隱喻性表征：助力學生數學思維優化

摘要：隱喻性表征對于優化兒童的數學學習具有重要的實踐價值。在小學數學教學中，運用意象圖式的隱喻語言、隱喻思維、隱喻網絡、隱喻映射，可以培養思維的獨創性、靈活性、深刻性、發散性。

關鍵詞：隱喻性表征;思維優化;小學數學教學

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2022）05B-0040-05

隱喻在人們的日常語言和思維中無處不在，直接參與人類的認知過程，是人類生存的基本方式[1]1。隱喻性表征是一種植根于具身經驗，立足于學生心理、生理特點及認知發展規律的知識理解與表達方式，通過身體多維感官與客體的交互作用，形成身體特有的圖式，把一些抽象的概念和結構運用實物、圖像、言語、動作等形象化的方式來表征，將多元、具身的源域圖式結構映射到抽象的目標域概念來理解，以促進學生對學習內容的深入理解和多元表達。兒童因為思維發展的階段性局限，難以理解過于抽象的數學內容，因此，把隱喻性表征引入小學數學教學中，對于優化兒童的數學思維具有重要的實踐價值。

一、隱喻語言：強化內部表征，培養思維的獨創性

隱喻語言的模糊性和不確定性使其較少受到教育界的關注，成為一個被忽視的教育問題[2]。然而隱喻語言作為一種能夠強化內部表征的語言系統在抽象知識的學習中不可或缺。從數學教學實踐來看，隱喻語言產生于兒童的“語言貧困”，即在學生初步認識抽象概念時，由于理解隔閡，從現有的詞匯環境中難以發現用于表達新概念的恰當詞語。這時，作為在日常生活與客觀世界互動體驗的過程中所獲得的基本認知結構，意象圖式可以幫助我們用自身隱喻語言來理解復雜概念，進行內部表征。和精確的規范語言不同，隱喻語言是一種建立在學生具身經驗之上，以熟悉的概念圖式為載體，用自身的話語體系來描述抽象概念的語言，這種語言更加形象化和生活化，更有利于幫助學生理解新概念的意義，并在互動中彰顯思維獨創性的價值。

教學中發現一些學生對于平面圖形的周長與面積的計算經常出錯、混淆，究其原因，還是在初學周長與面積時沒有建立起清晰的表象。一方面，研究模型或素材在呈現時，“面”和“邊”同時進入我們的視野，又都具有“封閉圖形”的特點，教學中教師把兩個概念并置，讓學生對比學習的機會設置較少，導致學生辨析不清“線的封閉”與“面的封閉”的區別，產生錯誤認知;另一方面，從概念教學過渡到計算教學這一環節轉換太快，過于強調計算訓練減少了學生思考、體認概念本質特征的過程，導致概念表象建構不豐滿。隱喻的認知域中包含有內部表征的意象圖式，這種意象圖式來源于人們在與外部世界互動中形成的身體經驗，并運用于以后類似的場景之中進行隱喻理解和推理，是連接感性與理性的橋梁。根據意向圖式的功能，要給學生提供豐富的圖形、實物等感性材料，引發具身操作與觀察分析，感受二維的面和一維的線的區別，通過路徑圖式的描述，隱去面的部分，只留下邊的抽象，運用動作演示把周長概念界定為由一點出發到另一點做連續不斷的運動，產生的運動軌跡即是周長。這樣的動作圖式能夠避免周長受到圖形形狀、圖形面的大小等無關特性影響，而將重點放到一維長度特征。提取學生已有的長度圖式知識，用“A是B”這種概念隱喻模式給周長下一個隱喻定義，則“周長是從一點出發，沿著某一路徑行駛又回到原點，行駛過的軌跡的長短”。而通過摸一摸等動作感知把面積界定為物體表面或圍成圖形面的大小。通過路徑圖式和動作圖式分別描述周長與面積。由此發現，隱喻概念不僅是形象的語言描述，還體現了概念的內在邏輯。

