波利亞解題思想對數學教學中“教思考”的啟示

賀文 夏小剛

[摘? 要] 學生思維的發展是培育數學核心素養的關鍵要素. 從波利亞解題思想出發，借助于例題，利用已知激活學生的思維，在問題驅動的教學過程中滲透數學思想、回顧反思，這對培養學生的思維具有時代價值，對教師日常教學具有啟發作用.

[關鍵詞] 波利亞解題思想;教思考;數學教學

美籍匈牙利數學家喬治·波利亞（George Polya）一生發表了200多篇論文和專著，不僅在實變函數、概率論、數論等領域做出了許多開創性的工作，而且他發表的《怎樣解題》《數學的發現》（第一卷、第二卷）《數學與猜想》（第一卷、第二卷）被譯成許多國家的語言出版，其數學思想、教育思想被后世廣為認可，并對數學教育的改革與發展產生了重要影響.

數學核心素養是學生應具備的、能夠適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力，其內核在于“數學思考”，因此數學教學的根本任務就是“教思考”，即引導學生學會用數學思維思考世界. 學生能在基于問題情境的數學活動中學會如何提出問題、建構新知和解決問題. 然而，受應試教育思想的影響，中學數學教學依然普遍存在“重”掌握知識技能、“輕”發展學生數學素養的教學現象. 面對落實核心素養的教學要求，不少教師感到茫然，束手無策. 重溫波利亞的解題思想，不僅能讓我們進一步領略波利亞的數學教育觀——“教會學生思考”，而且從啟發性聯想、多步化歸、數學思考到回顧反思中，感受波利亞解題思想的精髓. 相信，這對于核心素養時代背景下如何教學生思考具有重要的啟發意義.

[?] 波利亞的解題思想

啟發性聯想[1]是波利亞解題思想中的“精髓”. 在問題解決過程中，解題者要善于從已知量、條件等熟悉而又感興趣的事物出發，大膽猜想. 正如波利亞在《數學的發現》（第二卷）中所提到的：“當我們在考察問題的過程中認出某些熟悉的圖形時，我們會顯得特別高興.”[2]比如，在復雜的幾何圖形中，我們通過觀察和辨認，找到了熟知的“三角形”，或是其他我們熟悉的圖形，這促使我們產生“好想法”“好念頭”，產生啟發性聯想. 因為一方面我們熟悉“三角形”的相關概念和定理，另一方面我們曾經解決過關于“三角形”的各種問題，可以說是有經驗的. 這些原有的知識儲備，也許在現有情形下也能派上用場. 一般來說，辨認能引導我們回憶起某些有用的東西，把有關知識動員出來[2]，啟發性聯想也由此產生.

多步化歸[3]是波利亞解題思想中的“基礎”. 通過對波利亞“怎樣解題表”的觀察和研究，發現其實質就是不斷地將問題進行轉化. 比如，將未解決的問題直接轉化為一個已解決的問題，或者將未解決的問題轉化為一個等價的問題，又或者先解決一個更特殊、更一般的問題. 在不斷“轉化”的過程中，拉進“已知”和“未知”之間的距離，從而打通已知和未知之間的路徑，問題得到解決. 在教學過程中，通過波利亞“怎樣解題表”中23個問題或提示語的啟發，學生能不斷將問題進行轉化，經歷“提出問題—解決問題”的過程，在“問題鏈”中層層擊破，既解決了問題，又發展了思維. 如圖1所示，需要解決問題n，若已經解決了問題（n-1），則還需要一步即可;但若要在問題0的基礎上進行解決，那就需要進行多步化歸了.

在此過程中，學生通過問題驅動，達到一個又一個的高度. 從解決問題的角度來說，“問題鏈”一環扣一環，以問題驅動教學，問題被逐一解決;從思維發展的角度來說，學生在螺旋式上升的過程中對問題的認識逐漸深入，思維得以發展.

數學思考是波利亞解題思想的“核心”. 縱觀波利亞在數學教育上所聚焦的領域，從“解題”到“解題教學”再到“教師培訓”，他一直強調要教會年輕人思考——不僅要教給他們知識，并且要教給他們“才智”，即思考問題的方式[2]. 在數學教學中，教師要懂得授人以“漁”，比如在解題的過程中，不僅要追求問題的結果和涉及的知識點，還要注重解答過程，即為什么這樣思考？懂得教給學生思考的方式，使得學生的思維得以發展.

