高中數學新教材中的數學文化研究

戴姍姍 朱哲

[摘? 要] 基于數學文化的視野，從欄目分布、文化類型、運用水平以及文化功能對新人教A版高中數學必修教材“指數函數與對數函數”進行量化分析. 研究發現：數學文化類型分布不均衡，數學文化功能略顯單一，等等. 建議數學教科書呈現多樣數學文化類型、體現全面且高層次的文化功能等.

[關鍵詞] 數學文化;高中數學;教材

把數學文化內容與高中數學各模塊內容有機結合是高中數學課程明確提出的要求. 《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課標》）中提到：“教材應當把數學文化融入到學習內容中，可以適當地介紹數學和科學研究的成果，開拓學生的數學視野，激發學生的學習興趣與好奇心，培養學生的科學精神.”[1]數學教材作為數學知識傳播的重要媒介和重要工具，同時也是教師教學、學生學習數學的主要資源. 對數學教材中的數學文化進行解讀，有利于教師對教材的深入掌握，有利于將數學教材中數學文化所蘊含的核心素養、數學方法深入傳遞給學生，同時能夠培養學生學習數學的積極性與興趣. 當數學文化真正滲透進數學教材，與數學課堂教學融為一體時，數學的魅力才能真正展現出來，數學就會顯得生動有趣;數學教材通過文化層面對學生進行教學，能讓學生更加專注數學、更加理解數學、更加熱愛數學.

為此，文章以《普通高中教科書·數學（人教A版）》（第一冊）的第四章“指數函數與對數函數”為例，從微觀視角入手，探究“在什么地方滲透數學文化”“滲透了哪些數學文化”“怎樣滲透數學文化”以及“數學文化有什么作用”等問題，對這一章節進行教材分析，以期對教材編寫人員和教育教學工作者提供啟示與建議.

[?] 教材分析理論框架

數學教材作為學生最初接觸數學知識的重要工具，對學生具有高程度的影響力，而數學文化將教育的內容滲透進知識的學習過程中，又具有極大的教育價值，探究教材中數學文化的欄目分布、數學文化類型、數學文化運用水平、數學文化功能，能夠有效考察教材中數學文化的分布情況.

1. 數學文化欄目的分布

教材欄目設置豐富，包括章引言、引入、例題、旁注、閱讀與思考、信息技術與應用、例題、練習題等. 各欄目中都分別滲透了數學文化，借鑒王建磐、汪曉勤、洪燕君的研究[2]，將各個類型相似的欄目進一步進行了整合處理，形成文章對教材中數學文化欄目分布的分析框架，將教材欄目分為非正文、引入、專題、例題、習題五類，具體分類見表1.

2. 數學文化類型

將數學文化與數學教材進行有機結合，通過文化層面讓學生感受數學的魅力，首先必須明確數學文化的教學內容. 過去已有大量的學者對數學文化的類型進行了劃分，汪曉勤為研究各國高中數學教材中的數學文化，將數學文化的類型界定為數學史、數學與生活、數學與科學、數學與人文、數學與藝術、趣味數學六類[3];王建磐等在比較中、法、美高中數學教材時將數學文化內容類型整合為數學史、數學與現實生活、數學與科學技術、數學與人文藝術等四類[2];唐恒鈞、張維忠在研究澳大利亞數學統一評估試題中將數學文化類型分為數學史、數學與生活、數學與科技、數學與人文社會、數學游戲、數學與藝術體育等六類[4];章勤瓊、張維忠將高中數學新教材中的數學文化類型分為體現科學價值的內容、體現應用價值的內容、體現人文價值的內容以及體現美學價值的內容[5].

文章基于上述對數學文化內涵的理解，將“指數函數與對數函數”中的數學文化類型分為數學史、數學與生活、數學與科技、數學與人文藝術等四類. 參照PISA相關分類，將數學文化類型細化，主要具體內容見表2.

3. 數學文化運用水平

數學文化是數學的靈魂所在. 為了全方面從數學文化角度研究數學教材，除了研究數學文化類型外，還需研究數學文化在教材中的運用水平高低，即數學文化與數學知識的關聯水平. 文章借鑒王建磐所提出的框架，將數學史的運用水平由低到高劃分為點綴式、附加式、復制式、順應式四個層次;將其余類型的數學文化的運用水平分為兩大類三小類：外在型和內在型（又細分為可分離型和不可分離型）[2].