這種通過身體經驗的認知方式、隱喻語言的內部刻畫，實現了對現實世界中的圖形與圖形關系的抽象，得到了數學的基本概念，亦即史寧中教授所說的從感性具體上升到理性具體的思維過程。在教學實踐中，隱喻在概念表征中的可信度是影響隱喻作為一種認知方式的主要阻礙，但以上關于數學概念的隱喻理解卻表明，隱喻不僅是停留在語言層面的描述，它已經超出了其基本功能，達到認知功能層面。隱喻語言的內部表征和解讀是新的意義不斷生成的過程，能實現對數學語言的創造性表達，可有效地提升學生思維的獨創性，實現對數學知識本質的深入理解。

二、隱喻思維：凸顯相似本質，培養思維的靈活性

隱喻思維是指通過已有的熟悉概念來理解、經歷陌生概念時相關的認知活動過程[3]。這種思維是以概念之間已有的相似性或創造出來的相似性為基礎的。前一種是利用人們在認知結構中已經建立起來的聯系為基礎的隱喻，經常用來進行知識梳理、關聯，形成結構化;而后一種是將人們原來經驗中并不認為存在相似性的兩個事物并置在一起，進行比較、推理，從而為探求未知事物提供了新的視角。而在兩個概念之間尋找、創造相似性的過程能有效激發學生思維的靈活性。數學隱喻性表征在形成和理解過程中都依賴于隱喻思維，與歸納思維和演繹思維相比，隱喻思維是一種從特殊到特殊的橫向思維，是在已有的內部概念域中找到與新概念意義相關聯的概念，以基于自身概念意象的隱喻類比來理解新概念的過程。其更貼近學生的認知規律，符合小學生知識遷移學習的特點。而學生已有經驗中的知識不一定和新知識同屬一個領域，或者關聯比較隱蔽，所以運用隱喻思維發揮學生想象力，尋找內在本質的相似性，是一種跨域的概念映射，具有靈活性的特點。

在新知的學習中隱喻思維無時無刻不在被使用。因為新知的學習大部分都不是從零開始，都要激活學生已有知識和具身經驗，如果能夠充分利用隱喻思維進行隱喻類推，完成新知的建構，并根據知識之間的內在的相似性和整體性進行關聯結構化，可以促進學生思維的靈活性，實現高階思維的發展。如“運算律”教學，加法交換律與乘法交換律、加法結合律與乘法結合律都具有內在的聯系，在學生的認知中總是相互影響，彼此關聯。我們可以打破教材編排順序，以算律之間的算理相似性重組教材，以知識之間的內在隱喻邏輯重構教學。當學生以解決計算問題為依托，學習了加法交換律之后，可以引導學生把思維的觸角引向減法、乘法、除法中是不是也有這種交換律。這既是聯想、類比，也是知識相似性的內在萌發。當學生舉例驗證否定了減法和除法，聚焦到乘法后，自然而然地把研究加法交換律的方法、策略遷移到乘法交換律的研究上來。在充分舉例驗證了乘法也存在這樣的規律，并根據兩者算理的相似性類推出乘法交換律的文字表述后，教師適時提問：為什么減法、除法沒有這樣的規律，而加法、乘法具有交換律？你能自己試一試想辦法解釋這樣的規律嗎？學生們的思維和已有的具身經驗被充分調動起來，有的從生活情境出發，舉例還原加法和乘法的原生態表征;有的從加法和乘法的抽象模型“加數+加數=和”“乘數×乘數=積”出發，闡釋了變與不變的哲學觀點;有的運用圖式表征，從加法和乘法意義入手去揭示其本質。多形式的隱喻性表征不僅加深了對運算律的深度理解，而且促進了學生隱喻思維的靈活性和推理意識的發展。

