保證算法對干擾抑制的準確性，各個陣元所接收信號要有高度的一致性，為此天線的陣列分布一般排布成對稱的形式。使用較多的且對稱的天線陣列主要有均勻直線陣，均勻平面陣和均勻圓陣[10]。而其中可以對360°的方位進行波束形成的陣列有均勻直線陣、均勻圓陣，而均勻圓陣較平面陣的一大優勢是圓陣是一個旋轉對稱的陣型，對稱中心為陣列圓心。分析各種陣型的特點，本文選擇均勻圓陣進行接下來的抗干擾研究。

γm為圓周上第m個陣元的方位角圖1 均勻圓陣Fig.1 Uniform circular array

均勻圓陣(uniform circular array，UCA)的陣列結構圖如圖1所示，坐標系的原點O作為圓形陣列的圓心，陣列的陣元數目為M，其均勻地分布于半徑為R的一個圓周上[11]。對M個陣元進行編號，從x軸上的陣元開始，編為0號，依次類推，逆時針編號。信號源的俯仰角θ定義為信號入射方向和z軸的夾角，方位角φ定義為信號入射方向投影在平面后，與x軸的夾角。

若以圓形陣列的圓心作為計算的參考點，則圓周上第m個陣元的方位角可表示為

(1)

因此，第m個陣元在坐標系中的空間坐標[12]為

(2)

進而第m個陣元與圓心參考點相比，其相位差φm(θ，φ)為

m=0,1,…,M-1

(3)

式(3)中，λ為接收信號的波長。

第m個陣元的時間延遲τm為

(4)

由式(1)～式(4)可得出該均勻圓陣對于信號在入射方向為(θ,φ)時的導向矢量aUCA(θ,φ)為

(5)

當入射信號數量為N，且來波方向分別為(θ1,φ1)，(θ2,φ2)，…，(θN,φN)時，均勻圓陣的陣列流形矩陣為

A=[a(θ1,φ1),a(θ2,φ2),…,a(θN,φN)]

(6)

式(6)中：A=[a(θ1,φ1),a(θ2,φ2),…,a(θN,φN)]為一個M×N的矩陣；ξi=2πRsinθi/λ；i=1,2,…,N。

2 功率倒置算法原理與實現

2.1 算法原理

功率倒置算法，通常也簡稱為PI算法，功率倒置算法的特點決定了其是具有較強約束的抗干擾算法[13]。功率倒置算法不再對所期望方向的增益進行約束，而是對接收到的各個方向信號均進行抑制，不僅只抑制干擾信號[14]。該算法的特點是接收到信號的功率越強，則在該方向的陣列方向圖的零陷越深，對信號的抑制能力也就越強，因此在對接收的導航信號進行抗干擾時，抑制了干擾信號功率，也就提高了所接收信號的信干噪比。功率倒置算法固定了天線的第一路權系數，在權值更新時，使該權值保持為1，保證了輸出信號有效性，防止出現輸出功率為零的現象。功率倒置抗干擾算法的工作原理如圖2所示。

xM(n)為第M個天線接收的信號； wM(n)為第M個陣元的權值；y(n)為輸出信號圖2 功率倒置算法原理圖Fig.2 Schematic diagram of power inversion algorithm

當陣列的陣子數目為M時，天線接收的信號矢量為

x(n)=[x1(n),x2(n),…，xM(n)]T

(7)

設陣列天線的權矢量為

W=[w1,w2,…，wM]T

(8)

根據式(8)可得出天線的輸出信號的表達式為

y(n)=WHx(n)

(9)

式(9)中：WH為權矢量的共軛轉置；H為共軛轉置。

功率倒置算法推導時采用了線性約束最小方差(linear confinement minimum variance，LCMV)準則，是在該準則的基礎上建立的，令該準則中的約束條件C=s=[1,0,…,0]T，g=1，s為約束矩陣，g為對應的響應向量，則

WHs=1

(10)

進而得出w1=1，即天線陣列的第一路信號的權值系數不變，保持為1，其意義在于：當第一個權值固定不變時，如果接收機接受到了壓制式大功率干擾信號，PI算法通過自適應地不斷更新除第一陣元權值之外的各個權值，直到權向量中各個權值均收斂于穩定值，使得陣列方向圖對干擾信號形成零陷，并使天線輸出的總功率達到最小。因此得到功率倒置算法的權值表達式為

(11)

根據表達式構造性能函數：

L(W)=WHRXW+λ(WHs-1)

(12)

式(12)中：λ為拉格朗日常數；RX為入射信號的自相關矩陣。對性能函數取梯度，并令?W[L(W)]=0，可求得最優權矢量為

(13)

式(13)中：sH為約束矩陣s的共軛轉置。

在該權值條件下的輸出功率P取最小值，最小功率用輸出信號模|y|的平方再求期望E表示，最小功率為

(14)

功率倒置算法在抗干擾時是基于功率的大小進行自適應調整的，其不用在抗干擾前對信號的波達方向進行估計，直接對信號的功率作出響應，如果干擾信號越強，則會在該干擾方向產生越深的零陷，也就對干擾的抑制效果越好。所以功率倒置算法對大功率的干擾信號有更好的濾波效果。