4. 數學文化的功能

文章借鑒唐恒鈞、張維忠等引用的Dickenson-Jones基于數學教材與文獻的分析提出的觀點，將數學文化的功能分為五類：提供背景性情境、提供應用性情境、拓展數學思維與方法、促進數學與文化交融、體驗文化實踐[6].

[?] 研究設計

1. 研究對象

將《普通高中教科書·數學（人教A版）》（第一冊）的第四章“指數函數與對數函數”作為文章的分析對象. 該教材是浙江省2020年秋季學期開始全面實施使用的新教材，對其進行研究，有利于較為全面地了解當前數學文化在教材中的具體情況.

2. 研究方法

文章采用的研究方法是內容分析法. 內容分析法是指對教材內容進行客觀、系統、量化分析的一種科學研究方法，文章通過選擇、分類、統計三個步驟對數學文化元素進行定量分析.

3. 數據的收集與整理

在統計過程中，數據的收集與整理遵循以下操作標準實施：

（1）對教材中出現的不同的數學文化元素分別計數，同一個數學文化元素出現在教材不同地方也分別計數，如遺址中遺存物碳14出現在非正文欄目的章引言中，同時也出現在后面的例題中，均計數.

（2）當教材中某一處出現多種類型的數學文化時，取最能反映該處特點的分類. 例如，“函數的應用（二）”的例4，出現了良渚古城水壩數學文化元素，屬于“數學與人文藝術”類型，同時也出現了碳14元素，屬于“數學與科技”類型，考慮到該處試題偏向于碳14數學文化元素，因而被視為“數學與科技”類型.

[?] 研究結果與分析

兩位研究者按照文章的研究框架，對“指數函數與對數函數”這一章節進行了數據分析，對比分析結果，對其中不一致的地方進行了探討，最終達成了一致認識，并且通過數據對比，得到如下分析.

1. 數學文化欄目的分布

“指數函數與對數函數”這一章節共59頁，數學文化內容豐富，多達69處，按照分析框架，對其進行分析，結果如表3所示. 數學文化在習題部分所占比重最大，高達39次，占比56.5%，當然這與習題在教材中所占比例較大有關，同時也與習題本身可容納的數學文化背景有關. 在習題中滲透數學文化，可使習題生動形象，增添趣味性，讓初次接觸相關知識點的學生有親切感. 其次是例題，占比17.8%，例題中的數學文化作為數學知識的背景素材，例題在教材中的篇幅也是可觀的，當然這還與“函數”的學習目的有關聯，意圖讓學生通過應用數學知識來解決實際問題，即函數的應用. 教材的其余欄目（非正文、引入、專題）篇幅相差不大，其數學文化數量也比較接近. 總體來說，“指數函數與對數函數”這一章節的數學文化數量與欄目篇幅的占比較為均衡.

2. 數學文化類型

按照文章的分析框架，對四種數學文化類型出現的次數進行了統計，具體結果如圖1所示.

統計分析后得到，四種數學文化類型的基數分別為數學史5道，數學與生活33道，數學與科技29道，數學與人文藝術2道. 數學與生活和數學與科技所占比重最大，分別占比47.8%和42.0%，兩者相加所占比例高達89.8%，可見教材比較注重學生與生活和科技的聯系，而其他數學文化類型的數量相對較少，數學史和數學與人文藝術僅占7.3%和2.9%.

（1）數學史

從題目數量來看，這一章節的數學文化涉及的數學史數量較少，并未落實將數學史融入教材的理念. 從教材中具體的史料內容來看，4處數學史介紹了數學概念、思想、方法的歷史起源和發展背景，1處介紹了數學家經典語錄. 例如，專題欄目的“閱讀與思考”介紹了中外歷史上的方程求解，展現了中外數學家探究方程求解的歷程;介紹了對數的歷史起源，由于社會生產和科學技術的需要，人們在大數的運算上有了更高的要求，蘇格蘭數學家納皮爾結合運動學和幾何學發明了對數. 專題欄目的“文獻閱讀與數學寫作”引用了法國數學家拉普拉斯的經典語錄：“因為省時省力，對數倍增了天文學家的壽命. ”教材落實了《課標》要求——“將數學史融入中小學的數學教學，有助于學生對數學概念和思想方法的理解”. 但是數學史內容類型單調，可以適當插入數學家生平介紹、數學歷史名題等內容使學生體會到中外眾多數學家在探索數學知識的艱辛歷程和非凡的智慧，培養學生的探索精神.

