打通任督二脈，通殺立體幾何中的平行問題

胡紹隊

◆摘? 要：近年來，在數(shù)學高考題中，試卷結(jié)構(gòu)與題型比較穩(wěn)定，人教A版通常有六道大題，其中必有一道立體幾何問題，可見立體幾何在高考中的重要地位。但對于對新疆考生來講，難度較大！故歷年考試結(jié)果來看得分率不高，很多考生望而卻步。

◆關(guān)鍵詞：立體幾何;平行;邏輯推理能力

一、知識結(jié)構(gòu)梳理

1.定義：同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線，叫平行線。

2.判定定理：

（1）同位角相等，兩直線平行

（2）內(nèi)錯角相等，兩直線平行

（3）同旁同角互補，兩直線平行

3.性質(zhì)定理：

（1）兩直線平行，同位角相等

（2）兩直線平行，內(nèi)錯角相等

（3）兩直線平行，同旁內(nèi)角互補

4.相關(guān)高頻輔助知識點：

三角形的中位線定理：三角形的中位線，平行于第三邊，且等于第三邊的一半。

5.線面平行系列

（1）定義：直線與平面沒有公共點，叫直線與平面平行

（2）判定定理：不在平面內(nèi)的直線，與平面內(nèi)的某條直線平行，則這條直線和這個平面平行

專業(yè)符號語言：a?α，b?α，a∥b，則a∥α

（3）性質(zhì)定理：直線與平面平行，過此直線的平面與已知直線相交，則這條直線與此交線平行

專業(yè)符號語言：a∥α，a?β，α∩β=b，則a∥b

6.面面平行系列

（1）定義：兩平面沒有公共點，叫兩平面平行

（2）判定定理：一個平面內(nèi)兩條相交直線分別平行于另一個平面，則這兩個平面平行專業(yè)符號語言：a∥β，b∥β，a?α，b?αa∩b=M，則α∥β

（3）性質(zhì)定理：兩面平行，被第三面所截，他們的交線平行專業(yè)符號語言：a∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，則a∥b

二、基本題型

1.基本定理型：此類題目要求考生知道定理是什么，并知道如何用符號語言表達定理即可，要求每位學生都要撐握的題型。

例1：已知經(jīng)定的三棱錐S-ABC，M，N分別是SA和SB的中點，

求證：MN∥平面ABC

證明：因為SM=MA，SN=NB，所以MN是中位線，所以MN∥AB，又因為MN ?面ABC，AB ?面ABC，所以MN∥面ABC

2.雙軌相交直接雙滑式：指欲證明的線面平行中，直線線兩端均在單根直線軌道上，兩根軌道直線相交且兩根軌道直線均與平面相交于MN兩點，則直線MN即為所要找的面內(nèi)線。其本質(zhì)是線面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用。

例2：如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為AD1、CD1的中點.求證：EF∥平面ABCD;

分析：EF兩點均在單根直線D1A，及DC上，且相交于D1點，兩條真線分別與平面交于AC兩點，符合雙軌直滑式模型，故AC即為面內(nèi)線，連接AC即可證明。

證明：如圖，連接AC，

∵E、F分別為AD1、CD1的中點，∴EF∥AC，

EF?平面ABCD，AC?平面ABCD，∴EF∥平面ABCD.

3.雙軌不交單滑式：指欲證明的直線上兩點分別在兩條軌道直線上，但兩條直線并不相交，但均與平面相交于兩點。此類題目需選擇一根軌道把直線沿這條軌道滑過到平面內(nèi)，結(jié)合所給條件，證明線面平行，是高考的主力題型。對考生的觀察能力，推理能力，條件聯(lián)系能力和綜合分析能力均有一定的要求。

例3：如圖所示，四棱錐P—ABCD的底面ABCD是平行四邊形，E、F分別是棱AD、PC的中點.

證明：EF∥平面PAB;

分析：欲證的EF兩點，分別在單軌道 PC及AD上，兩條直線并不相交，但兩條直線均與平面ABP相交，符合數(shù)學模型。在兩點中，顯然E點在AD這條水平標準線上，沿此直線滑向平面ABP，顯然E點將落于A點，猜想F點沿水平方面右移將落于BP線段上，依據(jù)F點為CP的中點，猜想將落于BP的中點M處。故取BP中點M，形成猜想直線AM，并封口FM形成四邊形，顯然只需證明為平行四邊形即可。即把矛盾EF與AM平行轉(zhuǎn)移至FM與AE平行即可，依據(jù)兩中點F，M形成的中位線，通過橋梁CB，與AD發(fā)生關(guān)系，問題得到解決。其本質(zhì)依然是線面平行的性質(zhì)定理的高級應(yīng)用。

證明：如圖所示，取PB中點M，連接MF，AM.

因為F為PC中點，所以MF∥BC，且2MF=BC

由已知有BC∥AD，BC=AD，

又由于E為AD中點，因而MF∥AE且MF=AE，

故四邊形AMFE為平行四邊形，所以EF∥AM.

又AM?平面PAB，而EF?平面PAB，所以EF∥平面PAB.

當然若選擇F點沿CP滑向面內(nèi)的P點，則E點較難控制（可行，但不推薦），建議使用數(shù)學化歸思想把雙軌不交型，巧妙轉(zhuǎn)化為雙軌相交型，必然要借助于P點軌道上的端點C，故，連接C點與目標點E點，并延長，使之與目標平面相交于N點，則順利轉(zhuǎn)化為雙軌直滑式，故連結(jié)PN即可輕松解決問題。

方法二：

證明：如圖所示，連接CE交BA的延長線于N點，連接PN.因為E為AD的中點，而AD∥BC，且AD=BC，故AE是BCM的中位線，即E為CN中點，而F是CP的中點，因而EF∥AP，又PN?平面PAB，而EF?平面PAB，所以EF∥平面PAB

通過這種系統(tǒng)梳理，深入淺出的把知識體系架構(gòu)清楚，再輔以一定量的練習，即可有效的用科學的數(shù)學思想解決平行類問題，從而達到對核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求。

參考文獻

[1]梁乾培，程金鋒.用向量法處理立體幾何中的平行、垂直問題[J].數(shù)理化解題研究（高中版），2007（04）：16-17.