2.2 算法實現

在算法實現時，由于求逆運算會大大增加運算量，特別在FPGA實現時將消耗不少資源，為達到簡化運算的目的，對最優權值進行迭代逼近，運用最陡下降法解決了該問題。由構造的性能函數L(W)，對該函數求極值點，由此可得

W(n+1)=W(n)-μ?W[L(W)]

(15)

式(15)中：μ為算法迭代時的步長，與算法的收斂速度緊密相關。將性能函數代入式(15)中得

W(n+1)=W(n)-μ[2RXW(n)+λs]

(16)

由于sTW(n+1)=1，同時sTW(n)=1，所以：

sTW(n+1)=sTW(n)-μ[2sTRXW(n)+

λsTs]

(17)

進而可得

(18)

所以可以得到表達式：

(19)

以相關矩陣的隨機取樣值RX≈X(k)X(k)H作為RX的近似值來計算，收斂速度不快，將其代入式(19)可得抗干擾算法的最優權值遞推公式為

X(n)HW(n)

(20)

式(20)中：I為單位矩陣。μ的大小與算法的性能有較大關系，為保證算法的收斂性，避免出現權值的發散，式(20)中的參數μ需滿足：

(21)

式(21)中：λmax為輸入信號協方差矩陣的所有特征值中的最大值。

3 變步長功率倒置算法

通過之前的分析，穩定步長的范圍可以體現一個算法的優越性，可收斂步長的范圍越大，算法效果就越好。對輸入信號的功率譜進行處理，通過調整使功率譜變得更加平坦，可以增大穩定步長范圍，也就是即對輸入信號進行白化處理。為消除信號的自相關性，最直接的方法就是歸一化變步長PI算法，在步長式中加入去相關的量[15]。

(22)

利用接收到的信號來改善步長選取矛盾的問題，以Sigmoid函數原型為函數模型出發[17]，構造一種新的變步長算法，將變步長函數表達式設計為

(23)

比較改進前后遞推表達式，可以看出，變步長的表達式中，通過除以信號采樣點瞬時功率，消除了輸入信號的自相關性以及輸入權向量過大而產生的噪聲，也增大了算法的動態輸入范圍。同時，改進之后，提高了權值收斂速度，因此比傳統的 PI算法具有更佳的收斂性能。將變步長因子表達式代入功率倒置算法的遞推公式，可得新的功率倒置算法遞推公式為

(24)

4 實驗仿真與分析

完成了算法的推導與改進之后，為驗證算法性能，采用MATLAB進行實驗仿真與分析。陣列天線根據之前的設計，陣元數目設定為4，均勻圓陣的陣元間距設定為λ/2。設干擾信號的入射方向為(θ,φ)，其中，θ為信號進入天線時的俯仰角，φ為信號進入天線時的方位角。

4.1 常量分析

下面對算法中的常量進行分析，仿真中，設定期望信號的到達方向為(25°,45°)，干擾信號由(30°,30°)的入射角進入，設定干擾信號的干噪比為45 dB，干擾信號類型采用寬帶干擾信號。首先μβ值取定為6×10-2，然后對β分別取不同的值，使得β=2、β=4、β=8、β=16，則變步長μ(n)隨著因子β的增加而逐漸減小。常量因子取不同值時改進算法的權值收斂情況如圖3所示。由于功率倒置算法(PI)及其改進算法的原理決定了第一路權值W1恒為1，因此，為了在顯示其他權值的收斂曲線時能夠更清晰、準確，仿真時僅顯示不斷變化的三個權值W2、W3、W4，權值W1不再顯示在圖3中。

如圖3所示，圖3(a)中算法的收斂速度最快，經過了大約377次迭代之后收斂于穩定值，圖3(b)中算法的收斂速度相對于圖3(a)有所減慢，經過了大約686次迭代之后才收斂于一個穩定值。可見，隨著常量β的增加，改進算法的收斂速度逐漸減慢。當β值增加到一定量的時候，算法的權值向量在有限迭代次數范圍內無法收斂于一個比較穩定的值，如圖3(c)和圖3(d)所示，經過仿真的最大迭代次數1 000次迭代之后，權值沒有完成收斂，收斂速度較慢。

在對改進算法的常量因子β進行取值時，在保證系統不出現失調和權值發散的條件下，盡可能取一個較小且合適的常量因子β，有助于提高算法的收斂速度，節省算法運算時間，提高最終陣列天線的抗干擾效率。

圖3 改進算法中β不同取值時的權值收斂圖Fig.3 Convergence graph of weights for different values of β in the improved algorithm

圖4 改進算法中μβ不同取值時的權值收斂圖Fig.4 Convergence graph of weights for different values of μβ in the improved algorithm

下面對取不同的μβ值時權值的收斂情況進行仿真分析，首先取定β=2，然后對μβ分別取不同的值，使得μβ=1×10-2，μβ=2×10-2，μβ=4×10-2，μβ=8×10-2。常量因子μβ取不同值時改進算法的權值收斂情況如圖4所示。與常量因子β的仿真類似，為使仿真結果更加精確，由于第一路權值W1恒為1，因此，仿真時僅顯示不斷變化的三個權值W2、W3、W4，權值W1不再在圖中顯示出來。