（2）數學與生活

這一章節的數學文化涉及的數學與生活數量最多，教材在編寫過程中充分挖掘了學生身邊的日常生活、學校生活、社會生活、經濟生活以及職業生活等所涉及的數學內容，充分體現了數學與生活的密切聯系. 習題選材豐富，不僅體現了國民經濟和社會發展、實時的社會熱點問題，又考查了學生多方面的能力，如數學分析能力、閱讀理解能力、數學建模能力等. 但是習題設置方面有部分習題沒有與時俱進，如“函數的應用（一）”中的課后習題11，房價仍停留在2012年;還有部分習題真實性不夠，不具有一定的實際意義，如“4.4 對數函數”中的例題2，設某地初始物價為單位1，該問題背景單一、枯燥，建議教材編擬時能夠新穎創新.

（3）數學與科技

科技是第一生產力，而數學是其他學科的基礎. 在這一章節，數學與科技的數量占比較大，可見教材充分重視數學與科技的力量. 教材中科技的選材內容豐富，在生命科學、地球科學、物質科學、高新技術領域均有涉及，如“對數函數”中的例4“溶液酸堿度的測量”，將化學知識與數學知識相結合，拓展了學生的知識層面，讓學生感受到了數學與科技的緊密相連，同時旁注顯示了人體中胃酸的含量，通過數學知識讓學生計算胃酸的pH值，屬于生命科學與數學的聯系，增添了題目的趣味性.

（4）數學與人文藝術

“指數函數與對數函數”這一章節的人文藝術數量極少，僅含2道，說明數學與人文藝術的聯系體現得不夠緊密，有待加強. 將數學與人文藝術相結合能夠改變學生對數學嚴謹刻板的印象，增添數學學習的興趣，在人文、美術、音樂、建筑等方面含有大量的數學元素，挖掘數學知識背后蘊含的人文藝術素材，讓學生感受到藝術與數學美的熏陶.

3. 數學文化的運用水平

從圖2可以看出，數學史運用水平的分布僅有三個層次——點綴式、附加式和復制式，對應的數學文化數量分別是1，3，1. 附加式是使用最多的一種方式，順應式在這一章節沒有體現. 對于數學史的運用方式多停留在中低水平，間接融入數學史的運用方式不足.

如圖3所示，數學史以外的其他類型的數學文化運用水平則遍布全部層次，外在型、可分離型、不可分離型均有體現，對應的數量分別為3，40，21，占比分別是4.7%，62.5%，32.8%. 可分離型出現的次數最多，其次是不可分離型，其他類型的數學文化以中高水平為主，分布較合理. 進一步考察各類數學文化運用水平的狀況，如圖4所示，數學與生活和數學與科技的運用水平具有較高的層次性，分布較合理，而數學與人文藝術的運用水平集中在可分離型，也就是說人文藝術作為文化背景只是用來掩飾數學問題的，刪去這個文化背景，也不會影響該問題的提出和解決，運用水平較低.

4. 數學文化的功能

如圖5所示，“指數函數與對數函數”這一章節中數學文化的五種功能均有呈現，其中，提供背景性情境出現了9次，提供應用性情境出現了43次，拓展數學思維與方法出現了2次，促進數學與文化交融出現了9次，體驗文化實踐出現了6次. 提供應用性情境在五個功能里一枝獨秀，這與教材對數學應用的重視以及習題欄目篇幅有很大的關系.

[?] 研究結論與啟示

基于《普通高中教科書·數學（人教A版）》（第一冊）的第四章“指數函數與對數函數”中數學文化的欄目分布、類型、運用水平和功能的統計和分析，得出了以下結論：

其一，在數學文化欄目的分布上，數學文化主要集中在習題欄目，將近六成的數學文化均來自于此，當然這與習題欄目可納入的文化元素的多寡以及欄目篇幅有關，但是各欄目數學文化的數量與各欄目在教材中篇幅的比例成正相關，較為均衡.

其二，數學文化類型的分布不均衡. 從數學文化的總量來看，數學與生活占比最大，可見“數學回歸生活”的理念已滲透進了教材編寫人員中;其次是數學與科技，教材與前沿科技的聯系較緊密，兩者總和占九成左右，此現象的出現與可納入的文化素材的多寡、難易等有關聯，也可能與這一章節中函數具有的與實際生活結合的應用性質有關. 但是數學史和數學與人文藝術的數學文化極少，有待改進. 從數學文化內容來看，部分數學文化內容的素材不夠真實自然，還有部分習題選用的素材依舊停留在以前的年代，沒有與時俱進.