回顧反思是波利亞解題思想的“高地”. “回顧”是波利亞“怎樣解題表”中的第四步，相比于前三步，它往往更容易被忽視. 然而，回顧卻超越了解答所獲得的答案;相反，回顧的目的就是最大限度地利用解決問題的過程而獲取學習的機會，其實質就是反思. 反思不僅能幫助學生有效地學習和掌握數學知識，而且能培養和提高學生解決問題的能力[4]. 即使“回顧”處在波利亞“怎樣解題表”的最后一環節，但筆者想要強調的是，它應該是一種及時的“反思”，即對剛剛完成的解決方案的部分所作出的回顧，它具有及時性. 學生通過及時的反思與回顧，能發展批判性思維，形成善于思考、嚴謹求實的態度，這也是落實立德樹人、數學核心素養的體現.

[?] 波利亞解題思想對數學教學中“教思考”的啟示

下面，筆者將從學生思維活動的角度，借助于例題，向讀者展示波利亞解題思想對數學教學中“教思考”的啟示.

例 △ABC的內角A，B，C分別對應邊a，b，c，已知B=60°，c=1，若△ABC為銳角三角形，求S的取值范圍.

問題已經明確，即求S的取值范圍，那么根據波利亞解題思想的啟示，筆者將從思維活動的起點、思維活躍發展、讓思維更有效和回顧反思這四部分展開闡述.

1. 注重關聯已知，思維活動的起點

如果將解決問題的過程形象成“修橋”，那么第一步就需要弄清楚現有的材料以及腦海中所儲備的橋梁修建知識. 在例題中，一方面，條件已明確，即B=60°，c=1，△ABC為銳角三角形;另一方面，根據上述條件我們能將原有知識調動起來：

①任意三角形中，看到邊、角關系可以聯想到余弦定理、正弦定理;

②例題中，求解三角形的面積范圍能聯想到三角形面積的計算公式：S=acsinB.

學生在調動原有知識儲備的同時，思維活動便開始了. 正是有了思維的作用，學生可以將自己已有經驗中的某部分回憶出來，并且與手頭上的問題聯系起來，進而引發下一步的思考：能否從已知條件跨越到未知？能否拉近已知和未知之間的距離？

2. “問題鏈”驅動教學，思維活躍發展

“問題鏈”驅動相當于一個牽線搭橋的過程，這個環節通過“追問”與“轉化”，不斷從已知逼近未知，從而打通思路，獲得解答. （如圖2所示）

問題1：怎樣求得S的范圍？

通過回憶和辨認，調動起三角形面積的計算公式S=acsinB，并且根據例題給出的條件（B=60°，c=1）將式子進行化簡，得到S=acsinB=a×1×sin60°=a. 這就把求S的范圍轉化成了求a的范圍.

問題2：怎樣求得a的取值范圍？

a是△ABC的一條邊長，根據以往儲存在腦海中關于三角形的“邊”的知識，不難聯想到：在任意三角形中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊. 這是針對任意三角形的“邊”所滿足的關系式. 如果依照例題給出的條件，將“任意三角形”限定為“銳角三角形”，那么能否得到一個關于銳角三角形三邊更為精確的不等關系呢？進而，把求a的取值范圍轉化成求三角形三邊的不等關系.

問題3：怎樣才能求得銳角三角形ABC三邊的不等關系？

通過查閱字典，“關系”的含義為：事物之間相互作用、相互影響的狀態. 那么，在數學中，“三角形三邊的關系”就是指三邊具有相互作用的狀態. 因此在銳角三角形中，求三邊的不等關系，關鍵要得到一個三邊相互制約的關系式，即如何將三邊放在同一個關系式中. 通過關聯已知，我們已經調動了正弦定理、余弦定理等相關知識儲備. 通過余弦定理可以將三角形三邊放在同一個關系式中，不妨嘗試用余弦定理進行計算.

簡解：已知B=60°，則A+C=120°，C=120°-A. 在銳角三角形ABC中，可知0<A<90°，0<120°-A<90°，故30°<A<90°. 根據余弦定理以及A的取值范圍可得0<<①，即求得銳角三角形ABC三邊的不等關系.

回顧問題2：怎樣求得a的取值范圍？

依據問題3得出的結論，再利用一次余弦定理cosB=，可以得到只關于a的不等式.

簡解：在銳角三角形ABC中，已知B=60°，c=1，由余弦定理得cosB===，即b2=a2-a+1②. 將②式代入①式得0<<，解得<a<2，即為所求.

回顧問題1：怎樣求得S的范圍？

根據求得的a的取值范圍以及三角形的面積公式可得S=acsinB=a×1×sin60°=a，于是<S<. 完成解答.

在“問題鏈”驅動環節下，學生思維活躍，并且具有指向性. 以上3個問題并不是孤立存在的，而是一環扣一環. 當發現眼下從“未知”走向“已知”的路不通，那么便可通過“轉化”另辟蹊徑，把未知的、待解決的問題一步一步轉化為已知的、已解決的問題，用問題驅動的方式打通已知和未知之間的道路，讓問題得以解答.