對于加法結合律與乘法結合律也可以從算理、算法的內在相似性角度入手，引導學生具身隱喻、多元表征，理解算律的本質意義和存在合理性。其實小學數學教材中很多概念、技能、方法都具有這樣的內在相似性，如曲線圖形面積與直線圖形面積、百分數的意義與分數的意義、代數與算術等，都可以從結構特征與內在規律等知識本質方面創造相似性，進行隱喻思考和表征，在數學原理、概念之間組織起有效的認知結構，感受數學的一致性，使學生形成簡化的、本質的、對未來學習更有支持意義、內在邏輯性更強的數學認知結構。從而學會用聯系的、發展的眼光看問題，形成科學的思維習慣，提升思維的靈活性。

三、隱喻網絡：優化具身聯結，培養思維的深刻性

在隱喻性表征的視域下，數學是一個隱喻網絡結構，由基礎隱喻和連接隱喻二者構造而成。基礎隱喻是將數學學習中的靶域同數學外的源域相聯系從而理解其意義;而連接隱喻中的源域和靶域均初處于數學體系內，它是在數學不同領域間進行關聯生成新的意義[4]。數學概念與學生具身經驗之間、不同數學概念之間交互、耦合、關聯就形成了復雜的數學隱喻網絡。這種知識的隱喻結構化打破知識的散點分布，對表層認識進行深度掘進，抓住了事物的本質和規律，體現了思維的深刻性。小學數學知識分為“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”四個領域，四個領域知識的編排在教材體系中呈螺旋式上升。運用基礎隱喻可以讓學生在適切情境中借助具身經驗理解抽象概念和運算法則，感悟數學命題的構建過程，感悟問題的本源和數學表達的意義。運用連接隱喻可以把一類知識在不同階段的碎片重新組織起來，不斷把新舊知識縱向關聯結構化，還可以把不同領域的知識橫向關聯結構化，比如數與形的關聯結構化。因此，利用隱喻性表征可以激發學生具身經驗，進行前后知識勾連，認知方法遷移，由此及彼，由點及面，逐漸形成隱喻網絡系統，實現知識的網狀結構化。在知識的相互聯系中去理解事物的規律性和一致性，能全面而深刻地思考、把握當下知識的本質，預測知識的未來發展趨勢，形成結構化整體認知，從而促進學生的深度學習。

如復習“平面圖形的面積”時，教師可課前讓學生制作思維導圖，提取具身經驗，梳理小學學習過的平面圖形面積計算公式，反思面積公式推導方法。課中學生展示、交流作品，用畫圖、學具、語言、動作等不同表征方式表達對長方形、正方形、平行四邊形等圖形面積計算公式的推導過程的理解，并隱喻發現這些圖形面積計算之間的內在關聯，加深對圖形面積計算公式的理解。教師利用多媒體課件動態演示梯形較短的底慢慢變長，變成了平行四邊形;把平行四邊形相鄰兩邊推拉，變成了長方形;把長方形的寬拉長，變成了正方形;圓隨著切拼份數的增多無限趨近長方形。在這樣動態的視覺表征下，學生對平面圖形之間關系的模糊認知逐漸清晰，萌發了事物之間都有聯系與變化的函數思想。繼而教師提問：如果在三角形、長方形、正方形、平行四邊形和梯形中間，只用一個面積公式來計算，你們會選擇哪一個圖形面積公式呢？經過對比思考，一個學生選擇了梯形，并給出了解釋：如果這些圖形的上底邊逐漸縮小到0，都可以變成三角形;反過來，上底邊如果增大或減小又都能變成梯形，都可以用梯形面積公式（a+b）×h÷2來計算。這樣平面圖形面積之間的聯系與發展變化在學生具身感知和隱喻性表征下越來越清晰，計算公式的一致性與整體性認知得以深化，知識的網狀結構慢慢建立，既增進了學生對知識的深入理解與全面把握，又培養了學生思維的深刻性。