其三，在數學文化的運用水平上，數學史的運用水平分布不均衡，主要集中在中低水平，教材主要以附加式為主，順應式的運用水平沒有出現. 其他類型數學文化的運用水平層次均有涉及，主要以中高水平為主，可分離型的運用水平占比最大，數學與生活和數學與科技的運用水平分布較合理，數學與人文藝術的運用水平分布還有待改進.

最后，數學文化的五種功能在教材中均有體現，提供應用性情境的數學文化呈現了一枝獨秀的趨勢，可見教材對數學應用的重視. 其他數學文化的功能就略顯單一，有待深化.

數學教材是數學文化和數學知識點連接的重要通道，針對文章的研究結論，給出如下建議：

第一，在編寫教材時，應注重在例題、習題欄目融入數學文化元素，讓學生體會數學文化的魅力，鍛煉學生的思維能力、實踐能力，為初學新知識點的學生提供有意義的問題背景. 此外，還應盡量做到各欄目中數學文化的數量與欄目在教材中所占篇幅的比例均衡.

第二，在教材編寫時，應適當增加數學史、數學與人文藝術等內容. 事實上，古今中外大量優秀的數學家以及他們濃縮的智慧結晶著作和名題都是很好的編寫方向，在許多文化藝術作品中也蘊含著大量的數學元素，將其融入數學教材，可以增加學生的民族自豪感以及數學美的熏陶. 同時，數學文化背景材料的整合與編寫應真實自然，可以增加一些學生易接觸或對未來有幫助的文化素材;文化素材要與時俱進，可以增加一些時事熱點. 教材在其他數學文化方面太過于強調知識與技能，對于情感態度的價值觀方面的滲透不太突出，這一方面主要是通過數學史進行滲透的，建議教材在編寫時挖掘其他數學文化上的情感態度的價值觀.

第三，數學文化應體現更高層次的運用水平，教材編寫應提倡以順應式為主的數學史運用水平，倡導其他數學文化類型的不可分離型運用水平，使數學與文化成為有機統一的整體，體現數學的應用價值. 建議對于低層次的數學文化，教師在教授時可以適當進行改編. 例如，這一章節有一數學文化介紹了中外歷史上的方程求解歷程，該內容放在了“閱讀與思考”欄目中，內容靠后且篇幅較長，教師往往會讓學生課后閱讀或者教師直接過而不講. 對于這種低層次的數學文化，建議教師對該數學文化加以改編，搜索歷史上方程求解的詳細歷程，將其融入方程的根與函數的零點等相關內容，將過去數學家在方程求解過程中的疑惑問題設置成課堂懸念，從而讓學生感受到數學的樂趣與魅力，而不是以往枯燥乏味的感受.

最后，教材編寫時，要體現更加全面且高層次的文化功能，提倡拓展數學思維與方法，促進數學與文化交融和體驗文化實踐的條目. 學習數學不僅是為了解決問題，更是為了培養學生的數學意識和思維，以及創造能力和實踐能力.

總之，從數學文化的視角來看，《普通高中教科書·數學（人教A版）》（第一冊）的第四章“指數函數與對數函數”還存在一些有待完善的地方，但總體上展現了多樣的數學文化類型，除數學史和數學與人文藝術外的數學文化有著較高的運用水平，并體現了全面的文化功能. 當然，這僅是以教材一個章節內容展開的試驗性研究，教材其他章節是否存在類似的特點，尚需要做進一步的考察.

參考文獻：

[1]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]? 王建磐，汪曉勤，洪燕君. 中、法、美高中數學教科書中的數學文化比較研究[J].教育發展研究，2015，35（20）：28-32+55.

[3]? 汪曉勤. 主要國家高中數學教材中的數學文化[J]. 中學數學月刊，2011（05）：50.

[4]? 唐恒鈞，張維忠. 澳大利亞數學統一評估試題中的文化研究[J]. 數學通報，2016，55（03）：7-11.

[5]? 章勤瓊，張維忠. 高中數學新教材中的數學文化[J]. 中學數學教學參考，2006（21）：1-3.

[6]? 唐恒鈞，張維忠，李建標，佘偉忠. 澳大利亞數學教材中的數學文化研究——以“整數”一章為例[J]. 數學教育學報，2016，25（06）：42-45.