3. 滲透數學思想方法，讓思維活動更有效

在應試教育的影響下，解題教學還存在著不足. 不少教師將解題教學流于表面，他們的教學往往停留在簡單的小結和歸類上，而缺少對數學思想方法的滲透和歸納[5]. 如果說“‘問題鏈’驅動”環節是一個牽線搭橋的過程，那么“滲透數學思想方法”就是一個能讓學習者在“‘問題鏈’驅動”環節中少走彎路，更快達成目的，打通未知和已知的手段.

在數學教學中，教師要教會學生數學思考，即教師教學生在“提出問題的活動”中學會如何提出問題，在“尋找方法的過程”中學會如何尋找方法，在“建構新概念的活動”中學會如何建構新概念[6].

4. 及時回顧與反思

“回顧”是波利亞“怎樣解題表”中的一個環節，將此環節運用好，能鍛煉學生的反思能力，從而養成善于思考、嚴謹求實的態度，這也是《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《課標（2017年版）》）對該學段學生的期待，因此教師在“教思考”的過程中，很有必要將此環節應用于課堂.

再探波利亞“怎樣解題表”，發現其具有三個層面的含義：“你能校對結果嗎？”——強調解答過程的準確性，有利于培養學生嚴謹求實的態度;“你能從不同的方法得出結果嗎？”——從不同的角度思考，從不同的角度解答，能培養學生的發散思維;“你能應用這結果或方法解決別的問題嗎？”——《課標（2017年版）》明確提出“高考的命題建議”：注重數學本質、通性通法[7]. 學生思考一般的解題模型時，能懂得舉一反三，把握知識的本質. 以下，筆者將從“一題多解”和“一般模型”的角度進行回顧與反思.

（1）一題多解：

解法1：在上述的解答過程中采取的是代數方法，是否能借助于幾何方法進行解答？

已知B=60°，c=1，利用幾何畫板將確定不變的條件畫出來，如圖3所示.

銳角三角形ABC帶有任意性與不確定性，不妨假設極限情況：當銳角三角形ABC成了直角三角形ABC（包含了極限思想方法）. 于是得到如下兩種情形：情形1（如圖4所示），c為斜邊;情形2（如圖5所示），c為直角邊. 易證<S<.解法1滲透了極限思想方法和數形結合思想方法.

解法2：在上述問題3中求解銳角三角形ABC三邊不等關系時，除了采用余弦定理外，還能采用其他方法嗎？

聯想類比直角三角形的勾股定理，通過勾股定理能將銳角三角形ABC的三邊包含在同一式子中. 如圖6所示，在銳角三角形ABC中，過A作BC邊的高，交BC于D. 在Rt△ADC中，x2+y2=b2;在Rt△ADB中，（a-x）2+y2=c2，則a2+b2=c2+2ax（a，b，c，x均為三角形邊長，都大于零）. 故得到銳角三角形ABC三邊的不等關系：a2+b2>c2.再由余弦定理得b2=a2-a+1，易求<a<2，則<S<. 解法2滲透了類比和轉化思想方法.

（2）一般模型：

通過回顧與反思，能否找到更一般的模型？首先可以將例題進行抽象：在例題中，已知條件是“一邊（邊c）”和“一角（角B）”;限定條件是“△ABC是銳角三角形”;結論是“△ABC的面積存在一定范圍”. 把握其本質，通過推廣，可以獲得許多模型，稍舉兩例加以說明：

①在鈍角三角形中（限定條件），已知一邊和一角（已知條件），是否可以求得該鈍角三角形面積的范圍（結論）？

②在任意三角形中，已知一邊和一角（已知條件），且三角形三邊滿足一定的關系式（限定條件），是否可以求得該任意三角形面積的范圍（結論）？

參考文獻：

[1]? G·波利亞. 數學與猜想：數學中的歸納和類比（第一卷）[M]. 北京：科學出版社，2001.

[2]? G·波利亞. 數學的發現（第二卷）[M]. 呼和浩特：內蒙古人民出版社，1981.

[3]? 顧泠沅，鮑建生. 數學學習的心理基礎與過程[M]. 上海：上海教育出版社，2009.

[4]? Cai， Jinfa， and Michael Brook. 2006.“Looking Back in Problem Solving.” Mathematics Teaching Incorporating Micromath， no. 196（May）：42-45.

[5]? 楊運標. “怎樣解題表”在解題教學中的運用[J]. 中國數學教育，2019（07）：20-24.

[6]? 涂榮豹. 數學教學設計原理的建構——教學生學會思考[M]. 北京：科學出版社，2018.

[7]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.