四、隱喻映射：依托變式建模，培養思維的發散性

隱喻映射是人們將對熟悉事物的認識映射到陌生事物上，形成源域向目標域的跨越。萊考夫等認為隱喻的心理映射牽涉此事物與彼事物的外在表象與內在特性的關聯，是人類進行新的聯想并形成新的經驗的基本方式，其物質基礎源自人本身與外部世界相互作用的經驗完型與動覺經驗[1]227。小學數學教學中的概念、公式與法則很多都比較抽象，初次感知很難形成一個清晰、準確的印象，更難以用精確的語言進行描述。這時教師可以通過提供變式素材，引導學生觀察操作、體驗感知，引發隱喻映射，尋找并置素材的聯系與不同，發現其本質特征。這一沿著不同方向、不同角度，運用多種方式解決問題的思維就是發散性思維。所以，強化概念的隱喻映射、變式建模可以讓學生舉一反三、觸類旁通，加深對抽象知識的透徹理解，提升學生的發散性思維。

教學蘇教版小學數學四年級下冊“認識三角形”一課時，三角形概念的建立是一個難點，其規范化、精準化的語言界定對于學生來說比較抽象，這時僅僅使用歸納推理無法讓學生順利概括出三角形的概念。所以可以嘗試隱喻映射，依托變式，讓學生從多角度逆向思考三角形的本質。學生經歷從現實生活中尋找三角形，畫一畫三角形后，可以初步感知到三角形的特點：有三條線段、三個角、三個頂點。此時為了引導學生掌握三角形的特點，可以呈現這樣的反例? ? ? ? ? ，以明確三角形的三條邊必須是三條線段;接著可以讓學生用課前提供的吸管、紙條、小棒等做三角形，交流展評時呈現

這樣具有三條線段的圖形，進一步認識三角形的三條線段需要首尾相接;最后多媒體動態演示三條線段首尾相接圍成圖形的過程，讓學生感受三條線段首尾相接圍成的圖形是三角形。這樣的變式呈現，讓學生通過觀察模型，與已有的三角形概念認知進行多次隱喻映射，會逐漸修正已有認知：三角形的三條邊必須是三條線段，但僅僅是三條線段還不行，還需要依次連接。通過反例激活具身經驗，倒逼認知升華，運用動手操作、多媒體線條構形產生視覺沖擊，將學生語言難以表述清楚的動態概念形象化。這樣多角度、多方面的變式呈現，引發學生的隱喻映射、發散思維，讓思維觸角從內向外，往不同方向擴展，蘊含三角形本質特征的動態概念會逐漸清晰起來，學生的發散性思維也會得以培養。

綜上所述，隱喻性表征為小學數學課堂提供了新的視角。隱喻思維和隱喻語言通過凸顯相似性、創造相似性，強化數學知識的內部表征，促進了對知識的具身思考和深入理解;依托變式建模的隱喻映射，優化了多維表征的具身聯結，促進了數學隱喻網絡的構建，有利于數學知識的隱喻理解和內在結構的系統化。在小學數學課堂教學中靈活運用隱喻性表征，可以重組語言表征形式，更好地優化學生思維品質，促進學生認知能力的發展。

參考文獻：

[1]喬治·萊考夫，馬克·約翰遜.我們賴以生存的隱喻[M].何文忠，譯.杭州：浙江大學出版社，2015.

[2]劉文.隱喻認知下小學數學概念表征研究[D].武漢：華中師范大學，2019：30.

[3]胡壯麟.認知隱喻學[M].北京：北京大學出版社，2004：62.

[4]謝圣英，喻平.數學教育中的隱喻研究[J].數學教育學報，2013，22（2）：7.

本文系江蘇省中小學教學研究第十四期立項課題“具身認知視域下小學數學隱喻性表征的實踐研究”（2021JY14-L210）研究成果。

收稿日期：2022-01-04

作者簡介：鄒偉，邳州市建設路小學，高級教師，徐州市青年良師，主要研究方向為小學數學教學。