運用整體思想巧解題

黃秀旺

有些數學問題，如果從局部入手，難以求解，但若能從宏觀上進行整體分析，運用整體思想方法，則能出奇制勝。整體思想方法在七年級數學上冊的有理數的運算、代數式的化簡與求值、解一元一次方程、線段及角的計算、解立體圖形等方面都有廣泛的應用。

一、整體換元再計算

例1 計算：1[-12][+14][-18][+116][-132][+164]

[-1128][+1256]。

【解析】如果按常規方法計算，運算量很大。我們仔細觀察后可以發現，從左到右，符號依次為+、-、+、-、+、-、+、-、+，且后一個數的絕對值是前一個數的[12]，故可將算式當成一個整體來思考。

解：設1[-12][+14][-18][+116][-132][+164][-1128]

[+1256]= x，①

則①×[12]，得

[12][-14][+18][-116][+132][-164][+1128][-1256][+1512]=[12]x，②

①+②，得1+[1512]=[32]x，

解得x=[171256]。

故1[-12][+14][-18][+116][-132][+164][-1128][+1256]=[171256] 。

例2 計算：（1+[111]+[113]+[117]）×（[111]+[113]+[117]+[119]）-（1+[111]+[113]+[117]+[119]）×（[111]+[113]+[117]）

【解析】先觀察算式，發現算式中涉及多個分數，如果直接計算，顯然比較煩瑣。我們再仔細觀察，發現[111]+[113]+[117]或[111]+[113]+[117]+[119]多次出現，故可把它們中的一個或分別把它們當成一個整體來思考。

解：令a=[111]+[113]+[117]，

b=[111]+[113]+[117]+[119]，

則原式=b（1+a）-a（1+b）=b-a=[119]。

二、整體代入求值

例3 若m2+2m=1，則4m2+8m-3的值是 。

【解析】把代數式4m2+8m-3變形為4（m2+2m）-3，再把m2+2m=1代入計算，可得4m2+8m-3=4（m2+2m）-3=4×1-3=1。

例4 已知y=ax5+bx3+cx-5。當x=-3時，y=7，那么，當x=3時，y= 。

【解析】把x=-3代入y=ax5+bx3+cx-5，

得-（35a+33b+3c）=12。我們把35a+33b+3c看成一個整體。當x=3時，ax5+bx3+cx-5=35a+33b+3c-5=-12-5=-17。

三、整體變形解方程

例5 解下列方程：

（1）4（x-1）=1-x;

（2）[2（x+1）3]=[5（x+1）6]-1。

【解析】（1）可以把（x-1）當成一個整體進行變形;

（2）可以把（x+1）當成一個整體進行變形。

解：（1）由4（x-1）=1-x，得4（x-1）=-（x

-1），

移項，得4（x-1）+（x-1）=0，

合并同類項，得5（x-1）=0，

系數化為1，得x-1=0，

所以x=1。

（2）去分母，得4（x+1）=5（x+1）-6，

移項，得4（x+1）-5（x+1）=-6，

合并同類項，得-（x+1）=-6，

系數化為1，得x+1=6，

所以x=5。

四、整體處理線段及角的計算

例6 （1）如圖1，已知點C在線段AB上，AC=8cm，BC=6cm，M、N分別是AC、BC的中點，求線段MN的長度;

（2）如圖1，如果線段AB=14cm，M、N分別是AC、BC的中點，可以求此時線段MN的長度嗎？如果線段AB=acm呢？

【解析】（1）根據點M、N分別是AC、BC的中點，求出CM、CN的長度，則MN=CM+CN;

（2）根據點M、N分別是AC、BC的中點，則CM=[12]AC，CN=[12]BC，所以MN=CM+CN=[12]（AC+BC）=[12]AB。

解：（1）∵AC=8cm，點M是AC的中點，

∴CM=[12]AC=4cm。

∵BC=6cm，點N是BC的中點，

∴CN=[12]BC=3cm。

∴MN=CM+CN=7cm，

∴線段MN的長度為7cm。

（2）∵點M、N分別是AC、BC的中點，

∴CM=[12]AC，CN=[12]BC，

∴MN=[12]（AC+BC）=[12]AB。

當AB=14cm時，MN=7cm。

當AB=acm時，MN=[12]acm。

例7 如圖2，OB平分∠AOC，OD平分∠EOC。已知∠BOD=α，求∠AOE的大小。

【解析】根據角平分線的意義，得

∠BOC=[12]∠AOC，∠COD=[12]∠EOC，

根據∠BOD=∠BOC+∠COD=[12]∠AOC+[12]∠EOC=[12]∠AOE，即可求出∠AOE的大小。

解：∵OB平分∠AOC，OD平分∠EOC，

∴∠AOB=∠BOC=[12]∠AOC，

∠COD=∠DOE=[12]∠EOC，

∴∠BOD=∠BOC+∠COD

=[12]∠AOC+[12]∠EOC

=[12]（∠AOC+∠EOC）

=[12]∠AOE。

∵∠BOD=α，

∴∠AOE=2α。

五、整體處理幾何體的表面積

例8 李強用棱長為1的正方體在桌面上堆成如圖3所示的圖形，然后把露出的表面都染成紅色，則表面被他染成紅色的面積為 。

【解析】本題要計算幾何體的表面積，解決的關鍵是在計算表面積時減去不露的或重疊的面積。如果按一般思路處理較為困難，我們不妨整體考慮。三層中，面朝上的三部分整體就是一個邊長為3的正方形，其面積為9;而其他4面，分別含6個邊長為1的正方形。故紅色部分的面積為9+4×6=33。

（作者單位：江蘇省南京市江寧區教學研究室）