由圖4可以看出，圖4(a)中的權值收斂速度最慢，在最大迭代次數1 000次迭代之后仍未收斂于一個穩定的值，圖4(b)中的權值收斂曲線在大約970次迭代之后收斂，圖4(c)中的權值曲線在大約500次迭代之后收斂于穩定值，圖4(d)中的權值曲線在大約290次迭代之后就收斂于穩定值。由圖4的仿真結果可以得出，隨著常量的不斷增大，改進算法的權值收斂速度逐漸增大。因此，在取值允許的范圍內，取一個較大且合適的常量因子μβ時，有助于提高算法的收斂速度，節省運算時間，提高最終陣列天線的抗干擾效率。

4.2 算法性能比較

改進算法基于功率倒置算法，采用了變步長的思想，對改進步長算法與固定步長算法進行對比分析，仿真分析中，仍然采用4陣元的均勻圓陣，設定期望信號由(25°,45°)的入射角進入，干擾類型設為窄帶干擾，兩個干擾信號的入射方向分別為(30°,30°)和(50°，200°)，干噪比為統一值45 dB。仿真中，取權值的穩定精度達到10-5時認定為權值收斂。

兩種算法的權值收斂情況如圖5所示，因第一路權值W1恒為1，故僅顯示W2、W3、W4三個權值。由圖可以看出，兩種算法都能在大約100次迭代以內完成了收斂，在接收信號相同條件下，變步長算法在確保了權值穩定精度的前提下，可以更快地收斂到穩定值附近。

圖5 固定步長算法與變步長算法的權值收斂曲線Fig.5 Convergence curve of weights of fixed step size algorithm and variable step size algorithm

上節分析對比了固定步長算法與變步長算法的權值收斂情況，接下來對改進前后算法的干擾抑制效果進行對比。仿真時，在接收的信號中，期望信號由(25°,45°)的入射角進入，干擾數目與干擾信號強度同之前保持一致，干擾信號的形式為點頻干擾，兩個干擾信號的入射方向分別為(30°,30°)和(50°，200°)。兩種算法的干擾抑制結果如圖6所示，為了使零陷深度觀察得更清楚，圖6中顯示為陣列方向圖的側視圖。

圖6 PI算法二維方向圖Fig.6 Two-dimensional pattern of PI algorithm

對比圖6可以看出，兩圖所形成的零陷深度有所不同，圖6(b)改進的變步長算法比圖6(a)固定步長算法形成的零陷深度更深，改進后較改進前深10～20 dB，也即本文所提算法可以得到更好的抗干擾效果。

4.3 干擾信號功率與權值收斂速度的關系

在驗證干擾功率大小與權值收斂快慢的關系時，干擾數目設定為兩個，干擾的方向分別為(30°,30°)和(50°，200°)，仿真中，通過設定不同的干擾功率，分析不同干噪比條件下各個陣元權值的收斂情況。仿真中，干擾信號采用寬帶干擾信號，分別設置三組不同大小的干噪比，統計分析不同干噪比對各路權值收斂速度的影響，不同干噪比條件下的陣列方向圖和收斂曲線分別如圖7和圖8所示。

圖7 不同干噪比陣列方向圖Fig.7 Array patterns for different interference-to-noise ratios

圖8 不同干噪比權值收斂曲線Fig.8 Convergence curves of weights for different interference-to-noise ratios

由以上的仿真結果，繪制出不同干噪比與陣元權值收斂的關系曲線，結果如圖9所示。

圖9 干噪比與迭代次數的關系Fig.9 The relationship between the interference-to-noise ratio and the number of iterations

由圖9可知，隨著干擾信號干噪比的不斷增大，權值收斂所需的最少迭代次數逐漸減少，也即算法收斂速度隨著干噪比的增加逐漸變快。如果快拍數越來越多，說明權值收斂越來越慢，甚至當干擾功率低于某值時，收斂的快拍數達到了仿真的最大值，但權值仍未收斂，導致陣列天線抗干擾不成功。因此，在設計抗干擾實驗時，為保證對一定范圍干擾功率的抑制效果，權值收斂的快拍數不能太少，以保證權值能夠充分收斂，達到較好的干擾抑制效果。

5 結論

針對空間中導航信號易被各種電磁環境影響的特點，對干擾抑制技術進行了研究，通過仿真得到以下結論。

(1)針對傳統的抗干擾算法在求解時求逆的問題，對算法的權值進行迭代逼近，簡化了運算量。

(2)由于固定步長選取時的局限性，以及算法對信號處理的動態范圍，本文提出了新的變步長抗干擾算法，通過信號的瞬時功率對步長進行改善。由仿真實驗可以得出，本文提出的變步長算法相比于固定步長算法，收斂速度得到了提高，零陷深度較改進前加深了10～20 dB。并且，算法可以對較大動態輸入范圍內的干擾進行有效抑制，對干擾具有較好的抑制效果。